Синхронизация сложной динамики внешними силами

γ j J f - j (x) геометрически распадаются. Наиболее опасны для схождения большие

Значения якобиана J f - j (x), который вычисляется из обратных итераций

Отображение (15.9). Это соответствует малым значениям производной, рассчитанной для

Прямые итерации, т. е. в наиболее устойчивое направление отображения (15.9). Мы видим

Опять же, что гладкость функции H определяется соотношением между

Показатель Ляпунова ведомой системы λ y = ln γ исамыйотрицательныйпоказатель

Приводная система (15.9).

Предположим, что управляющее отображение (15.9) двумерно, с одним положительным и

один отрицательный показатель Ляпунова, последний обозначим как λ x. Тогда из (15.15) это

Следует, что функция H непрерывна «в среднем» (т. е. производная существует в

Почти все баллы) при условии, что

λ y - λ x <0,

Т. е. если (усредненная) скорость сжатия ведомой системы сильнее, чем (av-

Стерли) скорость сокращения при вождении. Можно признать, что это именно

Условие нерастания ляпуновской размерности, рассчитанное по (15.12).

Более точный анализ может быть проведен, если мы определим (x, y) -зависимые

Показатель Ляпунова, по аналогии с подходом термодинамического формализма, использованным в

Глава 13. Определим так называемые исторические показатели Ляпунова: для вождения

Подсистема пишем

J f - T (x) ∝ e - T x (x),

А для ведомой подсистемы

Dy (t)

dy (t - T) ∝

Е Т у (х, у),

(в частном случае (15.13) y = ln γ, новобщемслучаеэтотпоказателькоординатно -

Зависимый). Тогда функция H имеет производную в точке (x, y), если

у (х, у) - х (х) <0.

Если отрицательный показатель Ляпунова x (x) отображения (15.9) колеблется от точки

кстати, функция H может быть гладкой в ​​ однихточкахифрактальнойвдругих.

Проиллюстрируем переход между гладкой и негладкой обобщенной синхронизацией.

рис. 15.5. Здесь движущая система представляет собой двумерную обобщенную систему пекаря.

карта, заданная в единичном квадрате 0 ≤ x 1, x 2 <1

[ x 1 (t +1), x 2 (t +1)] =







[ β x 1 (t), x 2 (t) / α)]

если x 2 (t) < α,

[ β + (1 - β) x 1 (t), (x 2 (t) - α) / (1 - α)]

если x 2 (t)> α.

(15.16)

Параметры α и β меньше 1/2. Управляемаясистемалинейная

y (t + 1) = γ y (t) + cos (2 π x 1 (t)).

(15.17)

Стр. Решебника 373

Синхронизация хаотических колебаний хаотическим воздействием

351

Легко видеть, что нестабильное направление на карте движения равно x 2, а стабильное направление

Направление - x 1. Естественная мера однородна в направлении x 2 и сильно варьируется в

направление x 1 при условии, что α = β. ДлярасчетаисторическойконюшниЛяпунова

Экспоненты для данной точки x 1, x 2, мы должны определить, где прообразы x 1, x 2

Блуждали. Обозначение

а - = lim

Т →∞

Т -

Т

,

а + = lim

Т →∞

Т +

Т

,

где T - (T +) - количество прообразов с x 2 < α (x 2 > α), получаемдля

Показатель прошлой истории

(x 1, x 2) = a - ln β + a + ln (1 - β).

Значения a ± различны для разных траекторий; их можно получить, используя

Методы символической динамики. Естественное символическое описание связывает два

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1.0

Х 1 (т)

–2

–1

0

1

2

у (т + 1)

–1

0

1

2

3

а)

(б)

(c)

–2

0

2

4

6

Рисунок 15.5. Три типа обобщенной синхронизации в системе (15.16) и

(15.17), где α = 0,1 и β = 0,2. а) γ = 0,8; кривая ˜ H фрактальна. б) γ = 0,6;

Кривая не дифференцируема в плотном множестве точек, но дифференцируема «на

в среднем". (в) γ = 0,1; криваягладкая.

Стр. Решебника 374

352

Синхронизация сложной динамики внешними силами

символы с областями x < α и x > α, ивсевозможныепоследовательностиэтих

символы существуют. Таким образом, существуют траектории со всеми 0 ≤ a ± ≤ 1. Этозначит, что

ln β ≤ (x 1, x 2) ≤ ln (1 - β).

Но наиболее вероятными значениями a ± являются a - = α, a + = 1 - α, следовательно, среднее

Отрицательный показатель Ляпунова отображения равен

λ x = α ln β + (1 - α) ln (1 - β).

Показатель Ляпунова ведомой системы - это постоянная λ y = ln γ. Итак, согласно

по формуле Каплана – Йорка ляпуновская размерность всей системы больше

чем у вождения, если | λ x | > | ln γ |. Нодажееслиэтонеравенствоневыполняется, в

Регион

| λ x | <| ln γ | <| ln β |

Существуют точки x 1, x 2, для которых исторический показатель Ляпунова

Больше, чем

ln γ. Вэтихточках (онивсюдуплотны, хотяихмераравнанулю)

Функция H не дифференцируема. Проиллюстрируем различные случаи обобщенных синхронизирующих сигналов.

в системе (15.16) и (15.17) на рис. 15.5.

Обобщенная синхронизация посредством квазипериодического управления

Интересно отметить, что переход от гладкого обобщенного к негладкому

Синхронизация происходит не только для хаотически управляемых систем, но и для квазипериодических

Одиозно управляемые. В последнем случае движущая система описывается тором в

Фазовое пространство. Если ведомая система также ведет себя квазипериодически, то траектория

Лежит на торе в расширенном фазовом пространстве. Но есть и другая возможность - когда