Переменная z близка к z max . Чтобы оценить время до следующего всплеска, мы можем

возьмем некоторое значение z 0 < z max и рассмотрим время, пока случайное блуждание не достигнет z max.

Говоря языком теории случайных процессов, это первый раз. Для

Диффузионных процессов, описываемых уравнением Фоккера – Планка (13.32), статистика

время первого прохождения хорошо известно (см., например, Feller [1974]). Плотность вероятности

для интервалов времени τ междувсплескамисоставляет

W (τ) =

| z max - z 0 |

√ 2 π D τ 3 exp (-

(z max - z 0 - λ ⊥ τ) 2

2 D τ

).

(13,33)

Вблизи порога, где характерный временной интервал между всплесками велик,

мы можем написать для больших τ

W (τ) ∝ τ

− 3/2

Ехр (-

λ 2

⊥

2 D τ).

Плотность распределения является степенной с экспоненциальным обрезанием при τ ∗ ∼ D λ − 2

⊥

.

Возможны очень большие интервалы между всплесками, и средняя продолжительность «лами-

Нар»этап 4

〈 Τ 〉 =

Z макс - z 0

λ ⊥

расходится на пороге λ ⊥ = 0.

Предполагая статистическую независимость интервалов между всплесками, можно

получить (из статистики этих интервалов) оценку спектра мощности S (ζ)

процесса. Если обозначить преобразование Фурье плотности вероятности (13.33)

на θ (ζ), то (см., например, [ Рытов и др., 1988])

S (ζ) ∝ Re

θ (ζ)

1 - θ (ζ)

.

К счастью, соответствующие интегралы можно вычислить аналитически, и в пределе

z max - z 0 → 0 получаемстепеннойспектрмодуляционнойперемежаемости:

S (ζ) ∝ ζ

− 1/2

для D ≫ ζ ≫ D λ − 2

⊥

.

Завершая обсуждение статистических свойств модуляционных перемежающихся

Мы хотели бы отметить, что они полностью применимы к шумовым системам,

Где шум действует мультипликативно. Обычно такие системы рассматриваются непрерывно.

Времени, а переход от стационарного состояния к макроскопическим колебаниям называется

индуцированный шумом неравновесный фазовый переход (см. [Horsthemke and Lefever 1989]

И ссылки там).

4 Другие моменты распределения (13.33) также могут быть вычислены, см. [Fujisaka et al. 1997].

Стр. Решебника 340

318

Полная синхронизация I

13,4

Начало синхронизации: топологические аспекты

Обсудим теперь переход к полной синхронизации от топологической

Точка зрения, глядя на структуры и бифуркации в фазовом пространстве. Переход

на рис. 13.2 можно рассматривать как переход от полностью синхронизированного симметричного

аттрактор, лежащий на диагонали x = y, к асимметричному аттрактору, находящемуся в окрестности

диагонали (асимметрия здесь означает, что x (t) = y (t); распределение вероятностей

на плоскости (x, y) может оставаться симметричным, см. рис. 13.2). Это можно считать

Как бифуркацию странного аттрактора, и мы хотим установить связь с

Бифуркационные свойства индивидуальных траекторий. Удобно смотреть на периодические

Орбиты внутри хаоса, потому что неустойчивые периодические траектории представляют собой каркас

Хаотичный набор. Они плотны в хаотическом аттракторе, и многие величины, характеризующие

хаотическое движение (например, инвариантная мера, наибольший показатель Ляпунова) может быть

Выражается через периодические орбиты. 5 Преимущество здесь в том, что мы можем использовать результаты

элементарной теории бифуркаций (см., например, [Iooss and Joseph 1980; Guckenheimer and

Holmes 1986; Hale and Koçak 1991]), поскольку они непосредственно применимы к периодическим орбитам.

Поперечные бифуркации периодических орбит

Мы начинаем с полностью синхронного состояния (т.е. ε ≈ 1/2) иследуемсимметрии:

прерывание перехода при уменьшении константы связи ε. Давайтес начала посмотрим на

Простейшая периодическая орбита - неподвижная точка. Если отображение x → f (x) имеет неподвижную точку

x ∗, то для всех ε существуетрешениессинхроннойнеподвижнойточкой x (t) = y (t) = x ∗.

Устойчивость этой неподвижной точки может быть определена из линейных уравнений. (13.9) и

(13.10). Есть два множителя:

µ u = f ′ (x ∗),

µ v = (1 - 2 ε) f ′ (x ∗),

(13,34)

Соответствующие двум модам возмущения u и v. Поскольку неподвижная точка принадлежит

к хаотическому отображению f множитель µ u по модулю больше единицы,

Так что направление u всегда неустойчиво. Поперечное направление v устойчиво, если

| (1 - 2 ε) f ′ (x ∗) | <1 и нестабильно в противном случае. Таким образом, происходит бифуркация при ε c (x ∗)

Определяется из условия

ε c (x ∗

Знак равно

1 - | f ′ (x ∗) | − 1

2

.

(13,35)

Тип бифуркации определяется знаком множителя при критичности: если µ v =

1 наблюдается раздвоение вил; если µ v = − 1, пр оисходит бифуркация удвоения периода.

Если эти бифуркации являются сверхкритическими (что не может быть определено из линейной теории

И зависит от нелинейности отображения), две симметричные неподвижные точки в