По рассуждениям теоремы разделим эту сумму на T и обозначим

Т =

1

Т

Т − 1

∑

t = 0

g (U (t)) =

1

Т

Т − 1

∑

t = 0

ln | f ′ (U) | - λ.

(13.20)

Стр. Решебника 331

Начало синхронизации: статистическая теория

309

Величина T называется конечным (или локальным) показателем Ляпунова (в нашей формуле -

Согласно (13.20) эта величина сдвигается на λ и, такимобразом, стремитсякнулюпри T →∞; можнотакже

определим несмещенную экспоненту за конечное время, которая стремится к λ при T →∞). Прибольшом Т THE

Конечный показатель Ляпунова T стремится к нулю, но для нас флуктуации

В основном важно. Согласно центральной предельной теореме распределение вероятностей

Плотность T (для простоты ниже мы опускаем индекс T) должна масштабироваться как

p (; T) ∝ exp [ Ts ()]

(13.21)

с функцией масштабирования s () (см., например, [Paladin and Vulpiani 1987; Ott 1992; Crisanti

и другие. 1993]). Эта функция представляет собой функцию вогнутой формы с одним горбом и одним максимумом при

нуль. Первый член разложения вблизи максимума s () ≈ - 2 / (2 D) дает

Гауссово распределение. Коэффициент D определяет ширину распределения

Конечных показателей времени; дисперсия

Уменьшается со временем T согласно

закон больших чисел:

〈 2 〉 ≈

D

Т

.

Поскольку поперечная переменная z в (13.19) просто связана с конечным временем экспонирования.

Nent

z (T) - z (0) - λ ⊥ T = T,

для z получаем диффузионный рост с постоянной диффузии D:

〈 (Z (T) - 〈 z (T) 〉) 2 〉 ∝ TD.

Преимущество более общей формы (13.21) состоит в том, что она позволяет правильно описать

Также большие отклонения показателей конечного времени. В частности, в гауссовой

Возможны аппроксимации произвольно больших конечных показателей времени, в то время как более правильная

Описание дает нижнюю и верхнюю оценки носителя функции s (см.

пример карты наклонной палатки ниже). В нелинейной динамике такой подход к

Описание статистических свойств отклонений с помощью масштабной функции

известен как термодинамический формализм [Ott 1992; Crisanti et al. 1993; Бадии и

Politi 1997; Beck and Schlögl 1997]; в математической статистике говорят о

теория больших отклонений [Varadhan 1984].

Вернемся к динамике поперечного возмущения (13.18). Недалеко от

Порог синхронизации средний дрейф случайного блуждания переменной z равен

Небольшой; следовательно, динамика в основном определяется колебаниями. Распределение z

Распространяется во времени, так что можно наблюдать как достаточно маленькие, так и довольно большие значения z.

Если вернуться от логарифма возмущения z к полю возмущения w, то

видим, что w = exp (z) может достигать очень больших и чрезвычайно низких значений. Таким образом

Случайное блуждание z соответствует чрезвычайно прерывистому временному ряду поперечного

возмущение w. Этот режим называется модуляционной перемежаемостью [Fujisaka and

Стр. Решебника 332

310

Полная синхронизация I

Ямада 1985, 1986; Ямада и Фуджисака 1986] (термин «периодичность включения-выключения»

также используется [Platt et al. 1989]) и проиллюстрировано на рис. 13.3.

Важно отметить, что основным источником этой перемежаемости являются колебания

Конечного времени поперечного показателя Ляпунова. В исключительных случаях, когда

Экспонента не колеблется, режим отличается от модуляционной перемежаемости.

В частности, в симметричном тент-отображении f (U) = 1 - 2 | U | множители равны

до двух для всех значений U. Это также верно для логистического отображения f (U) = 4 U (1 - U):

Здесь колебания конечного времени Ляпунов обращаются в нуль при большом Т. Син-

Переход хронизации в этих системах имеет специфические статистические свойства, как обсуждалось ранее.

Кузнецова и Пиковского [1989] и Пиковского и Грассбергера [1991].

Чтобы продолжить статистический анализ модуляционной перемежаемости при

С наступлением полной синхронизации приходится выходить за рамки линейного приближения.

Мы не будем рассматривать частные случаи симметричной карты палатки и логистической карты,

Но обсудим только общий случай флуктуирующих конечных показателей Ляпунова.

Модуляционная перемежаемость: степенные распределения

В силу конечных показателей Ляпунова мы можем переписать эволюцию

Возмущение z (13.18) в виде

г (т + Т) = г (т) + Т А, ⊥ + Т.

При больших T корреляциями последующих

T и рассмотрим эти

Величины как независимые случайные величины. Это позволяет нам написать уравнение для

плотность распределения вероятностей W (z; t). Эта плотность в момент времени t + T представляет собой свертку

двух вероятностей:

W (z; t + T) = ∫ d

p (; T) W (z - T λ ⊥ - T; t).