Что вместе с (7.1) дает соотношение

∑ к

∂φ

∂ x k

е К (х) = ω 0.

Рассмотрим теперь возмущенную систему (7.5). Используя «невозмущенное» определение

Фаза и подставив уравнение. (7.5) в (7.12) получаем

d φ (х)

Dt

= ∑ k

∂φ

∂ x k

(f k (x) + ε p k (x, t)) = ω 0 + ε ∑ k

∂φ

∂ x k

P k (x, t).

(7.13)

Второй член в правой части (правая часть) мал (пропорционален ε), ивеличина

Отклонения x от предельного цикла x 0 также малы. Таким образом, в первом приближении

мы можем пренебречь этими отклонениями и вычислить правую высоту на предельном цикле:

d φ (х)

Dt

= ω 0 + ε ∑ k

∂φ (х 0)

∂ x k

P k (x 0, t).

(7.14)

Поскольку точки предельного цикла находятся во взаимно однозначном соответствии с фазой

φ получаемзам кнутое уравнение для фазы:

d φ

dt = ω 0 + ε Q (φ, t),

(7.15)

Где

Q (φ, t) = ∑ k

∂φ (х 0 (φ))

∂ x k

p k (x 0 (φ), t).

Отметим, что Q является 2 π - периодическойфункциейот φ и T -периодической функцией от t.

7.1.5

Пример: вынужденные комплексные уравнения амплитуды

Например, мы периодически заставляем нелинейный осциллятор, описываемый уравнением. (7.6),

которую мы перепишем в виде системы реальных уравнений:

Dx

dt = x - η y - (x 2 + y 2) (x - α y) + ε cos ω t,

Dy

dt = y + η x - (x 2 + y 2) (y + α x).

Перепишем выражение для фазы (7.10) в виде

φ = загар

− 1

y

Х -

α

2

ln (x 2 + y 2),

получаем частный случай фазового уравнения (7.15):

d φ

dt = ω 0 + ε

∂φ

∂ x

cos ω t = η - α - ε (α cos φ + sin φ) cos ω t,

Стр. Решебника 204

182

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

давая, при tg φ 0 = 1 / α,

d φ

dt = η - α - ε√ 1 + α 2 cos (φ - φ 0) cos ω t

(7.16)

Уравнение (7.15) является основным уравнением, описывающим динамику фазы

Самоподдерживающийся периодический осциллятор при наличии небольшой периодической внешней силы.

Есть разные способы исследовать это; его изучение без дальнейшего упрощения

Представлены в разделе 7.3. Однако перед этим мы воспользуемся малостью

параметр ε исделаемдальнейшиеприближения.

7.1.6

Медленная фазовая динамика

В приближении «нулевого порядка», когда мы пренебрегаем влиянием внешней силы

(т. е. ε = 0), уравнение. (7.15) имеет решение

φ = ω 0 t + φ 0.

(7.17)

Подставим это решение в функции Q. Поскольку эта функция 2 π - периодичнапо φ

И T -периодической по t, мы можем представить ее в виде двойного ряда Фурье и записать

Q (φ, t) = ∑

Л, к

a l, k e ik φ + il ω t,

(7.18)

где ω = 2 π / T - частота внешней силы. Замена (7.17) в (7.18)

Дает

Q (φ, t) = ∑

Л, к

a l, k e ik φ 0 e i (k ω 0 + l ω) t.

(7.19)

Мы видим, что функция Q содержит быстро осциллирующие (по сравнению с масштабом времени 1 / ε)

Сроки, а также медленно меняющиеся сроки. Последние - это те, которые удовлетворяют резонансу

Условие

k ω 0 + l ω ≈ 0.

Подставляя в (7.15), быстро осциллирующие члены приводят к фазовым отклонениям

порядка O (ε), арезонансныеслагаемыевсумме (7.19) могутприводитькбольшим (хотя

медленные из-за малого параметра ε) измененияфазыинаиболееважныдля

Динамика. Таким образом, чтобы сохранить только существенную динамику, мы должны усреднить

принуждение (7.19) оставляет только резонансные члены. Какие термины являются резонансными, зависит

от связи между частотой внешней силы ω исобственнойчастотой

ω 0. В простейшем случае эти частоты примерно равны, ω ≈ ω 0. Только тогда

члены с k = - l резонансны. Суммирование этих слагаемых дает новое, усредненное,

Принуждение

∑

l = - k

a l, k e ik φ + il ω t = ∑ k

a - k, k e ik (φ − ω t) = q (φ - ω t).

(7.20)

Стр. Решебника 205

Фазовая динамика

183

Усредненное форсирование q является 2 π - периодическойфункциейсвоегоаргументаисодержитвсе

резонансные термины. Подставляя его в (7.15), получаем

d φ

dt = ω 0 + ε q (φ - ω t).

(7.21)

Теперь мы определяем новую переменную, а именно разность фаз колебаний.

ции и фаза внешней силы:

ψ = φ - ω t.

(7.22)

Можно рассматривать ψ какмедленнуюфазувовращающейсясистемеотсчета. Мывводим

Далее отстройка частоты по

ν = ω - ω 0

(7.23)

Получить наконец

d ψ

dt = −ν + ε q (ψ).

(7.24)

Прежде чем приступить к анализу этого уравнения, покажем, что оно также

Описывает ситуацию в общем случае, когда условие резонанса между

частота внешней силы ω ивнутренняячастота ω 0 имеют вид

ω ≈

м

п

ω 0,

(7.25)

Где m и n - целые числа без общего делителя. Легко видеть, что в этом случае

резонансные члены в (7.19) содержат выражения вида e i (jm ω 0 - jn ω) t. Таким образом, вместо

(7.20) получаем

∑

l = - nj, k = mj

a l, k e i (k φ + l ω t) = ∑ j

- щ, MJ е IJ (м φ - п ω т) = д (м φ - п ω т), (7.26)

с 2л-периодической функции д (·). Уравнение для фазы теперь принимает вид

d φ

дт = ω 0 + ε д (м φ - п ω т).

(7.27)

Представляя разность фаз как

ψ = m φ - n ω t,

Дает

d ψ

дт = - ν + ε м кв (ψ)

(7.28)

с отстройкой ν = n ω - m ω 0. Это уравнение имеет тот же вид, что и (7.24). В

Простейшая 2 π - периодическаяфункция - это sin (·), такчтопростейшаяформаусредненнойфазы

Уравнение

d ψ

dt = −ν + ε sin ψ.

(7.29)

Это часто называют уравнением Адлера после Адлера [1946].

Стр. Решебника 206

184

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

7.1.7

Медленная фазовая динамика: фазовая синхронизация и

Область синхронизации