Зависимость частоты колебаний от амплитуды; это может быть как положительное, так и

Отрицательна и обращается в нуль в изохронном случае (см. обсуждение в разделе 7.1.3).

Вернемся к условиям применимости метода усреднения. Для уравнения. (7,41)

Они подразумевают, что все члены справа должны быть маленькими. Это тот случай, если

частотная расстройка | ω − ω 0 | и линейная скорость роста µ мала по сравнению со скоростью

частота ω 0. Это гарантирует, что нелинейный член на правой стороне также мал, потому что

амплитуда невынужденных колебаний | A 0 | 2 = µ / γ, такчтонелинейныйчленравен

Одного и того же порядка, что и линейный член М А. Малость параметра

µ означает, что неустойчивость неподвижной точки A = 0 слабая. Обычно это так

вблизи точки бифуркации, в которой возникает предельный цикл (бифуркация Хопфа). Таким образом,

Уравнение амплитуды (7.41) является универсальным уравнением (нормальной формой) для периодически

Управляемая система вблизи точки бифуркации Хопфа.

Выбирая соответствующие масштабы для амплитуды A и времени, мы можем уменьшить

Количество параметров в уравнении. (7.41). Какие параметры нужно выбрать для

Стр. Решебника 214

192

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

Масштабирование, зависит от физической постановки задачи. Поскольку мы сосредотачиваемся на

Свойства синхронизации с параметрами внешней силы можно варьировать, это

Целесообразно использовать параметры автоколебаний для нормировки

Уравнение. Представляя новую амплитуду и новое время согласно соотношениям

А = √

µ

γ

А,

t = µ − 1 τ,

(7,42)

Мы получаем

˙ a = - i ν a + a - | а | 2 a - i α | а | 2 - то есть,

(7,43)

Где

ν =

ω 2 - ω 2

0

2 ω µ ≈ (ω - ω 0) / µ,

α = κ / γ,

е = ε E γ 1/2 µ − 3/2.

(7,44)

Отметим нетривиальную зависимость от параметров ε (амплитудывнешнего

силы) и µ (квадрат амплитуды невынужденных колебаний): они появляются в

«эффективная» амплитуда силы e в комбинации ε µ − 3/2. Мы обсуждаем ниже

Режимы слабого (e 1) и сильного (e 1) воздействия; в терминах оригинала

параметрам это соответствует ε ≲ µ 3/2 и ε ≳ µ 3/2.

Прежде чем приступить к исследованию уравнения. (7.43) сначала кратко обсудим

случай исчезающей силы e = 0. Тогда проблема сводится к формуле. (7.6) выше. Там есть

неустойчивая неподвижная точка в начале координат a = 0 и устойчивый предельный цикл a = e - i (ν − α) t

с амплитудой 1 и частотой | −ν - α |. 7 Как видно из общего решения

(7.9) скорость вращения угловой переменной зависит от амплитуды, если α = 0, и

нет, если α = 0. Мыназываемэтидвеситуациинеизохроннойиизохронной.

Чехлы соответственно.

7.2.2

Свойства синхронизации: изохронный случай

Здесь мы рассматриваем случай изохронных автономных колебаний, т. Е. Принимаем α = 0:

˙ a = - i ν a + a - | а | 2 - то есть.

(7,45)

Прежде чем перейти к деталям анализа уравнения. (7.45) обсудим интерпретацию

решения в терминах исходных переменных x ∝ Re (a (t) e i ω t), y ∝ Im (a (t) e i ω t). Если

существует стационарное решение (неподвижная точка) для a, переменные x, y осуществляют гармоническое

колебания с внешней частотой ω. Этотрежимможноохарактеризоватькакидеальный.

Синхронизация (фазовая синхронизация): единственные колебания в системе - это колебания с

Внешняя частота. Если существует периодическое по времени решение для a, для исходных переменных

Наблюдается квазипериодическое движение с двумя независимыми частотами: одна - это

7 По-видимому, эта частота зависит от расстройки ν дажеприотсутствиифорсировки: этосвязанос

Наш выбор системы отсчета (7.37).

Стр. Решебника 215

Слабонелинейный осциллятор

193

Частота внешней силы, а другая - частота периодического во времени

Решение (7.45). Обратите внимание, что эта последняя частота может варьироваться в зависимости от параметров

Система.

Подчеркнем, что наличие второй (помимо ω) частотынедает

не обязательно означает десинхронизацию. Действительно, если написать a (t) = R (t) e i ψ (t) и

x (t) = Re (R (t) e i (ψ (t) + ω t)), то наблюдаемую частоту колебаний можно записать

В виде

= 〈 ˙ψ 〉 + ω.

(7,46)

(Обратите внимание, что ψ - этоправильнаяразностьмеждуфазойосциллятораифазой

внешней силы, ср. (7.22).) Член 〈 ˙ψ 〉 зависит от траектории системы

На фазовой плоскости (Re (a), Im (a)). Если эта траектория вращается вокруг начала координат, то

〈 ˙ψ 〉 = 0, иначе изменения ψ вносятвкладтольковмодуляциюколебательногосигнала.

д., но не вызывают сдвига частоты. Кроме того, мы отмечаем, что уравнение. (7.45) инвариантно

при преобразованиях ν →−ν, e → - e, a → a ∗ и e → - e, a → - a,

поэтому достаточно рассмотреть область ν > 0, e > 0.

Исследования уравнения. (7.45) имеют долгую историю (см., Например, [Appleton 1922; van der

Pol 1927]), но полную картину установили лишь недавно Холмс и Рэнд.

[1978] (см. Также [Argyris et al. 1994]). Мы отсылаем читателя к этим публикациям, и