Автоколебания, а внешняя сила описывается периодической функцией

время р (т) = р (т + Т), имеющая частоту ω = 2 π / T. Мы выбрали форсирование

член должен быть явно пропорционален малому параметру ε. Термин f также должен быть

Небольшой; мы напишем условие для этого позже.

Как формула (7.36) близко к линейному осциллятору, можно ожидать, что его решение

Имеет почти синусоидальную (гармоническую) форму с еще неизвестными амплитудой, частотой и

Фаза. Все эти количества должны быть определены в конечном итоге, но на данном этапе мы можем

Выбрать любое представление решения, и первым важным шагом является выбор

Самый подходящий. Поскольку мы ожидаем, что частота колебаний будет (не менее

для некоторых значений параметров), увлекаемых частотой внешней силы ω,

Будем искать решение в сложной форме

х (t) = 1

2

(A (t) e i ω t + c. C.),

(7.37)

Стр. Решебника 212

190

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

т.е. в виде гармонических колебаний с «основной» частотой ω ивременем -

Зависимая комплексная амплитуда A (t). Обратите внимание, что здесь мы не делаем ограничений на x (t), так как

«наблюдаемая» частота вполне может отклоняться от ω, еслиамплитуда A вращается на

Комплексная плоскость.

Удобно представить уравнение. (7.36) как у линейного осциллятора с частотой

частоту ω, получая, такимобразом, дополнительныйчленвправойчасти:

¨ x + ω 2 x = (ω 2 - ω 2

0) x + f (x, ˙ x) + ε p (t).

(7.38)

Этот новый член также должен быть небольшим, т. Е. Наша трактовка действительна, если частота

отстройка ω - ω 0 мала.

Переписывая уравнение. (7.38) как система

˙ х = у,

˙ y = - ω 2 x + (ω 2 - ω 2

0) х + f (x, y) + ε p (t),

И вводя следующее соотношение 6 между y и A

у = 1

2

(i ω A (t) e i ω t + c. c.),

(7.39)

Получим, разрешив (7.37) и (7.39), уравнение для комплексной амплитуды

˙ A =

e - i ω t

я ω ·

[(ω 2 - ω 2

0) x + f (x, y) + ε p (t)].

(7,40)

Усреднение амплитудного уравнения

До сих пор это преобразование было точным, но новое уравнение решить не легче.

Чем исходное уравнение. (7.36). Теперь воспользуемся малыми параметрами для получения аналитического

Разрешимы приближенное уравнение для эволюции A. Есть много способов выполнить

анализ на строгой математической основе (различные варианты известны как

асимптотический метод [Боголюбов, Митропольский, 1961], метод усреднения [Найфех

and Mook 1979], многомасштабное расширение [Kahn 1990]), но здесь мы только обрисовываем

Идея. Поскольку правая часть (7.40) мала, изменение A может быть как медленным (если они

большие) или маленькие (если они быстрые, например, с частотой ω). Мыограничиваемсебя

К большим и медленным изменениям, т. е. мы пренебрегаем всеми быстрыми членами в правой части (7.40).

Пренебрежение членами, содержащими быстрые колебания (e ± i ω t, e ± i 2 ω t и т. Д.), Также можно

считается усреднением по периоду колебаний T = 2 π / ω; такимобразом, это

Метод часто называют методом усреднения. Усреднение выполняется без проблем.

Вперед: подставляем x и y, выраженные через A в (7.40), и пренебрегаем всеми колебательными

термины. Для любого конкретного выбора функций f и p это можно сделать явно,

Поскольку новая переменная A сложна, нам нужно, чтобы два отношения имели взаимно однозначное соответствие

Между (х, у) и А.

Стр. Решебника 213

Слабонелинейный осциллятор

191

Но мы хотим доказать, что результат универсален для большого класса систем. Первое примечание,

Это усреднение срока

е - i ω t ε p (t)

я ω

Означает, что мы берем первую гармонику Фурье периодической функции p (t), в общем случае

эта гармоника отлична от нуля, и это слагаемое дает комплексную константу - я ε E.

Далее рассмотрим вклад функции f:

e - i ω t

я ω

F (х, у).

Предположим, что f - многочлен от x, y, поэтому он будет многочленом от Ae i ω t, A ∗ e - i ω t

тоже. От всех степеней типа (Ae i ω t) n (A ∗ e - i ω t) m после умножения на e - i ω t

и усреднения не обращаются в нуль только слагаемые с m = n - 1. Таким образом, единственно возможное

результат усреднения должен иметь вид g (| A | 2) · A с произвольной функцией g. Для

малые амплитуды колебаний только линейной (∝ A) и первой нелинейной (∝ | A | 2 A)

Сроки важны.

Наконец, усреднение первого члена в правой части (7.40) дает член, линейный по

Обобщая, получаем амплитудное уравнение в виде

˙ A = - я

ω 2 - ω 2

0

2 ω

A + µ A - (γ + i κ) | А | 2 - я ε Е.

(7,41)

Здесь мы предполагаем, что параметр µ действительный, так как мнимая часть может быть поглощена

первый член в правой части. Например, для уравнения Ван дер Поля (7.2) получаем

Уравнение (7.41) с κ = 0 и γ = µ β / 4.

Новые параметры имеют ясный физический смысл. Параметры µ и γ де -

Записывать линейный и нелинейный рост / затухание колебаний. Для самоподдерживающейся осциллы-

Для устойчивости состояний необходим рост при малых амплитудах и затухание при больших амплитудах,

что соответствует µ> 0, γ > 0. Параметр κ описываетнелинейную