С той же скоростью, что и точка на цикле. Более того, эволюция в течение цикла

период T 0 сохраняет эти гиперповерхности инвариантными. Таким образом, они обладают замечательным свойством: если

Для релаксационных осцилляторов, которые имеют чрезвычайно стабильные предельные циклы, отклонения от предела

Цикл малы даже при умеренной силе. Эти осцилляторы можно хорошо описать фазой

Только переменные, мы обсудим их в разделе 7.3.

Переменную можно назвать поперечной амплитуде предельного цикла, однако это определение

Неоднозначно в многомерном фазовом пространстве.

Стр. Решебника 201

Фазовая динамика

179

выберем такую ​​ поверхностьсечениядляотображенияПуанкаре, этоотображениебудетиметьтакоеже

Время возврата для всех точек на поверхности. Также обратите внимание, что изохроны четко определены.

Как для стабильного цикла, так и для полностью нестабильного (неустойчив во всех поперечных

Направлениях и, таким образом, становится стабильным в обратном времени, так что изохроны могут быть

Определены с использованием обратного времени), но не определены для седловых циклов, которые имеют оба

Устойчивые и неустойчивые многообразия.

7.1.3

Пример: комплексное уравнение амплитуды

Теперь рассмотрим частный пример системы с предельным циклом и определим ее

Фаза и изохроны. Запишем систему в сложной форме в виде первого порядка

Дифференциальное уравнение для комплексной переменной A. Как мы увидим в Разделе 7.2, это

Уравнение описывает слабонелинейные автоколебания, а A - комплексный

амплитуда, ср. Уравнение (7.41). В разных контекстах это уравнение называется уравнением Ландау–

Уравнение Стюарта, или «лямбда-омега-модель»:

Г А

dt = (1 + i η) A - (1 + i α) | А | 2.

(7,6)

Переписывая это уравнение в полярных координатах, A = Re i θ, получаем уравнение второго порядка

Система

DR

dt = R (1 - R 2),

(7,7)

d θ

dt = η - α R 2,

(7,8)

которое легко разрешимо. Предельным циклом здесь является единичный круг R = 1 и решение

я

*

(φ)

Икс

Рисунок 7.2. Изохроны

I (φ) вокрестности

Стабильный предельный цикл. В

изохроны инвариантны

Под стробоскопическим (с

Период цикла T 0)

Отображение, которое формируется

По траекториям, обозначенным

Пунктирные линии со стрелками.

Стр. Решебника 202

180

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

с произвольными начальными условиями R 0 = R (0), θ 0 = θ (0) читается

R (t) = [1 +

R 2

0

R 2

0

e − 2 t ]

− 1/2

,

θ (t) = θ 0 + (η - α) t -

α

2

Ln (R 2

0 + (1 - R 2

0) e − 2 t).

(7,9)

На предельном цикле угловая переменная θ вращаетсяспостояннойскоростью ω 0 = η - α

и, следовательно, можно принять за фазу φ. Однако, еслиначальнаяамплитудаотклоняется

от единицы возникает дополнительный фазовый сдвиг из-за члена, пропорционального α в (7.8).

Из (7.9) легко видеть, что дополнительный фазовый сдвиг равен −α ln R 0. Таким образом,

фазу можно определить на всей плоскости (R, θ) как

φ (R, θ) = θ - α пер R.

(7.10)

Можно проверить, действительно ли эта фаза вращается равномерно:

d φ

dt =

d θ

dt - α

˙ R

R = η - α.

Изохроны - линии постоянной фазы φ; на плоскости (R, θ) этолога -

Ритмические спирали

θ - α ln R = постоянная.

Для случая α = 0 вместоспиралейиме ем прямые θ = φ. Этотпример

Дает хорошую возможность обсудить свойство изохронности колебаний.

Физически часто говорят, что изохронные колебания - это колебания с амплитудой

Независимая частота, а для неизохронных колебаний частота зависит от

амплитуда (переменная R в нашем примере). Это определение, однако, неоднозначно,

Поскольку вне предельного цикла можно определить фазу и, соответственно,

Частота по-разному. Если мы возьмем приведенное выше определение на основе изохрон,

Тогда частота постоянна, и все осцилляторы кажутся изохронными. Из

С другой стороны, частота, определяемая как скорость вращения угловой переменной

θ вприведенномвышепримереопределяетсяформулой. (7.8), котороезависитотамплитуды. Мы

предпочесть последний подход и называть осциллятор (7.6) изохронным, если α = 0, ине -

В противном случае изохронный. В терминах изохрон генератор можно назвать изохронным.

Если изохроны ортогональны предельному циклу, и неизохронны в противном случае.

Обратите внимание, что это определение все еще неоднозначно, поскольку оно неинвариантно относительно преобразований

Координат.

7.1.4

Уравнение фазовой динамики

Определив фазу в некоторой окрестности предельного цикла, можно записать

Уравнение (7.3) в этой окрестности как

d φ (х)

Dt

= ω 0.

(7.11)

Стр. Решебника 203

Фазовая динамика

181

Поскольку фаза является гладкой функцией координат x, мы можем представить ее время

Производная как

d φ (х)

Dt

= ∑ k

∂φ

∂ x k

Dx k

Dt

,

(7.12)