Можно видеть, что уравнение. (8.6) имеет тот же вид, что и уравнение. (7.24) в разделе 7.1.6,

И нам не нужно здесь повторять его анализ. В случае синхронизации уравнение. (8,6)

имеет устойчивую неподвижную точку ψ 0, а наблюдаемые частоты осцилляторов равны

1,2 = 〈 ˙φ 1,2 〉 = ω 1,2 + ε q 1,2 (± ψ 0).

Легко видеть, что соотношение между этими частотами постоянно внутри

область синхронизации:

1

2 =

м

п

.

Остановимся на простейшем случае резонанса 1: 1, т.е. на том случае, когда естественный

частоты осцилляторов практически совпадают ω 1 ≈ ω 2. Здесь следует положить m =

n = 1 в формулах выше. Далее предполагаем, что связь симметрична, т. Е.

q 1 (ψ) = q 2 (ψ); тосогласно (8.7) получаемантисимметричнуюфункциюсвязив

(8.6) q (ψ) = - q (−ψ). Простейшийинаиболееестественныйантисимметричный 2 π - периодич еский

Функция синусоида, а соответствующая модель взаимодействия двух осцилляторов

Читает

d ψ

dt = −ν + ε sin ψ.

(8,8)

В зависимости от знака ε различаютдваслучая, называемыхпритягивающимиотталкивающимпрепятствиями.

действия. 4 Если ε <0, тоустойчив ое значение разности фаз ψ лежитвобласти

− π / 2 < ψ < π / 2, и, вчастности, принулевойотстройкечастоты ν стабильнаяфаза

разница нулевая. Можно сказать, что фазы «притягиваются» друг к другу. Если ε > 0, то

устойчивая разность фаз находится в интервале π / 2 < ψ <3 π / 2, априсовпадении

собственные частоты равны π; это«отталкивающий»случай. Дватипа

Синхронное движение иногда называют «синфазным» и «противофазным» (или «не совпадающим по фазе»).

Фаза»). 5 Примечательно, что количественные свойства синхронизации (в частности,

4 Или, что то же самое, можно сказать, что ε положительно, нофункциясвязименяетзнак

грех ψ → - грех ψ.

Напоминаем читателю, что Гюйгенс описал «противофазную» синхронизацию маятника.

Часы в своем первом наблюдении за этим явлением.

Стр. Решебника 248

226

Взаимная синхронизация двух взаимодействующих периодических осцилляторов

Ширина области синхронизации) одинаковы для обоих случаев. Стоит отметить

Что притяжение и отталкивание между фазами может не соответствовать притяжению и

Отталкивание между некоторыми исходными переменными x

(1,2)

k

, из-за, возможно, нетривиальных форм

изохрон в окрестности предельного цикла (см. [Han et al. 1995, 1997; Postnov et al.

1999a] для такого примера).

В усредненном описании синхронизация выглядит как идеальная фазовая синхронизация:

стабильная неподвижная точка уравнения. (8.8) ψ 0 означает не только то, что оба осциллятора имеют

Та же частота, но также есть постоянный фазовый сдвиг между фазами

осцилляторы φ 1 = φ 2 + ψ 0. Последнее свойство больше недействительно, если учесть

Полная система (8.4): из-за нерезонансных членов фазы не полностью синхронизированы,

Но колеблются вокруг траектории усредненной системы (8.5). Эти колебания могут

Особенно велика, если осцилляторы близки к релаксационным, т. е. если связь

Функции Q 1,2 имеют много гармоник.

8.1.2

Карта круга

Правые части уравнений. (8.4) 2 π - периодичныпообеимпеременным; С ледовательно

течение на двумерной фазовой плоскости (φ 1, φ 2) эквивалентно потоку на двумерной

мерный тор 0 ≤ φ 1 <2 π, 0 ≤ φ 2 <2 π. Этотдвумерныйпотокможно

Сводится к карте обратимого круга.

В качестве секущей возьмем прямую φ 2 = 0. Начало траектории при φ 1 (0), φ 2 (0) = 0

и следуя по нему до точки φ 1 (t), φ 2 (t) = 2 π, получимотображение φ 1 (0) →

φ 1 (t), которую запишем, вводя дискретное время n как

φ 1 (n + 1) = F (φ 1 (n)),

(8.9)

где функция F такова, что F (x + 2 π) = 2 π + F (x). 6 Для невзаимодействия

Систем, это отображение сводится к линейному сдвигу окружности

φ 1 (n + 1) = φ 1 (n) + 2 π

ω 1

ω 2

.

Для отображения окружности (8.9) мы можем определить число вращения ρ согласноформуле. (7,52);

Это дает соотношение между двумя наблюдаемыми частотами

ρ =

1

2

.

Отметим, что существует эквивалентный способ получения карты окружности: можно взять

прямая φ 1 = 0 как сечение и получим отображение φ 2 → ˜ F (φ 2); новый номер вращения

Будет обратным старому.

Здесь может быть применена полная теория круговой карты (раздел 7.3). В частности,

Синхронизация разрушается через бифуркацию седло-узел, как описано в разделах

И 7.3.

Фактически здесь используется малость взаимодействия: течение на торе не произвольное, а

Близко к поворотам по обеим координатам. Это обеспечивает отсутствие неподвижных точек и замкнутых

Траектории, не оборачивающие тор, и, следовательно, существование отображения Пуанкаре.

Стр. Решебника 249

Слабонелинейные осцилляторы

227

8,2

Слабонелинейные осцилляторы

Если связь между двумя генераторами относительно велика, она влияет не только на фазы.

Но и амплитуды. В общем, особенности сильного взаимодействия неуниверсальны,

Но в случае слабонелинейных автогенераторов можно использовать метод