Кинематических парах механизма

1°. Постановка задачи. Звенья механизма загружены заданной системой внешних сил, законы движения звеньев известны (извеcтен закон движения ведущего звена).

Применяем принцип Д’Аламбера, для этого к заданной нагрузке прибавляем инерционную, которая определится известными законами движения звеньев механизма. Теперь механизм будет находиться в равновесии и, следовательно, будет находиться в равновесии и каждая отдельная его часть. Рассматривая равновесие выделенной из механизма кинематической цепи, или отдельного звена, можно всегда определить реакции в кинематических парах.

Различают два случая расчета:

1.  Предполагают, что закон движения ведущего звена задан. Инерционная нагрузка подсчитывается в соответствии с этим законом движения. В этом случае надо считать, что к ведущему звену приложено неизвестное вначале, но подлежащее в дальнейшем определению уравновешивающее усилие. Это усилие предопределяет заданный заранее закон движения ведущего звена.

2.   Закон движения ведущего звена определяется теми усилиями, которые приложены к звеньям механизма. Этот закон находится средствами, указанными в динамическом анализе механизмов. Инерционная нагрузка находится в соответствии с истинным законом движения ведущего звена. В этом случае «уравновешивающее» усилие известно заранее и его определять не надо.

Первый случай является либо предварительным расчетом, либо окончательным для режима установившегося движения с малой степенью неравномерности хода.

Второй случай является окончательным.

2°. Для приведения задачи об определении реакций в кинематических парах к статически определимой следует рассматривать равновесие групп Ассура, которые образовали механизм.

Докажем, что группа Ассура является статически определимой фермой. Реакция в кинематической паре пятого класса содержит две неизвестных. Во вращательной паре неизвестны: величина (модуль) и направление, а в поступательной — величина (модуль) и точка приложения (при отсутствии трения; во вращательной паре точка приложения реакции находится в центре вращения, в поступательной — направление ее перпендикулярно направляющим).

Для п звеньев группы Ассура можно написать 3 n уравнений статики, а в р₅, парах пятого класса будет содержаться 2 р₅ неизвестных, подлежащих определению. Для статической определимости поставленной задачи надо удовлетворить условию: 3 n. = 2р₅, но оно заложено в самом определении группы Ассура, для которой

Если звено входит в одну кинематическую пару пятого класса и одну четвертого, то возможно позвенное решение, так как в этом случае задача тоже будет статически определимой. Реакция к кинематической паре четвертого класса содержит только одно неизвестное— величину (модуль, а направление и точка приложения известны). Таким образом, общее число неизвестных, подлежащих определению, будет равно трем, т. е. будет равно числу уравнений статики.

3°. Порядок решения задачи об определении реакций в кинематических парах механизма:

1)  определяют внешнюю нагрузку (включая и инерционную), приложенную к звеньям механизма;

2)  механизм разделяют на группы Ассура;

3)  рассматривают равновесие каждой группы Ассура, образовавшей механизм, начиная с той, которая была присоединена к механизму в последнюю очередь;

4)  из условия равновесия ведущего звена находят реакцию в кинематической паре, в которую это звено входит со стойкой. Для первого случая расчета предварительно определяют уравновешивающее усилие (силу или момент); для второго случая этого делать не приходится, так как оно является известным.

Если в механизме есть звенья, входящие в одну кинематическую пару пятого класса и одну четвертого, то может быть рекомендован позвенный расчет. Его следует начинать со звена, присоединенного к механизму последним. Это замечание в основном относится к расчету кулачковых и зубчатых механизмов.

Правильность расчета для механизмов с кинематическими парами пятого класса всегда можно проверить рычагом Жуковского. Сумма моментов всех сил, приложенных к звеньям механизма и

перенесенных на повернутый план скоростей относительно его начала, должна быть равна нулю.

Для определения реакций в кинематических парах группы Ассура или в кинематических парах одного звена (при позвенном решении) молено воспользоваться любым методом, известным из курса теоретической механики.

Для механизмов нашел себе преимущественное применение метод планов сил, который основан на построении векторной суммы сил, приложенных к звеньям рассматриваемой группы Ассура. Эта векторная сумма должна равняться нулю.

Решение задачи об определении реакций в кинематических парах проследим на примерах расчета конкретных механизмов. Трением в кинематических парах в этих расчетах будем пренебрегать. Как это трение следует учитывать, будет сказано в конце раздела. Реакцию в кинематической паре будем обозначать Р _jk, где индекс jk указывает, с какого звена (j) на какое звено (k) рассматривается действие.

4°. Примеры на определение реакций в кинематических парах.

Пример 1. Дан кривошипно-ползунный (шатунный) механизм (рис. 107, а). Известны размеры его звеньев, а положение ведущего звена АВ определяется углом φ₁. Звено 2 (шатун) загружено силой Р₂, приложенной в точке k ₂, и моментом М₂; звено 3 (ползун) загружено силой Р₃, приложенной в точке k ₃ и направленной параллельно линии х'х' (направлению движения ползуна). К ведущему звену 1 (кривошипу) приложен неизвестный уравновешивающий момент М_у, который обеспечивает равновесие всего механизма.

Решение. 1) Разделяем механизм на группы Ассура. Из этих групп берем одну, она образована звеньями 2 и 3. Выделяем эту группу (рис. 107, б) и заменяем связи силами. Шарнирную связь В заменяем реакцией Р₁₂ и действие направляющих в поступательной паре D — силой Р ₄₃. Из условия равновесия группы имеем

 (102)

Формула (102) справедлива для любой группы Ассура второго класса. В эту формулу всегда входит внешняя нагрузка, приложенная к звеньям группы, и две реакции во внешних кинематических парах группы.

Равенство (102) построено быть не может, так как оно содержит три неизвестных: модуль силы Р₄₃ (ее направление перпендикулярно линии х' — х'), модуль и направление силы Р₁₂. Силу Р₁₂ заменяем двумя ее составляющими: Р ^t ₁₂ перпендикулярной линии ВС и Р ⁿ₁₂, параллельной линии ВС. Равенство (102) теперь запишем так:

  (103)

его можно будет построить, если предварительно найдем модуль силы Р ^t ₁₂ для этого рассмотрим равновесие звена 2 и приравняем

нулю сумму моментов сил, к нему приложенных, относительно центра шарнира С:

откуда

(в числителе представлена алгебраическая сумма). Теперь векторный многоугольник по равенству (103) может быть построен. Примем такой порядок его построения: назначим порядок обхода контура группы (слева направо или наоборот) и будем откладывать силы в той же последовательности, в которой мы их встретим при принятом направлении обхода.

От точки а (рис. 107, в) отложим силу Р ^t ₁₂ (отрезок ab), от точки b — силу Р₂ (отрезок b с), от точки с — силу Р ₃ (отрезок cd). Через точки а и d проведем соответственно направления сил Р ⁿ ₁₂ (параллельно ВС) и Р ₄₃ (перпендикулярно х '— х'), точка их пересечения е даст искомое решение (рис. 107, в).

Соединим точки b и е и получим силу Р₁₂  — реакцию в шарнире В. Сила P ₄₃ –искомая реакция в поступательной паре D.

Для определения реакции во вращательной паре С (внутренней паре группы) надо рассмотреть равновесие либо звена 2, либо 3.

Для звена 3

из рис. 107, в видно, что искомая сила Р₂₃ изображается отрезком ес. Точку приложения силы Р ₄₃ находят тоже из рассмотрения равновесия звена 3 (ползуна), только для этого надо написать равенство нулю суммы моментов сил, к нему приложенных, относительно центра шарнира С:

откуда

2) Рассматриваем равновесие ведущего звена АВ. Это звено загружено:

 силой Р₂₁ = — Р₁₂, моментом М _у и реакцией во вращательной паре А — силой Р₄₁ (рис. 107, г).

Из условия равновесия рычага имеем

а из условия равновесия звена А В, написанного в векторной форме,

откуда

Пример 2. Дан механизм двухлепесткового аэрофотозатвора (рис. 108, а). Известны размеры звеньев механизма, а положение ведущего звена АВ определяется углом φ₁ Звено 2 (шатун) загружено силой Р₂, приложенной в точке k ₂ и моментом М₂; звено 3 (коромысло)— моментом М ₃; звенья 5 и 5' (лепестки) равными мо-

 

 

ментами М₅ и М₅' звенья 4 и 4' (камни) не загружены. К ведущему звену 1 (кривошипу) приложен неизвестный уравновешивающий момент М _у, который обеспечивает равновесие всего механизма. Лепестки 5 и 5' расположены зеркально симметрично относительно направляющей уу и центра шарнира D

Решение. 1) Разделяем механизм  на группы Ассура. Этих групп — три: одна второго класса, первого вида (звенья 2 и 3) и две второго класса, третьего вида (звенья 4 и 5, звенья 4' и 5'), обе эти группы присоединены в последнюю очередь.

2) Расчет группы 4—5 (группу 4'—5' рассчитывать не надо, гак как ее расчет идентичен расчету группы 4—5) (рис. 108,6).

Для этой группы реакциями будут: сила Р ₆₅, приложенная в центре шарнира F и сила Р ₃₄, направленная перпендикулярно направляющим уу, в нашем случае она пройдет через центр шарнира Е, так как звено 4 не загружено (звено 4 находится под воздействием сил Р ₃₄ и Р ₅₄  и так как оно уравновешено, то эти силы равны, противоположно направлены и лежат на одной линии, а точка приложения силы Р ₅₄ находится в центре шарнира Е). Звено 5 нагружено моментом М 5. поэтому силы P ₆₅, и Р₃₄ образуют пару сил

₆₅ = - ₃₄.

Модуль одной из сил, образовавших пару,

откуда

3) Расчет группы 2—3 (рис. 108, в). К заданной для группы нагрузке надо присоединить воздействие отсоединенных групп 4—5 и 4'—5'. Это воздействие определится силами Р ₄₃ и Р ₄₃̍ равными по модулю силе P ₃₄. Эти силы образуют пару сил с моментом М ₃̍= Р ₄₃ • 2 • H ₄₃ (следует иметь в виду, что мы рассматриваем частный случай: симметричность расположения лепестков и идентичность их загружения).

Реакциями во внешних парах группы будут: сила Р₁₂, приложенная в центре шарнира В, и сила Р₆₃, приложенная в центре шарнира D. Условие равновесия запишем по формуле типа (102):

Аналогично решенному примеру 1 силы Р₁₂ и Р_{6 3} заменяем их составляющими:

 

 где тангенциальные силы соответственно перпендикулярны линиям ВС и CD, а нормальные параллельны этим линиям

Формулу (102) приведем к виду (103):

 

Эту векторную сумму сможем построить после определения модулей сил Р ^t ₁₂ и P ^t ₆₃, которые найдем из формулы (104):

откуда

(в числителях представлены алгебраические суммы).

Строим векторную сумму (103), обходя контур группы слева направо (рис. 108, г). От точки а отложим силу Р ^t ₁₂ (отрезок ab), от точки b — силу Р₂ (отрезок b с), от точки с — силу Р ^t ₆₃ (отрезок cd). Через точки а и d проводим направления неизвестных сил Р ⁿ ₁₂, Р ⁿ ₆₃ (линии, параллельные ВС и CD). Точка е их пересечения даст искомое решение: сила Р ⁿ ₁₂ изобразится отрезком еа, а сила Р ⁿ ₆₃ — отрезком de; реакции: Р ₁₂— отрезком be, Р₆₃ — отрезком се.

Реакцию в шарнире С (внутренней паре) найдем из равновесия звена 3:

откуда

4) Расчет ведущего звена 1. К нему приложены: сила Р ₂₁— - P ₁₂ (в центре шарнира В), сила Р ₆₁ — реакция в шарнире А, приложенная в центре этого шарнира, и момент М_у.

Из условия равновесия рычага

подучаем

Пример 3. Дан механизм поперечно-строгального станка (рис. 109, а). Известны размеры звеньев механизма, а положение ведущего звена АВ определяется углом φ₁ Звенья 2, 3 и 4 не загружены, звено 5 (суппорт) нагружено силой Р ₅, приложенной в точке k ₅ ̍, и силой Q ₅, приложенной в точке k ₅. К ведущему звену 1 (кривошипу) приложен уравновешивающий момент М _у, который обеспечивает равновесие всего механизма.

    Решение. 1) Разделяем механизм на группы Ассура. Этих групп — две: группа второго класса, третьего вида, состоящая из

звеньев 2 и 3, и группа второго класса, второго вида — звенья 4 и 5, которая присоединена к механизму в последнюю очередь.

2) Расчет группы 4—5 (рис. 109, б). Для этой группы реакциями будут: сила Р ₃₄ приложенная в центре шарнира D и направленная вдоль линии DE (реакция Р₃₄ направлена по стержню DE потому, что это звено не нагружено), и сила Р₆₅, направленная перпендикулярно направляющим FF (ее точка приложения не известна). Условие равновесия группы

Строим векторную сумму (102) (рис. 109, в), обходя контур группы справо налево.

От точки а отложим силу Р₅ (отрезок ab), от точки b — силу Q ₅ (отрезок b с). Через точки а и с проводим направления искомых сил Р₆₅ и Р₃₄ (линия перпендикулярная FF и параллельная DE). Точка их пересечения d дает искомое решение: сила Р ₆₅ изобразится отрезком da, сила Р₃₄ — отрезком cd.

Точку приложения силы Р ₆₅ найдем из условия равновесия звена 5:

откуда

(в числителе представлена алгебраическая сумма).

2) Расчет группы 2—3 (рис. 109, г). К заданной для этой группы нагрузке надо добавить силу Р ₄₃ = — Р ₃₄ воздействия отсоединенной группы 4—5.

Реакциями во внешних парах группы будут силы: Р ₁₂, приложенная в центре шарнира В и направленная перпендикулярно направляющим CD, и сила Р ₆₃, приложенная в центре шарнира С (сила Р ₁₂ направлена перпендикулярно направляющим CD потому, что она равна силе Р ₃₂ воздействия направляющих на ползун).

Условие равновесия группы

эту векторную сумму можно построить, если предварительно найти модуль силы Р ₁₂ из уравнения, написанного для всей группы:

откуда

Строим векторную сумму (102) (рис. 109, д). От точки а откладываем силу Р ₄₃ (отрезок ab), от точки b — силу Р₁₂ (отрезок b с). Отрезок са даст искомую силу Р ₆₃.

4) Расчет ведущего звена (рис. 109. е). К нему приложены: сила Р ₂₁ = — Р ₁₂ (реакция в шарнире В), сила P ₆₁ (реакция в шарнире A) и момент М_у. Из условий равновесия звена 1 (кривошипа)

получаем

Пример 4. Дан кулачковый механизм (рис. 110, а). Известны размеры звеньев механизма, а положение ведущего звена 1 (кулачка) определяется углом φ₁ Звено 2 (штанга-шток) загружено силой Р₂, направленной по оси Ау. К ведущему звену приложен неизвестный уравновешивающий момент М_у, который обеспечивает равновесие всего механизма.

1) Расчет ведомого звена 2 (штанги) (рис. 110,6). К этому звену приложены силы: Р₂ — заданная, Р ₁₂—реакция в кинематической паре четвертого класса В, направленная по нормали пп к профилю кулачка, и Р ₃₂ — реакция в поступательной паре С, направленная перпендикулярно направляющим Ау. Условие равновесия звена 2 запишется аналогично условию равновесия группы (102):

Строим векторную сумму (102) (рис. 110, в). От точки а отложим силу Р₂ (отрезок ab). Через точки а и b проводим направления неизвестных искомых сил Р ₃₂ и Р ₁₂— линии: перпендикулярную Ау и параллельную пп. Точка их пересечения с даст отрезки: са — сила Р₃₂ и b с — сила P ₁₂. Сила Р ₃₂ приложена в точке В, так как звено 2 находится в равновесии под действием трех сил, а в этом случае они должны пересекаться в одной точке. Силы Р₂ и Р ₁₂проходят через точку В, следовательно, и сила Р ₃₂ должна проходить через эту же точку.

2) Расчет ведущего звена 1 (кулачка) (рис. 110, а). К нему приложены: сила Р₂₁= — Р₁₂ в точке В, сила Р ₃₁ — реакция в шарнире А и момент М _у. Из условий равновесия звена 1

получаем

Пример 5. Дан планетарный редуктор типа Джемса (рис. 111, а). Размеры колес известны. Зубцы на колесах очерчены эвольвентами окружностей, поэтому усилие от колеса к колесу передается по

нормалям к эвольвентам, проходящим через точки касания начальных окружностей. Эти нормали пп составляют с касательными ии один и тот же угол а — угол зацепления. Колесо 1 (ведомое) загружено моментом M ₁, к водилу H приложен уравновешивающий момент М _у = М_н (этот момент не известен).

Трением в кинематических парах механизма пренебрегаем, поэтому КПД его равен единице.

Сделаем важное замечание: Для того чтобы дать позвенный расчет реакций в кинематических парах редукторов, ведущим зве­ном всегда следует назначать водило H (это замечание относится к расчетулюбого одноступенчатого планетарного редуктора).

1)Расчет центрального колеса 1 (рис. 111,6). К нему приложены: сила Р₂₁ — реакция в зубчатом зацеплении, Р ₃₁ — реакция в шарнире А и момент М ₁. Из условий равновесия звена 1

получаем

1) Расчет колеса 2 (сателлита) (рис. 111, в). К нему приложены; сила Р ₁₂ = — Р ₂₁— воздействие колеса 1 на колесо 2, сила Р ₃₂ — реакция в зубчатом зацеплении колес 2 и 3 и Р _{H 2} — реакция в шарнире D. Из условия равновесия звена 2 следует, что

Треугольник по равенству (102) можно построить, если предварительно найдем силу Р₃₂

откуда

Строим теперь треугольник по равенству (102) (рис. 111, г). От точки а отложим силу Р ₁₂ (отрезок ab), от точки b — силу Р ₃₂ (отрезок b с). Отрезок са дает искомую силу Р _{H 2} -3)Расчет ведущего звена H (водила) (рис. 111, д). К нему приложены: сила Р_{2 H} = — Р _{H 2}, сила Р _3H—реакция в шарнире Е и момент M _y = M _H. Из условий равновесия звена H

получаем

Если будет задан момент на водиле, то для выполнения сделанного указания следует найти момент на центральном колесе 1 по равенству

и дальше вести расчет в указанной последовательности

5. Учет трения в кинематических парах механизма при силовом анализе. Расчет реакций в кинематических парах механизма с учетом трения между элементами этих пар значительно усложняет задачу. Поэтому его учитывают приближенно: находят реакции, пренебрегая трением, т. е. считают связи идеальными, а затем подсчитывают силы и моменты трения, которые обусловлены реакциями, найденными для идеального случая.

В поступательной паре сила трения (рис. 112, а)

где P ₁₂—реакция;

f —коэффициент трения скольжения (величина безразмерная).

Во вращательной паре момент трения (рис. 112,6)

d — диаметр шипа

Сила трения F и момент трения M_F направлены соответственно против относительной скорости движения звена 2 относительно 1-го. В паре четвертого класса силу трения (рис. 112, в) определяют по формуле (109), а момент трения перекатывания (качения)

К — коэффициент трения качения (имеет линейный размер).

После того, как найдены моменты и силы трения в кинематических парах механизма, легко найти мощность, расходуемую на трение в этих парах, в выбранном положении механизма. Эта мощность подсчитывается по известным формулам механики:

где P_jk и M_jk — сила и момент трения;

υ_kj и ω _kj. — относительные скорости движения звеньев, вошедших в кинематическую пару.

Точное решение задачи о нахождении реакций с учетом трения можно найти в работах: доц. Г. А. Барсова, проф. М. А. Скуридина, доц. С. И. Пантелеева, доц. В. Т. Шебанова и других.

ЛЕКЦИЯ ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ

 

Тема V. СИНТЕЗ (КИНЕМАТИЧЕСКОЕ

ПРОЕКТИРОВАНИЕ) МЕХАНИЗМОВ

Постановка задачи

1˚. Задача формулируется так: заданы движения ведущего и ведомого звеньев. Требуется так подвижно соединить эти звенья, чтобы движением ведущего звена осуществить движение ведомого. Эту задачу можно выполнить механизмами с различными схемами, следовательно, задача синтеза механизмов имеет множественное решение. Для получения определенного решения необходимо задавать (выбирать) принципиальную схему механизма и тогда задача синтеза сведется к определению таких размеров механизма, при которых будет выполняться заданный закон передачи движения.

На выбор схемы механизма влияют различные факторы: назначение механизма, условия его работы, допускаемые габариты, КПД и т. д.

При прочих равных условиях всегда надо стремиться к наиболее выгодной передаче усилия от ведущего звена к ведомому. Это обстоятельство вполне характеризуется углом давления: чем он меньше, тем выгоднее пе­редается усилие. 2°. Углом давления называется угол а, образованный направлением силы, передающейся от ведущего звена к ведомому, и направлением скорости точки приложения этой силы. На рис. 113 показан этот угол а для различных механизмов: четырехзвенного четырехшарнирного (рис. 113, а), кривошипно-ползунного (рис. 113, б), кулачкового (рис. 113, в), зубчатого (рис. 113, г). В рассматриваемых примерах трением в кинематических парах пренебрегаем и считаем, что шатун (рис. 113, а и 113,6) не загружен. Что угол давления следует делать меньшим, покажем на примере кулачкового механизма (рис. 114). Момент на валу О кулачка преодолевает сопротивление P 2 приложенное к штанге. Кулачок воздействует на штангу силой Р 12, приложенной в точке В. Разложим эту силу на две: Р t 12—перпендикулярную штанге и Р n12,

направленную по ней. Сила Р ^t ₁₂ вызовет реакцию в поступательной паре, а эта последняя обусловит силу трения F между штангой и ее направляющими. Сила Р ⁿ₁₂ преодолевает заданное сопротивление Р₂ и силу трения F. Очевидно, что чем больше будет сила трения F, тем меньшее усилие может преодолеть наперед заданная сила Р ₁₂ (наперед заданный момент на валу О). Поэтому желательно уменьшать силу трения, которая будет убывать с уменьшением силы Р ^t ₁₂и угла давления а.

При большом угле давления сила трения может оказаться столь большой, что станет больше силы Р₂ и механизм заклинится (при угле давления, равном 90°, передачи движения осуществить нельзя).

3°. Общих методов проектирования для всех механизмов нет. Разработаны методы проектирования отдельных типов механизмов: зубчатых, кулачковых, механизмов с кинематическими парами пятого класса и т. д.

Механизмы с парами пятого и четвертого классов (зубчатые, кулачковые) могут воспроизводить любую функцию положения в то время, как механизмы с парами пятого класса (различные четырехзвенники) воспроизводят только одну им присущую функцию положения, остальные они могут воспроизвести только приближенно.