Проектирование зубчатых механизмов

1°. Класс этих механизмов обширен. Укажем некоторые типы плоских механизмов: а) одноступенчатые с постоянным передаточным отношением (рис. 115), планетарный редуктор типа Джемса (рис. 116); одноступенчатые с переменным передаточным отношением— некруглые колеса (рис. 117); многоступенчатые. В нашем курсе ограничимся только задачей проектирования механизмов типа рис. 115, а.

2°. Общая теория зацепления. Эту теорию рассмотрим на примере внешнего зубчатого зацепления с постоянным передаточным отношением i ₁₂= const. Пусть задано межцентровое расстояние А_с6 (рис. 118) и постоянное передаточное отношение i _12. Тогда

Окружности радиусов R ₁ и R ₂, как известно, называются начальными (они являются центроидами в относительном движении колес), а точка их касания Р₁₂ будет полюсом мгновенного вращения в относительном движении колес 1 и 2.

Для осуществления заданного передаточного отношения свяжем с колесом 1 произвольно выбранный профиль П₁П₁ проходящий в данный момент через полюс зацепления P ₁₂. На колесе 2 найдем такой профиль П ₂ П ₂, который удовлетворял бы следующему условию: где бы ни соприкасались профили П₁П₁ и П ₂ П ₂, нормаль к ним, проведенная в точке их касания, должна проходить через полюс зацепления Р₁₂. Это условие вытекает из известного закона Виллиса: «Линия действия (в нашем случае нормаль) делит линию центров на части, отношение которых обратно пропорционально отношению угловых скоростей».

Построение сопряженного профиля П ₂ П ₂ проведем методом Рело. Задан произвольный профиль П₁П₁ на колесе 1, который в данный момент проходит через полюс зацепления Р ₁₂. Очевидно, что одна точка искомого профиля П ₂ П ₂ уже известна, она совпадает с точкой Р ₁₂, так как нормаль к профилям проходит через полюс зацепления. Построим еще одну точку искомого профиля П ₂ П ₂. Отметим на профиле П₁П₁ точку а₁. Проведем через точку а₁ нормаль n ₁ n ₁к профилю П₁П₁. Эта нормаль п₁п₁ не проходит через полюс за­цепления, поэтому сейчас (в этот момент) мы не можем допустить касания заданного профиля П₁П₁ с искомым П ₂ П ₂. Нормаль п₁п₁ пересекает начальную окружность колеса 1 в точке а ₁. Когда вследствие вращения колес точка a ₁ и соответствующая ей на колесе 2 точка а ₂ (лежащая на равном дуговом расстоянии от полюса Р ₁₂ P ₁₂ a _{1 =} P ₁₂ a ₂) придут в полюс Р ₁₂, тогда можно и должно допустить зацепление заданного профиля П ₁ П ₁ с искомым П ₂ П ₂. Точку зацепления А ₁₂ находят так: из точки О₁ проводим окружность радиуса O ₁ a ₁ и засекаем ее из точки Р ₁₂  дугой окружности радиуса P ₁₂ A ₁₂ = а₁а₁. Точек типа А ₁₂ будет бесчисленное множество и они образуют линию зацепления (л. з.) — геометрическое место точек, принадлежащих неподвижной плоскости, где будет происходить зацепление сопряженных профилей П₁П₁ и П ₂ П ₂.

Теперь разыщем на искомом профиле П ₂ П ₂ точку а ₂, которая встретится с точкой а₁ на л. з. в точке А ₁₂. Для этого из точки O ₂ проведем окружность радиуса O ₂ A ₁₂ и из точки а ₂ засечем ее дугой окружности радиуса a ₂ a ₂ = P ₁₂ A ₁₂ -

Аналогичным построением можно получить сколь угодно большое число точек искомого сопряженного профиля П ₂ П ₂.

Рассмотренный метод построения сопряженных профилей можно применить для внутреннего зацепления зубчатых колес, для зацепления колеса с рейкой и для некоторых колес, у которых центроиды в относительном движении не будут окружностями и передаточное отношение — непостоянное число

Особенности зацепления сопряженных профилей следующие,

а) Практическая или рабочая часть л. з. (рис. 119, а). Сопряженные профили П ₁ и П ₂ построены, известна их л. з. Сопряженные профили в зубчатых колесах ограничены по высоте окружностями головок R_n и R ₁₂, которые пересекаются с л. з. в точках А и В. Дуга А В называется рабочей частью линии зацепления. Очевидно, что вершина зубца П ₂— точка а₂ зацепится с профилем П ₁ в точке А и за этой точкой зацепления уже не будет. Аналогично, точка b ₁— вершина зубца П ₁ придет в зацепление с профилем П ₂ в точке В и за этой точкой (b ₁ ) зацепления тоже не будет.

б) Рабочие части профилей (рис. 119,6). Вследствие ограниченности зубцов по высоте не все точки профилей П ₁ и П ₂ будут использованы для целей зацепления. В самом деле, вместе с конечной точкой a ₂ (вершимой головки) зубца П ₂ на л. з. придет точка а_{ зубца П ₁. За этой точкой (считая по направлению к центру колеса 1) профиль П ₁ не будет зацепляться с профилем П ₂. Для профиля П ₁ вершина его головки — точка b ₁ придет в зацепление в точке В линии зацепления с точкой b ₂ профиля П ₂. За точкой b ₂ (считая по направлению к центру колеса 2) профиль П ₂ работать не будет.  

Дуги а₁ b ₁ и а₂ b ₂ называются рабочими частями профилей П ₁ и П ₂.

в) Непрерывность зацепления и степень плавности (степень перекрытия) (рис. 119, в).

Для непрерывного вращения зубчатых колес надо, чтобы после выхода из зацепления одной пары профилей ей на смену пришла в зацепление следующая пара. Для этого необходимо удовлетворить условию: дуга зацепления S должна быть больше шага за­цепления t. Дугу зацепления находят так: располагают профиль на каком-нибудь колесе, например 2, проходящем через точку В линии зацепления— начало зацепления профиля П₂₁ с профилем П ₁ (этот профиль на чертеже не показан), затем перемещают его в положение, когда он пересечет точку А линии, зацепления — конец зацепления профиля П'₂₁ с профилем П _1. Пересечение профиля П₂₁ с начальной окружностью в точках и d ₁  и d ₂ определит дугу зацепления S.

Дугой зацепления называется дуга, которая стягивает центральный угол, на который повернется колесо, пока одна пара профилей будет находиться в зацеплении.

Шагом зацепления t будет дуговое расстояние, измеряемое по любой окружности, от одного профиля (П_{2 I}) додругого (П_{2 II})- При сравнении дуги зацепления с шагом обе дуги следует измерять но одной и той же окружности.

Степенью плавности ε (перекрытия) называется отношение дуги зацепления S к шагу t, это отношение должно быть больше единицы:

3°. Эвольвентное зацепление. В Советском Союзе изготовляется в день несколько миллионов штук зубчатых колес, поэтому применять произвольно выбранные профили не допустимо, так как, помимо других соображении, придется для каждой пары профилей изготовлять своп режущий инструмент. В практике наибольшее применение получили профили, образованные эвольвентами окружностей.

Эвольвентой окружности называется траектория точки М₀ прямой N ₀ N ₀ (рис. 120), катящейся без скольжения по окружности радиуса R ₀. Эта окружность называется основной, а прямая N ₀ N ₀— производящей прямой.

Построение эвольвенты (рис. 120, а). Прямая N ₀ N ₀ касается основной окружности в точке М ₀. Построим эвольвенту, которая будет описана точкой М ₀ при перекатывании прямой N ₀ N ₀ по направлению часовой стрелки. На прямой N ₀ N ₀ отложим равные отрезки М ₀— 1, 1 — 2, 2—3 и т. д., а на основной окружности — равные дуги: M ₀ —1' = M ₀ —1, 1' — 2'= 1—2, 2' — 3' = 2—3 и т. д. При перекатывании прямой N ₀ N ₀ по окружности радиуса R _о точки 1 и 1', 2 и 2', 3 и 3' п т. д. будут совпадать, а производящая прямая займет положения: 1' — N ₁, 2' — N ₂, 3' — N ₃ и т. д. От точек 1', 2', 3' и т. д. вдоль линий 1' — N ₁, 2' — N ₂, 3' — N ₃ и т. д. отложим соответственно отрезки: 1' — М₁ = 1 — М₀, 2' — М₂ = 2 — М₀, 3' — M ₃ = 3 — М₀ и т. д. Соединив точки М₀, М_1, М₂,.., получим эвольвенту Э_м.

Рис. 120. Эвольвента окружности:

а — построение; б — полярные координаты.

Основные свойства и уравнения эвольвенты (рис. 120,б).

а) Эвольвента — односторонне ограниченная спираль, она на­чинается на основной окружности в точке М₀.

б) Нормалью к эвольвенте в точке М j ее будет касательная М _j K_j, проведенная к основной окружности.

в) Отрезок касательной M_jK_j является радиусом кривизны р _j эвольвенты в точке М _j ее.

г)  Угол α _j, заключенный между текущим радиусом-вектором R_j и перпендикуляром OK_j к нормали, опущенным из центра О основной окружности, называется углом давления, Из рисункавидно, что

 откуда      (113)

 

д)   Уравнения эвольвенты в полярных координатах. Начало координат совпадает с центром основной окружности, а ось отсчета Оу проходит через начало эвольвенты М₀. Радиус-вектор

 

 

(114)

Полярный угол (эвольвентнаяфункция или инволюта угла давления — inv a_j)

(114 а)

Этот угол обычно находится по специальным таблицам. Из равенств (113), (114) и (114 а) видно, что эвольвента окружности вполне определяется единственным параметром:

Радиусом основной окружности.

 

 

ЛЕКЦИЯ ПЯТНАДЦАТАЯ

(Продолжение четырнадцатой лекции)

4°. Построение эвольвентных профилей. Свойства эвольвентного зацепления.

Рассмотрим построение эвольвентных профилей для внешнего, внутреннего зацеплений и зацепления колеса с рейкой. Для первых двух типов зацеплений будем считать, что задано: межцентровое расстояние А_сб и передаточное отношение i ₁₂.

а) Внешнее зацепление (рис. 121, а). Определяем радиусы начальных окружностей по формулам (111) и (111а):

Строим эти окружности с центрами в точках О ₁ и О ₂ и через точку Р их касания проводим касательную ττ. Под углом зацепления (или сборки)— а ₃ (а _сб) к касательной ττ проводим линию производящую эвольвенту — линию NN. Из центров начальных окружностей О ₁ и О ₂опускаем на линию NN перпендикуляры О ₁ К ₁ и О ₂ К ₂, проводим основные окружности, касающиеся линии NN (радиусы этих окружностей R 0 ₁ = О ₁ К ₁и R 0 ₂ = О ₂ К ₂ ). Перекатыванием прямой NN по соответствующим основным окружностям вычерчиваем эвольвенты Э ₁ и Э ₂, которые будут сопряженными профилями П ₁ и П₂ зубчатых колес 1 и 2. Из чертежа видно, что радиусы основных и начальных окружностей связаны равен­ствами:

Если на колесах будет по z ₁и z ₂ зубцов, то шаг зацепления по начальной окружности

откуда

 

 

Рис. 121. Построение эвольвентных профилей зубчатых колес:

а—внешнего зацепления; б — внутреннего зацепления;

в — зацепле­ния колеса с рейкой

Отношение шага t к π называется модулем т _нач:

(116)

поэтому

(117)   (117 а)

 

 

Для каждой окружности существует свой модуль и только для так называемой делительной окружности (о ней речь пойдет после) его значение стандартизировано (ГОСТ 9561—63); он будет нами обозначаться буквой т без всякого индекса.

б) Внутреннее зацепление (рис. 121,6). Радиусы начальных окружностей:

 

(118)   (118 а)

Строим эти окружности с центрами в точках О ₁ и О ₂. Через точку Р их касания проводим касательную ττ. Под углом зацепления (сборки) а₃ = а_сб к линии ττ через точку Р проводим прямую NN — производящую эвольвенты. Вычерчиваем основные окруж­ности радиусов: R 0 ₁ = О ₁ К ₁и R 0 ₂ = О ₂ К ₂. Перекатыванием прямой NN по основным окружностям точкою Р вычертим эвольвенты Э ₁ и Э ₂, которые будут сопряженными профилями П ₁ и П₂ зубцов на колесах 1 и 2. Для этого зацепления справедливы формулы

(115) — (118).

в) Зацепление колеса с зубчатой рейкой (рис. 121, в). В этом зацеплении начальная окружность на рейке обращается в прямую ττ, касающуюся начальной окружности колеса.

При зацеплении колеса с рейкой начальная окружность колеса называется делительной. Ее радиус R Д₁ вычисляется с помощью стандартного модуля m:

(119)

Проводим окружность радиуса R Д₁ с центром в точке О ₁. К этой окружности проводим прямую ττ — начальную прямую рейки. Через точку Р касания делительной окружности колеса с началь­ной прямой рейки под углом зацепления а _о (этот угол для зацепле­ния колеса с рейкой обычно выбирается равным 20°) прочерчиваем линию NN — производящую эвольвенты. Радиус основной окруж­ности на колесе

 

 

 

Перекатыванием прямой NN по основной окружности колеса получаем эвольвенту Э ₁— профиль П ₁, на колесе. Профилем на рейке будет прямая П₂П₂, перпендикулярная линии NN.

Из чертежа видно, что радиус основной окружности

 

(120)

По формулам (119) и (120) всегда находят радиусы делительных и основных окружностей для зубчатых колес, находящихся в любом зацеплении.