Глава 2. Подбрасывать монету или пускать стрелу                     71

значения – нуля (высокого центрального прямоугольника). Редкие круп­ные выигрыши находятся по краям гистограммы. Соединив непрерывной линией середины прямоугольников, получим уже известную нам кривую Гаусса, имеющую форму колокола.

Рис. 2.2. Кривая Гаусса

Гарри выигрывает, когда выпадает орел, и после каждого сета, со­стоящего из миллиона подбрасываний, записывает свой совокупный выигрыш или проигрыш. Высота кривой показывает, как часто по­лучался каждый отдельный результат. Большую часть времени вы­игрыши в сете невелики; они изображены в высокой средней части кривой. И только изредка выигрыши очень большие – им место на низко опущенных хвостах кривой. Такое распределение случайного процесса часто называют "нормальным".

Если изучить кривую Гаусса, обнаружатся удивительные факты. Во-пер­вых, предположим, что одновременно проходит несколько игр: Гарри и Том подбрасывают монету, их двоюродные братья бросают кости, а друзья сда­ют карты. Участники каждой игры рассчитывают получить свой, отличный от двух других игр, средний результат; но во всех трех случаях графическое представление того, как выигрыш в сете отличается от среднего значения, имеет все ту же общую колоколообразную форму. Правда, некоторые "коло­кола" окажутся приземистее, другие – уже. Однако все описываются одной и той же математической формулой, а различия между ними определяются всего двумя числами: средней ошибкой и дисперсией (или стандартным от­клонением), условным критерием ширины колокола [14].

Многие физические явления подчиняются более сложным законам, тем не менее удобно иметь одну формулу, полученную эмпирическим путем, которая включает два числа в качестве параметров. Например, обычный

Часть I. Старый путь

коэффициент интеллектуального развития (IQ) намеренно разработан та­ким образом, чтобы его результаты образовали кривую Гаусса. Средний IQ по определению равен 100 баллам, соответствующим центру "колокола". Практически 68% населения имеют IQ в пределах одного десятибалльного стандартного отклонения (которое принято называть греческой буквой сиг­ма, а) от среднего значения, т.е. попадают в диапазон от 90 до 110 баллов. Приблизительно 95% находятся в пределах двух стандартных отклонений от среднего, т.е. между 80 и 120 баллами, а три стандартных отклонения охватывают 98% населения. С ростом сигмы шанс попасть внутрь "колоко­ла" быстро приближается к 100%, тогда как шанс оказаться за его предела­ми – быть "выбросом", как говорят статистики, – приближается к нулю; для оценки этих шансов существует уравнение. Но мы рассказали не обо всех возможностях нормального распределения. Если наносить на график значение IQ каждого отдельного человека в стране, а не всего населения, то мы опять-таки получим кривую Гаусса. Еще один вывод: если экзаменаци­онные оценки по языку и математике независимы друг от друга, а распре­деление обеих переменных описывается кривой Гаусса, то и сумма оценок тоже распределена нормально. Конечно, комбинированная средняя оцен­ка и ее разброс изменятся, но основные характеристики кривой останутся прежними.

Короче говоря, нормальная кривая неуничтожима. Она – продукт ма­тематической алхимии. К ней неизбежно придешь, если скомбинировать множество небольших изменений, если каждое из них независимо от преды­дущего и если каждое незначительно в сравнении с их суммой. Ни один отдельный человек не оказывает большого влияния на общую кривую IQ, и ни один отдельный бросок не имеет большого значения для общей игры Гарри или Тома. Однако в совокупности, за какой-то длительный период времени или в случае, если рассматривать большое количество населения, результаты меняются правильно и предсказуемо. Отдельные точки (отдель­ные данные) – это песчинки, образующие береговую линию, травинки га­зона или электроны, движущиеся по медному проводу.

Глава 2. Подбрасывать монету или пускать стрелу            73

Стрельба из лука вслепую

Действительно, описанным образом удобно рассматривать окружаю­щий мир, но разве это единственный возможный подход? Вовсе нет. В конце своей долгой жизни французский математик XIX века Опостен Луи Коши обдумывал особенно причудливый вариант. В дни моей молодости взгля­ды Коши считались интересными, но нереалистичными и надуманными. Однако моя работа сделала их реальными.

По-моему, лучше всего эту теорию описать с помощью воображаемого лучника с завязанными глазами, стоящего перед мишенью, нарисованной на бесконечно длинной стене. Лучник стреляет наугад, в любом направле­нии. Очевидно, большую часть времени он промахивается. На самом деле, в половине случаев он стреляет вообще не в сторону стены, однако мы до­говоримся эти выстрелы не учитывать. Рассмотрим только те выстрелы, ко­торые попали в стену, но не в нарисованную на ней мишень. Будь эти про­махи распределены согласно кривой Гаусса (случайность "мягкого" вида), большинство стрел попали бы в стену довольно близко к мишени и лишь весьма немногие – очень далеко от нее. Допустим далее, что наш лучник стрелял достаточно долго, а общее количество выстрелов разделено на по­следовательные "сеты". Для каждого сета он мог бы рассчитать среднюю ошибку и стандартное отклонение и даже назвать результат своей стрель­бы вслепую. Однако в действительности лучник не может воспользоваться столь удобной кривой Гаусса, поскольку его промахи не описываются слу­чайностью "мягкого" вида. Слишком часто он стреляет настолько неточно, что стрела летит почти параллельно стене и вонзается в нее за сотни ме­тров от мишени, а то и за несколько километров, если у лучника достаточно сильные руки. Посмотрим, что мы получим, если после каждого выстре­ла будем рассчитывать текущий средний результат стрельбы по мишени. В гауссовой среде даже самые неточные выстрелы лишь очень незначитель­но влияли бы на общий результат. После определенного количества вы­стрелов лучник пришел бы к стабильному текущему среднему результату, на который практически не может заметно повлиять очередной выстрел. Однако в среде, предложенной Коши, события развиваются совершенно по-другому. Расстояние от мишени до самого дальнего попадания поч ти равно сумме расстояний от мишени до всех остальных попаданий. Один промах на

километр полностью поглощает 100 более точных выстрелов (промахов все­го на несколько метров). Теперь лучник, стреляющий вслепую, не придет к определенному предсказуемому среднему результату и стабильным коле­баниям вокруг этого результата, т.е. на языке теории вероятностей: ошибки стрельбы не сходятся к среднему значению. Они имеют бесконечное мате­матическое ожидание, а отсюда и бесконечную дисперсию [15].

Взгляд Коши на мир совершенно отличается от взгляда Гаусса. В мире первого ошибки распределены не так, как почти одинаковые песчинки; они представляют собой смесь песчинок, гравия, валунов и гор. Практическое значение этого отличия впервые было признано в моей работе, но о его су­ществовании ученые узнали давно. Еще в 1853 году на страницах еженедель­ного бюллетеня Французской академии наук развернулась дискуссия на эту тему между Коши и другим математиком, Ирене Бьенеме. Коши заметил, что результат стрельбы из лука вслепую противоречит формулам Гаусса, с помощью которых к тому времени, не особенно задумываясь об их истин­ности, уже обрабатывали данные почти всех научных измерений. Бьенеме возразил: метод Гаусса не просто удобен, он отражает фундаментальные истины о вероятности, а причудливая формула ошибок Коши описывает неестественную случайность; если бы такое когда-нибудь произошло в при­роде, любой ученый немедленно заметил бы ее.

Приведем выдержку из "Отчетов академии наук" (Comptes Rendus de l ' Academie des Sciences) за 29 августа 1853 года.

Наблюдения сами по себе насторожили бы менее внимательного на­блюдателя. Поскольку крупные ошибки должны иметь заметно высо­кую вероятность, они проявились бы с самого начала и возникали бы если и не столь часто, как другие ошибки, то, по меньшей мере, в столь же большой пропорции. Таким образом, были бы получены пугающе противоречивые наблюдения. Без сомнения, наблюдатель отбросил бы их, а измерительные приборы или методика наблюдении подверглись бы глубокой корректировке... Прибор, "подчиняющийся" такому закону вероятностей [закону Коши], никто и никогда не решился бы продавать. Трудно даже представить себе фирму, которая взялась бы за производ­ство такого прибора.

С тех пор большинство математиков и ученых придерживались следую­щего аргумента: гауссова математика проста и отвечает большинству форм