Глава 2. Подбрасывать монету или пускать стрелу        67

опустошались, возвращаясь в исходное состояние) собраны в кластеры (группы), а не распределены равномерно. Значит, получена нерегулярная структура.

В прошлом, когда данная диаграмма впервые была представлена на­учной общественности, на нее обратили внимание лишь немногие. Я же провел много часов за ее изучением, грезил ею, пытаясь обнаружить в ней структуры и процессы, присущие случаю. Насколько она, на первый взгляд, похожа на фондовую диаграмму? Чартисты днями напролет изучают фи­нансовые графики, выявляют структуры "голова и плечи", периоды сжатия или уровни поддержки, а затем конфиденциально советуют своим клиен­там покупать или продавать. Интересно, заметили бы они разницу, подсунь я им в папку одну из этих диаграмм эксперимента с монетой? Позвонил бы мне кто-нибудь из них с советом покупать?

Напомню ключевой пункт моей работы: случайность имеет более одно­го "состояния" или более одной формы, и каждая, если бы реализовалась на финансовом рынке, совершенно по-другому повлияла бы на поведение цен. Одна форма случайности, которую я называю "мягкой", самая извест­ная и управляемая. Случайности такой формы подчиняются монета и ста­тические помехи плохо настроенного радио. Ее классическим математиче­ским выражением является кривая Гаусса или "нормальное" распределение вероятностей, названное так потому, что долгое время рассматривалось как норма природы. Считалось, что температура, давление или другие харак­теристики природы отклонялись от среднего значения именно на ту вели­чину, какую позволяла имеющая форму колокола кривая Гаусса, и ни на йоту больше. Рассмотрим следующее состояние. На противоположном по­люсе шкалы расположилась "бурная" случайность. Она намного более бес­порядочна и непредсказуема. Примером служит корнуоллская береговая линия – далеко выдающиеся в море мысы, отвесные скалы и неожиданно тихие бухты. Скачки от одного значения к следующему неограниченны и пугающе резки. Наконец, третье состояние случайности, которое находится между двумя крайними, – это "медленная" случайность.

Представим случайность и ее три формы – мягкую, медленную и бур­ную – как самостоятельный мир с собственными специфическими за­конами физики. В таком случае "мягкая" случайность подобна твердому

состоянию материи: низкие уровни энергии, устойчивые структуры, строго определенный объем. Любой объект находится на своем определенном мес­те. "Бурной" случайности соответствует газообразное состояние материи: высокие энергии, отсутствие структуры и объема. И невозможно сказать, что произойдет с газообразным объектом и куда он переместится. Наконец, "медленная" случайность подобна промежуточному состоянию материи, жидкому. Впервые свои взгляды на случайность я представил в 1964 году в Иерусалиме на Международном конгрессе логики и философии науки. С тех пор я значительно развил эту теорию и показал, что без нее невозмож­но понять финансовые рынки в правильном свете. Как мы увидим ниже, стандартные теории финансов базируются на более легкой, "мягкой" фор­ме случайности. Однако имеется огромное количество фактов, свидетель­ствующих в пользу того, что в действительности рынки намного более бур­ные и поражающие воображение.

" Мягкая" форма случайности

Простейший тип случайности, выраженный кривой Гаусса, впервые оказался в центре внимания два столетия назад. С самого начала ее теория была влиятельной и одновременно противоречивой. Ее открытие породило споры об авторстве (о которых часто говорят, но я считаю не лишним еще раз напомнить о них) между особо выдающимся математиком Адриеном Мари Лежандром и одним из величайших ученых всех времен Карлом Фридрихом Гауссом.

В начале XIX века вычисление астрономических орбит было на перед­нем крае математических исследований. Усовершенствованные телеско­пы обеспечили ученых новыми данными о небесах, а сформулированный Ньютоном закон всемирного тяготения стал средством интерпретации этих данных. Но, как было известно со времен датского астронома Тихо Браге, жившего в конце XVI века, телескопические наблюдения могут сопровож­даться грубейшими ошибками. Одна из них – систематическая, обусловлен­ная недостатками приборов: неидеально отшлифованные линзы, неровно установленный телескоп. Ошибку такого вида можно объяснить, измерить и компенсировать. Однако была и случайная ошибка, неконтролируе­мая, к которой приводили изменчивые атмосферные условия, колебания

Глава 2. Подбрасывать монету или пускать стрелу         69

земной поверхности, нетрезвые ассистенты. Неконтролируемая ошиб­ка существенно осложняла расчеты орбиты обнаруженной кометы или планеты.

Подобно большинству великих математиков, живших в сравнительно недавно закончившуюся эпоху универсальности, Лежандр и Гаусс отлича­лись широкими профессиональными интересами. Так, Лежандр в Париже по-новому изложил знаменитые принципы геометрии Евклида, предложив стандарт в этой области, написал первый полный трактат по теории чисел, а в эпоху Наполеона участвовал в создании точной карты Франции. Гаусс в северном немецком герцогстве Ганновер (правитель которого впоследствии взошел на гораздо более богатый престол в Лондоне) был сыном простого чернорабочего, но также вундеркиндом, научившимся считать раньше, чем говорить; свое первое знаменитое математическое доказательство, в области геометрии, он представил в 18-летнем возрасте. Он усовершенствовал почти каждую область, которой касался: простые числа, алгебраические функции, бесконечные ряды, теория вероятностей, топология. Вместе с коллегой скон­струировал первый электрический телеграф. Подобно Лежандру активно занимался картографией. Имея лишь скудные исходные данные, рассчитал орбиты нескольких открытых малых планет. Вычисления он производил с удивительной быстротой: определил и проверил орбиту астероида Веста за десять часов, на что менее одаренному человеку потребовалось бы не­сколько дней напряженных расчетов с построением таблиц, перепроверкой и поиском ошибок.

Столкновение двух ученых произошло в сфере астрономии [12]. В 1806 го­ду Лежандр опубликовал трактат о расчете орбит, в котором имелось до­полнение, названное "О методе наименьших квадратов". В нем говорилось об общей проблеме: как найти "истинное" значение орбиты или любого другого природного явления, имея совокупность наблюдений, не лишен­ную ошибок. Лежандр предложил простой метод. Сделать предположение об истинном значении и рассчитать, насколько удалено от него каждое на­блюдение, т.е. рассчитать ошибку. Затем возвести каждую ошибку в квад­рат и просуммировать полученные числа. Вновь предположить истинное значение и проверить, не уменьшилась ли новая сумма квадратов оши­бок. Повторять процесс вновь и вновь [13]. Оценка по методу наименьших

квадратов позволяет определить ошибки, дающие наименьшую сумму квад­ратов, и, таким образом, значение, максимально близкое ко всем наблюде­ниям. Это был эффективный метод, немедленно нашедший признание как удобный и даже сегодня пригодный для регулярного использования в различных физических исследованиях, начиная с астрономии и закан­чивая биологией. Однако Гаусс спустя три года после появления трактата Лежандра описал подобный метод, не упомянув работу француза. Лежандр высказал свой протест, но немедленной реакции Гаусса не последовало, по­скольку немец никогда не любил тратить время на ссоры с другими матема­тиками. Прямого ответа от него научная общественность так и не получила, однако Гаусс заверил коллег, что придумал этот метод еще в восемнадцати­летнем возрасте и неоднократно использовал его в своих астрономических вычислениях. Примирить математиков попытался Лаплас, но безуспеш­но. В конце концов авторство открытия присудили обоим математикам. Доказательство приоритета Гаусса, найденное позднее в его объемных за­писных книжках, несколько спорно, но несомненно, что немецкий мате­матик видел в ставшем яблоком раздора методе более глубокий смысл, чем Лежандр.

Вернемся к эксперименту с монетой. Допустим, что Гарри или Том ве­дут записи отклонений от ожидаемого среднего значения – от нуля (в ито­ге они получат диаграмму, подобную приведенной на рис. 2.1 диаграмме Феллера). По примеру тенниса разделим всю игру на "сеты", состоящие из миллиона бросков, и запишем, сколько Гарри выиграл в первом сете, во втором и т.д. Размер выигрыша в отдельных сетах будет, конечно же, зна­чительно колебаться. В частности, нередко выигрыш окажется близким к нулю. Но, как утверждает теория, чаще в сете будет выигрывать один из братьев, как правило, на тысячу очков, т.е. бросков. И в совсем редких случа­ях получим намного, намного большую "ошибку", или отклонение от ожи­даемого среднего значения. Если бы братья затем изобразили результаты своей игры графически в виде так называемой "гистограммы", состоящей из примыкающих друг к другу вертикальных прямоугольников разной вы­соты, соответствующей количеству раз, когда встречалось отдельное значе­ние, то мы получили бы знакомую структуру (рис. 2.2). Многочисленные небольшие выигрыши сгруппированы вокруг ожидаемого среднего