Двумерные нестационарные ортогональные разложения

И спектральные характеристики

 

Пусть функция двух независимых переменных х(τ₁, τ₂) интег­рируема в квадрате с весом ρ = (t₁, τ₁, t₂, τ₂) = ρ₁(t₁, τ₁)ρ₂(t2, τ₂) на нестационарном прямоугольнике a₁(t₁) ≤ τ₁ ≤ b₁(t₁), a₂(t₂) ≤ τ₂ ≤ b₂(t₂), т.е.

Будем аппроксимировать функцию х(τ₁, τ₂) на нестационарном прямоугольнике с образующими отрезками [a₁(t₁), b₁(t₁)], [a₂(t₂), b₂(t₂)] линейной комбинацией n+1 первых по j и i функций нестационарной ортонормированной вещественной системы ~{q_j(t₁,τ₁) p_i(t₂, τ₂)}, где функции q_j(t₁,τ₁) связаны с функцией веса ρ₁(t₁,τ₁), а функции p_i(t₂, τ₂) - с ρ₂(t₂,τ₂), т. е.

 

В выражении коэффициенты С_ji(t₁, t₂) подлежат выбору(определению). За меру точности приближения обобщенного полинома x_n(t₁, τ₁, t₂, τ₂) к функции x(τ₁, τ₂) примем функцию

 

 

Можно показать, что минимум функции J_n(t₁, t₂) для каждых значений независимых переменных t₁, t₂ достигается, если коэф­фициенты С_ji(t₁, t₂) являются коэффициентами Фурье, определяемыми формулами

 

Минимальное значение двойного интеграла описывается формулой

 

 

Если системы функций {q_j(t₁,τ₁) p_i(t₂, τ₂)} замкнуты соответственно на отрезках [a₁(t₁), b₁(t₁)], [a₂(t₂), b₂(t₂)], то и система {q_j(t₁,τ₁) p_i(t₂,τ₂)} замкнута на нестационарном прямоугольнике с образующими отрезками [a₁(t₁), b₁(t₁)], [a₂(t₂), b₂(t₂)], т.е.

 

 

Учитывая выражение (IV.29) для замкнутой системы функций из формулы (IV.28), получим

 

Функция X(j, i, t₁, t₂), ординатами которой являются коэффи­циенты Фурье функции x(τ₁, τ₂), представляет собой двумерную спектральную характеристику функции x(τ₁, τ₂) по нестационар­ному ортонормированному базису {q_j(t₁,τ₁) p_i(t₂,τ₂)}, называемую в дальнейшем просто двумерной нестационарной спект­ральной характеристикой. Последняя, согласно выра­жению (IV.27), ищется по формуле

 

Двумерная нестационарная спектральная характеристика является функцией в общем случае четырех аргументов: двух дискретных j и i и двух непрерывных t₁ и t₂. Она может быть представлена в виде квадратной матрицы бесконечного порядка, элементами которой являются ее ординаты С_ji(t₁, t₂) (Переменная j указывает номер строки, а i – номер столбца)

Квадратная матрица конечного порядка описывает функцию времени в общем случае лишь приближенно.

Обратный переход от двумерной спектральной характеристики к функции времени осуществляется по формуле

 

и практически может быть произведен путем численного или графического суммирования конечного числа членов этого ряда вначале по одной переменной, например τ₁, а затем по дру­гой – τ₂. Понятие двумерных нестационарных спектральных характеристик можно распространить также на дельта - функции и ее производные.

В дальнейшем под знаком спектральных характеристик, когда это необходимо, будем писать символ системы функций, относи­тельно которой определена спектральная характеристика, напри­мер (j, i, t₁, t₂).

 

Нестационарные передаточные функции систем

С переменными параметрами

 

Всякая линейная система с переменными параметрами описы­вается тремя нестационарными передаточными функциями. При этом все передаточные функции определяются как нестационар­ные спектральные характеристики импульсной переходной функ­ции системы управления k (θ,τ)относительно ортонормированных систем функций, имеющих весовые функции, равные единице, и заданных на отрезках типа [t - T(t), t] или на квадратах с образующими отрезками этого типа.

Нестационарной нормальной

передаточной функцией N (j, t, τ) линейной системы назовем нестационарную спектральную характеристику ее нормальной импульсной реакции

Нестационарной сопряженной передаточной функцией Н(i, t, θ) линейной системы назовем нестационарную спектральную характеристику ее сопряженной импульсной реак­ции, она представляется матрицей-строкой):

Двумерной нестационарной передаточной функ­цией

W(j, i, t, t) линейной системы назовем двумерную неста­ционарную спектральную характеристику ее импульсной переход­ной функции:

Отметим, что при вычислении передаточных функций по фор­мулам следует иметь в виду, что

при θ < τ.

Обратный переход от нестационарных передаточных функций к импульсной переходной функции осуществляется по формулам

 

Точность аппроксимации импульсной переходной функции усеченными рядами Фурье определяется соответственно выраже­ниями

 

 

Ординаты неста­ционарных передаточных функций инерционных систем стремятся к нулю при неограниченном росте дискретных аргументов. Поэтому инерционные системы приближенно можно описывать конечным числом ординат передаточных функций. Связь двумерной неста­ционарной передаточной функции с одномерными устанавливается формулами

 

Итак, зная одну передаточную функцию, можно найти две остальные..

Например,

 

постоянная величина,

постоянная величина,