Итеративный метод восстановления сигнала

Цель работы

Иследование метода позволяющего исключить динамические искажения, вибрации, вносимые измерительной системой. Ознакомление с возможностями использования метода в информационных системах и системах управления.

Теоретическая часть

 

Решение задачи восстановления входных сигналов сводится к решению интегрального уравнения вида

 

, (1)

где К(t) – импульсная переходная функция стационарного оператора, x(t) – искомый входной сигнал. В большинстве случаев линейные операторы измерительных систем имеют интегрирующий характер [1,2].

Динамические характеристики восстанавливающих операторов, применяемых для преобразования сигнала y(t), приближаются к характеристикам неидеальных дифференцирующих операторов, имеющих укороченные по длине импульсные переходные функции. Входной сигнал может быть восстановлен по формуле:

 

. (2)

Если n изменяется в больших пределах, то вычисление по формуле (66) может оказаться очень трудоемкой операцией по числу операций сложения и умножения. Некоторое упрощение можно получить, если применить БПФ-свертку без двоичных инверсий. Однако импульсная переходная функция K[n] дифференцирующих звеньев принципиально не может быть реализована точно. Попытку избежать этой принципиальной нереализуемости K[n], а с ней и достигнув точного восстановления входного сигнала можно осуществить на основе итерационных процедур Ван-Циттерта [1]. Для уравнения (2) итерационная процедура может быть представлена в виде

(3)

Выбор величин l обеспечивается сходимостью в среднем к решению уравнения (1). В выражении (3) импульсная переходная функция принципиально может быть реализована с высокой точностью. Некоторого упрощения итерационной процедуры можно добиться, если, как и раньше в случае восстановления по формуле (2), применять БПФ-свертку без двоичных инверсий. Ниже приведены примеры применения БПФ-свертки для восстановления входного сигнала с помощью соотношения (2) путем перехода в частотную область и примеры восстановления входного сигнала на основе дискретизации соотношения (3).

 

Пример 1. Восстановление входного сигнала интегратора.

Входной сигнал в виде единичного скачка: X_i=1, где i= N – число отсчетов. Для нашего примера N=16. Тогда на выходе интегратора будем иметь сигнал вида

 

Y^T=[ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 ].

 

Дифференцирующий оператор

 

V^T=[ 1 –1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ].

 

Находим коэффициенты разложения в ряд Фурье для сигналов V и Y. Матрица дискретного преобразования Фурье имеет вид:

 

где .

 

Для восстановления входного сигнала на интервале наблюдения необходимо наблюдаемый входной сигнал и дифференцирующий оператор дополнить соответствующим количеством нулей [3].

Коэффициенты разложения сигнала имеют вид:

Тогда спектр восстановленного сигнала имеет вид: XF_j=VF_j·YF_j,

Применяя обратное преобразование Фурье, получаем где B_(l,m)=W^-lm.

 

=[ 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ].

 

Для сокращения числа операций целесообразно применять БПФ, представленный в матричной форме. Матрица преобразований имеет вид:

 

, (4)

где I_n - единичная матрица размером (n ´ n), ÄA_j=A₁ÄA₂Ä…A_n - кронекеровское произведение, ÄA_i=A₁ÄA₂Ä…A_n - прямая сумма.

 

,

 

где , N = 2ⁿ - число отсчетов.

Формула (4) для n = 4 представляется в виде:

(5)

 

где .

i = 2,4,6,8 j = 1,3,5,7

 

Результаты представлены FKP с двоично-инверсными номерами. С помощью формул (4) и (5) находим спектр выходного сигнала и спектр восстанавливающего фильтра. Перемножаем их с двоично-инверсными номерами (не переставляя индексов). Входной сигнал находим по формуле

 

(6)

 

Функции FKR в формулах (5) и (6) имеют двоично-инверсный порядок. Благодаря отсутствию операции с преобразованием индексов получим экономию в вычислительных операциях.

 

Пример 2. Восстановление входного сигнала интегрирующего звена с помощью итерационных процедур.

Дифференцирующие звенья принципиально не могут быть реализованы с большой точностью, интегрирующие инерционные звенья принципиально могут быть реализованы с любой заданной точностью. Для восстановления входного сигнала целесообразно использовать итерационную процедуру

 

(7)

где Т (шаг интегрирования) и a определяются точностью интегрирования, К – матрица преобразования интегрирующего оператора, S = 0…7, M = 0…7, I = 1…2000 (число итераций). За счет выбора малого значения a= 0,1 обеспечиваем сходимость итерационной процедуры.

Начальные значения входного сигнала принимаются равными выходному сигналу.

Входной сигнал: X^T = [1 2 3 4 3 2 1 1].

Выходной сигнал: Y^T = [0,1 0,3 0,6 1 1,3 1,5 1,6 1,7]. T=0,1, a=0,1.

 

 

 

Пример 3. Восстановление входного сигнала апериодического звена

Для восстановления входного сигнала используем итерационную процедуру (71). Начальные значения входного сигнала принимаются равными выходному сигналу. Импульсная переходная функция рассчитывается по формуле K(t) = e^-t. Матрица преобразования имеет вид

 

 

Входной сигнал Х^Т = [1 2 3 4 3 2 1 1].

Выходной сигнал: Y^T = [0,1 0,29 0,563 0,909 1,123 1,216 1,2 1,186]. T=0,1, a = 0,1.

Восстановленный входной сигнал после 2000-й итерации

 

= [1 2 3 4 3 2 1 1].

 

 

Порядок выполнения

1. Ознакомиться с содержанием работы, рассмотреть особенности изложенных в теоретической части примеров.

2. Используя команды операционной системы, получить доступ к программе выполнения лабораторной работы. (рис.1).

 

============================================

Лабораторная работа

"Итеративный метод восстановления сигнала

============================================

Теоритические сведения