Передаточные функции соединений элементов

С переменными параметрами

 

Соединения элементов с переменными параметрами:

а — параллельное; б — последовательное; в — с обратной связью

 

Параллельное соединение.

 

 

 

Последовательное соединение.

(IV.63)

 

Соединение с обратной связью.

 

Матрица двумерной нестационарной передаточной функции замкнутой системы определяется формулой

 

 

 

Можно найти другие формулы для матрицы двумерной неста­ционарной передаточной функции замкнутой системы, эквивалент­ные формуле

 

Связь нестационарных передаточных функций с дифференциальными уравнениями систем с переменными параметрами

Пусть система описывается дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами

(IV.80)

Импульсная переходная функция системы k (θ, τ) как функция θ является решением этого уравнения при воздействии g(θ) = δ(θ - τ):

(IV.81)

Умножим правую и левую части уравнения (IV.81) на функ­цию ψ(i, t, τ), которая принадлежит системе функций, ортонормированной на отрезке t - Т(t) ≤ τ ≤ t, и проинтегрируем обе части по τ на этом отрезке:

откуда, учитывая свойства дельта - функции, найдем:

 

 

В уравнении i и t — параметры и всегда ψ(i, t, θ) = 0 при θ = t – T(t) – ε.

Заметим, что нестационарная сопряженная передаточная функ­ция

(i, t, θ) является решением дифференциального уравнения системы при g(θ) = ψ(i, t, θ). Установим теперь связь двумерной нестационарной передаточ­ной функции с дифференциальным уравнением системы.

 

Структурная схема математической модели системы, построенная по дифференциальному уравнению

 

 

 

где P(t, t), A(t, t), B(t, t) — матрицы двумерных нестационар­ных передаточных функций соответственно дифференциатора и усилительных звеньев с импульсными переходными функциями a _k(θ)δ(θ – τ), b _k(θ)δ(θ – τ) определяемыми коэффициентами диф­ференциального уравнения.

 

 

 

При выводе формулы учиты­вается, что матрицы двумерных нестационарных передаточных функций интегратора и дифференциатора обратны друг другу: , а матрицы двумерной нестационарной передаточной функции интегратора и дифференциа­тора порядка к определяются как степени матриц Р^-1(t, t) и P(t, t).

Формулу можно представить также в форме, удобной при вычислениях:

 

 

Если коэффициенты дифференциального уравнения постоянны, то формулы принимают вид

 

(IV.85)

или

(IV.86)

 

Запись в данном случае указывает, что для стационарной системы матрицы М и D^-1 коммутативны.

 

Матрица двумерной передаточной функции {d_ne}дифференцирующего звена Р имеет вид

 

 

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

d-4,-4

…

d-4,-3

d-4,-2

d-4,-1

d-4,0

d-4,1

d-4,2

d-4,3

…

d-4,n

…

-n

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

d-3,-4

…

2-j6p

…

d-3,n

…

-3

…

d-2,4

…

2-j4p

…

d-2,n

…

-2

…

d-1,4

…

2-j2p

…

d-1,n

…

-1

…

d0,-n

…

…

d0,n

…

n=0

…

d1,-4

…

2+j2p

…

d1,n

…

+1

…

d2,-4

…

2+j4p

…

d2,n

…

+2

…

d3,-4

…

2+j6p

…

d3,n

…

+3

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

dn,-4

…

dn,-3

dn,-2

dn,-1

dn,0

dn,1

dn,2

dn,3

…

d-n,n

…

n

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

-n

-3

-2

-1

e=0

...

n

 

где dn,n= =2+j2pn.

Спектральные характеристики, определенные относительно системы функции (2.2), представлены таблицей

 

x(t)		i =0, ±1, ±2….
1(t)		i =0 i = ±1, ±2,…
t		i =0 i = ±1, ±2,…
t2		i =0 i = ±1, ±2,…

Матрица {d_ne} для линейного стационарного звена имеет вид

.

Точность метода необходимо контролировать путем увеличения размерности матрицы Р.

******************************************

 

 

Пример.

При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости.

 

.

А. Матрица вращения

.