Системы функций, ортогональные

На нестационарных отрезках

Пусть независимые переменные — время τ и t — имеют общее начало отсчета, тогда конечный отрезок [а, b]времени τ назовем нестационарным, если хотя бы один конец этого отрезка подви­жен, являясь функцией времени t, и стационарным, если оба конца отрезка неподвижны. Функции a(t), b{t) служат характе­ристиками нестационарного отрезка. Нестационарный отрезок можно описывать также его длиной T(t)= b(t)— a(t) и одной из функций a(t) или b(t). Нестационарный отрезок [ a(t), b(t) ] очерчивает полосу в плоскости

(t, τ), заключенную между кривыми τ = a(t), τ = b (t).

 

 

Рисунок - Графическое изображение нестационарного отрезка

 

Систему функций {ψ_i (t, τ ) }, определенных на [ a(t), b(t) ], назовем ортогональной на нестационарном отрезке [ a(t), b(t) ] с весом ρ(t, τ), если все функции этой системы удовлетворяют условию

при i ≠ j

Нормы функций, ортогональных на нестационарном отрезке, определяемые выражением

,

являются функциями времени t.

Систему функций {ψ_i (t, τ ) }, ортогональную на нестационарном отрезке [ a(t), b(t) ], назовем ортонормированной, если нормы всех функций этой системы постоянны и равны единице. Для функций ортонормированной системы справедливы соотноше­ния и

при i = j

Всякую систему, ортогональную на нестационарном отрезке, не содержащую функций с нулевой нормой, можно нормировать, разделив каждую функцию на ее норму. Если известна система функций, ортогональных на стационарном конечном отрезке

[а, b] (полиномы Якоби, Чебышева, Лежандра, тригонометриче­ские функции т. д.), то легко получить систему функций, орто­гональную на нестационарном отрезке [a(t), b(t)], путем фор­мальной замены а и b в явных выражениях стационарных функ­ций и их функций веса на функции

a(t), b(t), описывающие концы нестационарного отрезка.

 

Пример. Системы нестационарных тригонометри­ческих функций. Запишем лишь две системы, ортонормированные на отрезке [0, t]:

 

i = 1,2,…, 0 ≤ τ ≤ t,

i = 1,2,…, 0 ≤ τ ≤ t.)

 

Весовая функция этих систем

ρ (t, τ) = 1.

Нестационарные ортогональные функции могут быть изобра­жены в трехмерном пространстве с координатами ψ, t, τ в виде поверхностей.

Рассмотрим примеры систем функций, ортонормированных на нестационарном отрезке [0, t ]. Вначале приведем системы непре­рывных функций. Все эти системы являются бесконечными.

Система нестационарных полиномов Лежандра:

(1.6)

 

Выпишем первые восемь полиномов:

 

Представление о форме этих полиномов дает рисунок 1.1, где полиномы изображены

для стационарного отрезка [0, 1]:

Рисунок 1.1 – Нестационарные полиномы Лежандра, ортонормированные на отрезке [0, 1] (I = 0, 1, …, 5)

 

На рисунке 1.1 показан лишь один полином P^{^}₂(t, τ) как функция двух аргументов. Естественно, как и любая непрерывная нестационарная ортонормированная функция, этот полином представляется в виде поверхности. Функции, ортогональные на стационарных отрезках являются сечениями таких поверхностей – плоскостями, параллельными плоскости φ, τ.

Системы непрерывных нестационарных тригонометрических функций:

Система непрерывных нестационарных комплексных экспоненциальных функций:

Система непрерывных нестационарных функций Хаара:

Система непрерывных нестационарных функций Уолша (диадно-упорядоченных):

где r_n(t, τ) - функция Родемахера:

r_n(t, τ) = sign ; n=0, 1, 2 …;

Приведем теперь системы дискретных нестационарных ортонормированных функций. Предварительно отметим, что некоторые дискретные ортонормированные системы функций могут быть образованы из непрерывных ортонормированных систем путем выборки ординат непрерывных функций в дискретные моменты времени τ ₁ с последующей нормировкой получаемых при этом дискретных функций. Часто выборка может быть равномерной, т. е. τ ₁ = τ₀ + IT, где l = 0, 1..., L — 1. Такое построение возможно, например, для системы нестационарных тригонометрических функ­ций, комплексных экспоненциальных функций, функций Хаара и Уолша. Системы дискретных нестационарных ортонормированных функций, определенные на конечном отрезке времени, являются конечными. Число функций этих систем равно числу L от­счетов дискретного времени в пределах упомянутого конечного отрезка.

Системы дискретных нестационарных тригонометрических функций:

Система дискретных нестационарных комплексных экспоненциальных функций:

Обратим внимание, что число тактовых моментов L, на которых определена базисная система, должно быть обязательно четным.

Система дискретных нестационарных функций Хаара:

Система дискретных нестационарных функций Уолша (диадно-упорядоченных):

где r_n(L, l) – дискретные функции Родемахера.

r_n(L, l) = sign ; L = 2^p+1; p = 0, 1, …; n=0, 1, …, p; l = 0, 1, …, L-1;

Нужно обратить внимание, что дискретные функции Хаара и Уолша определяются на числе точек дискретного времени, равном целой степени числа 2.

Система дискретных нестационарных полиномов Чебышева:

 

i = 0, 1, …,L-1; l = 0, 1, …, L-1, где l ^[ν] = l(l -1) … (l – ν + 1)

Выпишем первые четыре полинома этой системы:

Имея в виду, что , и, устремляя T к нулю, формулы (1.14) можно привести к выражению (1.16), которое описывает непрерывные нестационарные полиномы Лежандра.

Система одиночных импульсов:

; i, l = 0, 1, …, L-1, (1.15)

где - символ Кронекера; - дискретная дельта-функция.

Все приведенные выше дискретные ортонормированные функции являются функциями номера дискретного момента времени l и числа этих моментов L в пределах отрезка [0, t]. Поэтому в пределах отрезка [0, t] дискретные функции могут быть связаны с любой последовательностью тактовых моментов: как равноотстоящих, так и неравноотстоящих друг от друга; сдвинутых или несдвинутых относительно начальной точки. Огибающие дискретных функций, полученных из непрерывных путем выборок в равнотстоящих точках, но привязанных к другой системе тактовых моментов, будут не совпадать с этими непрерывными функциям.

Понятие функций, ортонормированных на нестационарном отрезке, естественно обобщается на случай ортогональности в прямоугольнике и в областях с числом измерений больше двух. Функции практически используемых систем строят как произведения функций, ортонормированных на нестационарных отрезках, образующих заданную область. Например, система функций {φ_hi (t₁, τ₁, t₂, τ₂)}, ортонормированная на прямоугольнике 0≤ τ₁ ≤ t₁, 0 ≤ τ₂≤ t₂, образуется следующим образом:

 

φ_hi (t₁, τ₁, t₂, τ₂) = q_h(t₁, τ₁)p_i^*(t₂, τ₂),

 

где { q_h(t₁,τ₁)} – система функций, ортогональных на отрезке [0, t₁], а {p_i^*(t₂, τ₂)} – система функций, ортогональных на отрезке [0, t₂].

В качестве систем {p_i}, {q_h} можно использовать, например, приведенные выше нестационарные полиномы Лежандра, тригонометрические и комплексные функции, кусочные постоянные функции. Функции p_i, q_h могут быть как однотипным, так и разных типов, например, p_i— полиномы Лежандра, a q_h - тригонометрические функции. Обе системы функций p_i и q_h могут быть непрерывными либо дискретными, либо одна непрерывная, другая дискретная, например:

 

φ_hi (t, τ, L, l) = q_h(t, τ)p_i^*(L, l).

Дата рождения:	4 (16) мая 1821(18210516)
Место рождения:	Окатово, Калужская губерния, Российская империя
Дата смерти:	8 (26) декабря 1894
Место смерти:	Санкт-Петербург, Российская империя
Научная сфера:	математика
Место работы:	Петербургский университет
Научный руководитель:	Николай Дмитриевич Брашман
Знаменитые ученики:	А. М. Ляпунов Е. И. Золотарёв
Известен как:	один из основателей современной теории приближений