Решение задач, появляющихся в случайные

Моменты времени.(АОИ)

Задачи отличаются режимом обслуживания заявок.

Одноканальные системы массового обслуживания с отказами.

Вначале перечислим все возможные состояния системы:

S₀ – канал свободен,

S₁ – канал занят.

Под действием потока заявок, система меняет свое состояние.

λ– поток заявок.

Интенсивность:

λ =

- среднее расстояние между двумя заявками.

Под действием потока решений μ система из S₁ возвращается в состояние S₀.

μ =

μ – интенсивность потока решений.

Для данной системы составим уравнение

В левой части ставим производную для состояния. В правых частях уравнения столько слагаемых, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка выходит из состояния, соответствующее слагаемое берем со знаком минус, а если входит в соответствующее состояние, то со знаком плюс. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока, соответствующая стрелке, на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка. К этим уравнениям добавляется уравнение нормировки:

р₀+р₁=1.

Как правило рассчитывается установившийся режим системы, когда все произведения равны нулю.

Пример:

Возьмем λ=1, μ=1.

Получаем систему, в которой всегда можно удалить одно уравнение.

,

р₀+р₁=1.

 

Получили 2 уравнения с двумя неизвестными. Вероятность последнего есть вероятность отказа в выполнении заявки.

Многоканальная система массового обслуживания (СМО)

Имеем каналов.

-заявок нет, машина свободна.

-1 заявка, одна машина занята, остальные свободны.

заявок, все машины заняты.

Составляем уравнение Колмогорова:

Одно уравнение в системе надо удалить. Его удаляют и используют для контроля.

 

Многоканальная система массового обслуживания (СМО) с ожиданием.

Возьмем n каналов, m- длина очереди заявок.

-заявок нет, машина свободна, очереди нет.

-одна заявка, одна машина занята, остальные свободны, очереди нет.

- n -заявок, n -машин заняты, очереди нет.

- n+1 -заявок, n -машин заняты, одна заявка в очереди.

-n+m- заявок, n -машин заняты, m -заявок в очереди.

 

Сравним время ожидания:

Замкнутое СМО.

Дано:

n-кафедр,

m – ЭВМ,

- поток заявок,

- поток решений.

Кафедра, подавшая заявку не обслуживается до тех пор, пока не будет выполнена ее 1-ая заявка.

- заявок нет, ЭВМ свободны, очереди нет.

-1-ая заявка, 1 ЭВМ занята, очереди нет.

…..

- m заявок, m – ЭВМ, очереди нет.

заявка,, m – ЭВМ занято, 1 заявка в очереди.

заявок, m – ЭВМ занято, n-m в очереди.

 

 

 

Характеристики системы:

Определим среднее число заявок в системе -

 

- свободных.

 

 

- время ожидания подачи второй заявки.

Среднее число заявок в очереди - .

Выбор оптимального значения числа ЭВМ

, - потери, связанные с простоем машины; - потери,связанные с простоем заявки в очереди.

**********************************************************************

Система массового обслуживания с взаимопомощью между каналами.

СМО с отказами:

 

 

СМО с ожиданием: