История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-12-22 | 134 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Вшкольномкурсеизучаетсямногофункций,задаваемыхнавещественнойосиилиееподмножествах.Подмножестваэтиявляютсяотрезками,интервалами,полуинтервалами,…..Внастоящемпараграфемыопределимтефункции,которыеможнорассматриватьтольконамножествеN,инайдемихприложенияв комбинаторике –разделематематики,посвященномрешениюзадачвыбораирасположенияэлементовконечныхмножеств.
Основойдлявсехтакихфункций можносчитать факториал:
n!=1´2´3´...´n.
1. Попробуемрешитьтакуюзадачу:сколькимиспособамиможнорассадитьнаnпронумерованныхстульяхnгостей?Напервыйстулможнопосадитьлюбогоизnгостей.Выбраводногоизних,навторойстулможноусадитьужеодногоизоставшихся(n–1)претендентов.Выбравиэтого,натретийстулвыбираемодногоиз(n–2)гостей….Напоследнийстулпретендентбудеттолькоодин.Такимобразом,если двигатьсяот конца
процесса,мыполучим1´2´3´...´n= n!вариантов.
Взаимнооднозначноеотображениеконечногоупорядоченногомножестванасебяназывается подстановкой элементовмножества.Каждаяпоследовательностьэлементовконечногомножествас учетомпорядка
называется перестановкой этихэлементовиобозначается
Pn. Перестановки
неменяютэлементовмножестваилиихколичества,онименяютпорядокэлементов.Такимобразом,числовсевозможныхперестановоквмножестве
изnэлементов
Pn =n!.
2. Представимтеперь,что,каквпредыдущейзадаче,унасnпронумерованныхстульев,номырассаживаемнанихmпретендентов,причемm>n.Конечно,всехусадитьмынесможем,нохотимвыяснить,сколькоимеетсявариантоврассаживания.Рассуждаятакже,каквпредыдущейзадаче,видим,чтона1-йстулимеетсяmпретендентов,навторой(m–1),натретий(m–2),….,наn-йстулостается(m–n+1)претендент.Итак, число вариантовравно
|
(m - n +1)´(m - n + 2)´...´(m -1)´ m =
m!.
(m - n)!
Любой упорядоченный набор n различных элементов множества,состоящегоизmэлементов, называется размещением изmпоn,число
такихразмещенийобозначается
Amn. Такимобразом,
Amn
= m!.
(m - n)!
3. Рассмотримтеперьнесколькодругуюзадачу,гдемы«раздаем»несидячиеместанапронумерованныхстульях(какизвестно,человекнеможетсидетьодновременноболее,чемнаодномстуле),а,например,nраритетныхкниггруппестрастныхбиблиофилов,состоящейизmчеловек.Скольковариантовраздачиnкнигmпретендентам?Напервуюкнигуунасmпретендентов,навторую–тожеmпретендентов,и
такдалее.Следовательно,мыимеем mn
междупретендентами.
вариантовраспределениякниг
Любойупорядоченныйнаборnэлементовмножества,состоящегоизm
элементов,называется размещениемсповторением изm поn иравен
mn.
4. Вернемсяковторойзадаче,гдемырассаживалиmчеловекнаnстульях,толькотеперьунасстульянепронумерованы,неотличаютсядруготдруга,инаснеинтересует,гдектосидит,аинтересует,сидитчеловекилистоит.Значит,числовариантоврассаживаниясовпадаетсчисломвариантовотбораизmгостейгруппысчастливчиков,состоящейизnчеловек,которыесмогут сесть настулья.Решениеэтойзадачиможносвязать срешениемзадачи2.Представим,чтомырешилибызадачу2такимобразом:отбиралибыгруппыпоnчеловек,азатемделалибывнутригруппыотобранныхдлясиденияnчеловеквсевозможныеперестановки,чтобыучестьвсевариантырассаживаниянапронумерованныхстульях.Мыдолжныбылибыполучить
тотжерезультат:
Amn. Следовательно,количествовариантоввыбора групп
поnчеловекизmчеловекравно
Amn, деленноеначислоперестановокв
группе изnчеловек,тоестьна
n!.
Любоеподмножествоиз nэлементовмножества, состоящегоиз mэлементов,называется сочетанием из m по n, и числосочетаний
обозначается
Cmn. Всоответствиисрассуждениямиприрешениизадачи,
Cn =
Amn
|
или
Cmn =
m!.
m n!
n!(m - n)!
РЯДЫ
Числовыеряды
Понятиепределапоследовательностидаетвозможностьввестипонятие
¥
числовогоряда–бесконечнойсуммывида
å ak,где
k =1
ak –общийчленряда.
Напервыйвзглядбесконечноесуммированиеневозможноужехотябывсилуконечностижизнилюбого,ктозанимаетсясуммированием.Выходизположенияследующий:бесконечнаясуммапонимаетсякак предел
n
последовательности
sn –конечных n - ных частныхсумм
¥
sn = å ak. Таким
k =1
образом,суммойряда
å ak будем называтьчисло
k =1
å k |
s = lim a.
n ®¥ k =1
Рядназывается сходящимся,еслидлянегосуществуетконечнаясумма.Рядназывается расходящимся,еслисоответствующийпределчастныхсуммне существует или бесконечен.
Пример 1. Сосчитаем сумму ряда
¥
å qk, | q |<1. Имеем согласно
k =1
формулесуммыгеометрическойпрогрессии
sn =
n
å
k =1
qk = q × qn -1.Поскольку
q -1
qn ® 0
при n ®¥,получим
¥
å qk =
k =1
q.
1- q
Заметим, чтопри| q |³1соответствующийрядрасходится.
¥ |
. Имеем
sn = 1 + 1
+...+ 1
k =1 k (k +1)
= 2-1+ 3- 2+...+ n +1- n =
1×2 2×3
n (n +1) 1×2 2×3
n (n +1)
=1- 1+ 1- 1+...+ 1- 1
=1- 1,
¥ |
n n +1
n +1
следовательно,å 1
=1.
k =1 k (k +1)
Необходимым признаком сходимости числового ряда является
¥
n |
n ®¥
å akk =1
сходится,тоесть
n |
n ®¥
n -1® ¥. Следовательно,
n -1 |
n ®¥
sn - sn -1= an, то из1-гои 2-госвойствпределов
последовательностейимеем:
lim an = lim(sn - sn -1)= 0, что и требовалось
доказать.
n ®¥
n ®¥
å |
Контрпример. Покажем,чторяд
¥ 1, называемыйгармоническим
k =1 k
рядом,расходится.Дляэтогорассмотримпоследовательностьчастныхсумм
s 2 n,то естьчастныесуммы
s 2, s 4, s 8,.....Присуммированиичленовконечной
суммы
s 2 n
сгруппируемрядомстоящиечленысуммы,начинаяот
до
2 l +1
2 l +1,привсех l =1,..., n -1:
sn =1+ 1+ (1+ 1)+ (1+...+ 1)+...+ (1
+...+
1)>
2 2 3 4 5 8
2 n -1+1 2 n
>1+ 1+ 2× 1+ 4× 1+...+ 2 n -1× 1
=1+ n × 1.
2 4 8 2 n 2
|
Таким образом,
lim s 2
=¥, и значит, предел последовательности
n ®¥ n
частныхсуммне можетбыть конечным.
Свойствачисловых рядов
Следующиесвойствасходящихсярядовочевиднымобразомследуютизсвойствпределовпоследовательностей.
¥ ¥ ¥ ¥
1. Пустьряды
¥
å ak и
k =1
å bkk =1
сходятся, причем
å ak = s,
k =1
å bk = s.
k =1
Тогдаряд
å(a × ak + b × bk)
k =1
также сходится, причем
¥
å(a × ak + b × bk)= a × s + b ×s.
k =1
2. Ряды
¥
å akk =1
¥
и å ak + Nk =1
сходятсяилирасходятсяодновременно,
причем
¥ ¥
å ak + N = å ak - sN.
k =1
k =1
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!