Связь междукоэффициентамистепенногорядаиего суммой

¥

k

Итак, пусть

å

k =0

ckx = s (x),| x |< R. Положим

 

c 0= s (0).

x = 0,тогдаполучим:

 

¥

k

Возьмемпроизводнуюотчленоврядаиегосуммы:

å

k =1

ckxk -1= s ¢(x),| x |< R,

n

иположим

x = 0.Тогда

c 1= s ¢(0).Продолжаяпроцессдифференцирования,

получим:

n! c = s (n)(0).

 

 

Тоесть,

 

cn =

s (n)(0)

n!

 

.Такимобразом,коэффициентыстепенногоряда

являются коэффициентами формулыТейлора длясуммыряда.

 

Поставимвопросы:еслидляпроизвольнойфункции

f (x),имеющей

 

бесконечноечислопроизводныхвточке

 

x = 0

 

построитьряд

¥ (k)

f

å

(1) xk,

 

 

называемый рядомТейлора функции

1) гдеонбудетсходиться, и

 

 

f (x),то

k =0 k!

 

2) еслибудетсходиться,тобудетлисходитьсяксамойфункции f (x)?

 

f

Ответы на поставленныевопросы.

 

1) ТаккакрядТейлора

¥ (k)

å

(0) xk –этостепеннойряд,тодлянего

k =0 k!

обычнымобразомможнонаходитьрадиусиинтервалсходимости.Тоесть,

R = lim| f (n)(0)|(n +1)

 

n ®¥

| f (n +1)(0)|.

 

2) ТаккакчастнаясуммарядаТейлора–этомногочленизформулы

 

Тейлора

n

å

k =0

f (k)(0) xk

k!

 

,торазностьмеждучастнойсуммойифункцией

 

f (x)

согласно формулеТейлораестьостаточныйчленформулыТейлора. Мы

 

егорассматриваливформеЛагранжа:

 

rn (x)=

f (n)(q x)

n!

 

xn,0< q < 1. Таким

образом,есливнутриинтерваласходимостиостаточный членформулы

Тейлорастремитсякнулюсростом n,тосуммаряда Тейлора совпадаетсисходнойфункцией,покоторойпостроенряд.И тогда говорят,что

функция

f (x)

представима в видерядаТейлора,тоесть

¥

f (x)= å

k =0

f (k)(0) xk.

k!

 

 

Примерыразложенияфункцийв рядыТейлора

 

 

 

Пример1. Рассмотримфункцию

ex. В соответствиис формулой

x x x 2 x 3 xn

Тейлора-Маклорена e

 

 

| rn (x)|£ e

=1+1!+ 2!+ 3!+×××+ n!+ rn (x),

× | x | n +1.

(n +1)!

где max{ x,0}

 

Сосчитаемрадиуссходимостистепенногоряда:

R = lim(n +1)!= lim(n +1)= ¥.

n ®¥ n!

n ®¥

Такимобразом, этотрядсходитсявовсехточкахвещественнойоси.Для

¥ xk

того,чтобывыяснить,будетлисходитьсяряд

å кфункции

k!

k =0

| | n +1

ex,заметим,

 

чтоприлюбомзначении

x ÎR

имеем | rn (x)|£ e | x |×

 

x ® 0 (n +1)!

при n ®¥.

¥

å

Следовательно, ex = xk

k

 

 

привсех

 

x ÎR.

k =0!

 

 

 

Пример 2. Рассмотрим функциюформулойТейлора-Маклорена

f (x) = sin x. В соответствии с

 

1 1 1

(-1) n +1

sin x = x -

x 3+

x 5+×××+

()

x 2 n -1+ r (x),

1! 3! 5! 2 n -1! n

 

где

| r (x)|£ | x |2 n +1.Тоесть,

 

R = lim

(2 n +1)! = ¥ и

 

rn (x)® 0

 

при n ®¥.

n

(2 n +1)!

 

 

¥

(-1) n +1

n ®¥ (2 n -1)!

Следовательно,

sin x = å

()

n =12 n -1!

x 2 n -1

привсех

x ÎR.

 

 

 

Пример 3. Рассмотрим функциюформулойТейлора-Маклорена

f (x) = cos x.

 

В соответствии с

 

111

(-1) n

cos x =1-

x 2+

x 4 -

x 6+×××+

()

x 2 n + r (x),

2! 4! 6! 2 n

 

| x |2(n +1)

! n

 

(2 n +2)!

где

| rn (x)|£ (2 n + 2)!. Тоесть,

¥ (

R = lim

n ®¥

-1) n

 

(2 n)!

= ¥ и

rn (x)® 0

при

n ®¥.Следовательно,

cos x = å

()

n =02 n!

x 2 n

при всех

x ÎR.

 

 

Пример 4. Рассмотрим функцию

f (x) = (1+ x)a,

a ÏN. В

соответствиисформулойТейлора-Маклоренаприa ÏN

 

 

+ = +a

+ a a-

+ + a a- a- a- + +.

(1 x)a 1 x

(1) x 2

2!

...

(1)(2)...(

n!

n 1) xn

rn (x)

 

 

Найдемрадиуссходимостиэтогостепенногоряда:

 

R = lim

n +1

 

=1.

n ®¥ a - n

 

Дляоценкиостаточногочленапри n,большихилиравныхцелойчастиa,

формаЛагранжаостаточногочленагодитсятолькодля

x > 0.Вэтомслучае

 

имеем оценку:

| rn (x)|£ |a(a-1)(a- 2)...(a- n)| x |(n +1). Очевидно, что при

(n +1)!

0< x <1

имеем

rn (x)® 0

при n ®¥.Для отрицательныхзначений x

применяетсядругаяформа остаточногочлена. В результатедля | x |<1

 

справедливопредставление

 

(1+ x)a =1+

¥

å

n =1

a(a -1)(a - 2)...(a - n +1) xn.

n!

 

В случае,когда

a = m

– натуральноечисло,производныефункции

(1+ x) m

порядка выше, чем m, обращаются в 0. Следовательно,

коэффициентырядапристепеняхвыше m – нулевые, изначит,отряда

останетсятолькоконечнаясумма,содержащая

это имеетвид

m +1слагаемое.Разложение

 

 

(1 x) m 1

m m ( m -1)( m - 2)...( m - n +1) xn 1

m

Cnxn

+ = + å

n =1

= + å m,

n =1

 

n!

а полученнаяформуланосит название«биномНьютона».

 

 

ПримерыприложенийрядовТейлора.

Представленныевпредыдущемпунктеканоническиеразложениямогут

служитьосновойдляполученияновыхразложений.Так,положив

a = -1в

последнем разложении, мы получим формулы суммы бесконечнойгеометрической прогрессии со знаменателем (- q):

 

1- q + q 2+...+ (- q) n +...=

1+ q

 

.Замениввэтойформуле q на(- q),получим:

 

1+ q + q 2+...+ qn +...=

1.

1- q

 

Заменим впоследней формуле q на

- t 2,мыполучимразложение

 

 

1+ t 2

¥

= å

n =0

 

(- t 2) n,

 

| t |<1. Последний ряд имеет радиус сходимости,

равный1.Вспомним,чтовнутриинтерваласходимостирядыможноинтегрироватьпочленноипроинтегрируемобечастипоследнегоравенствапо t от0до

 

x

¥ 2 n +1

n =0

n

x, | x |<1,тогдаполучимразложение:

arctg x = å(-1) 2 n +1.

 

 

Еще легче получить разложение

ln(1+ x)= å (-1)

n +1 xn

,

 

если

¥

n =1 n

 

проинтегрировать почленно ряд

 

1- t + t 2+...+ (- t) n +...=

1+ t

 

внутри

интерваласходимости,тоесть при| t |<1.

 

 

 

Разложенияфункций

ex, sin x

и cos x врядыТейлора,справедливые

длявсехвещественных x,оказываютсятакимижеивслучае,когда x –

комплексноечисло.Пусть x = i × t,где i –мнимаяединица,тоесть,

i 2= -1,а

t – вещественноечисло.(Заметим,чтоТейлора:

i 3= - i,

i 4=1).Разложим

ei × t

вряд

2 3 4 5 6 7 2 4 6

ei × t = + i × t - t

- it + t

+ it - t

- it

+ = - t + t

– t + +

1

 

t 3 t 5

 

2! 3! 4! 5! 6! 7!

t 7

..... (1

 

2! 4! 6!

...)

+ i (t - 3!+ 5!- 7!+....)= cos t

+ i ×sin t.

 

 

Вотэтаформула,выражающаясвязьмежду

ex, sin x

иcos x вслучае

комплексныхпеременных, и называется формулой Эйлера.

 

 

РядыТейлораслужатдля приближения многихфункций.Деловтом,чтоарифметическиеоперации,которыепроводятсяточно–этооперацииумноженияначисло(аследовательно,ивозведениевцелуюположительнуюстепень)и сложение.Поэтомувычислениезначениймногих известных

функций,например,

ex,sin x,cos x,ln x, сводится к вычислениюзначений

близкихкэтимфункцияммногочленов–частныхсуммсоответствующихрядовТейлора.Этисуммызаложенывпрограммувычисленийнашихкалькуляторов.

 

ЧастныесуммырядаТейлора

n

å

k =0

f (k)(0) xk

k!

 

дляпроизвольнойфункции

f (x)можнополучатьс помощьюпрограммыMAXIMA.Длятого,чтобы

 

получить

n (k)

f

å

(a)(x - a) k

 

дляконкретнойфункции

 

f (x),следуетнабрать

k =0 k!

taylor(f(x),x,a,n) и нажать Shift+Enter.

 

Пример. ДляполучениясуммыТейлора7-йстепенипостепеням(x -1)

для функции ln x

x

 

следует набрать taylor(log(x)/x,x,1,7). Мы получим

x -1-3(x -1)2/2+11(x -1)3/6-25(x -1)4/12+137(x -1)5/60-49(x -1)6/20+

+363(x -1)7/140+.

Сравнимполученныймногочлен(красныйграфик) сисходнойфункцией

ln x

x (синийграфик)на одномрисунке.Для этоговведем load(draw);

draw2d(color=blue, explicit(log(x)/x,x,0.2,2), color=red,

explicit (taylor(log(x)/x,x,1,7),x,0.2,2))

 

 

Мы видим,что красныйи синийграфикисливаютсяв окрестности

точки

x =1иудаляютсядруготдругаприудаленииаргументаотзначения1.

Этосвидетельствуетотом,чточастныесуммырядовТейлораприближают

функцию тольков окрестноститочки

x =1.

 

ТригонометрическиерядыФурье

 

 

Вразличныхотрасляхнауки,втомчисле,вфизикеприходитсяиметьдело с периодическимиявлениями.Простейшийпример– электрические

колебания. Периодической называется функция

f (x), для которой

существует такая величина,называемая периодом, что

f (x)=

f (x + T).

Простейшими T - периодическими функциями являются

 

тригонометрическиефункциивида

sin2p kx,cos2p kx,где k –целоечисло,

T T

называемые гармониками. Представлениепериодическойфункцииввиде

суммыгармоникназываетсягармоническиманализом.Вслучае,когдатакая

 

суммабесконечна,мыполучаемтригонометрическийряд, называемыйрядомФурье.

 

Итак, пусть непрерывная T - периодическая функция

f (x)

представлена в виде тригонометрического ряда:

å

f (x)= a 0+ ¥ a

cos2p kx + b

sin2p kx. Возникает вопрос: как найти

2 k =1 k

T k T

коэффициенты

a 0, ak, bk,

k Î N?

Воспользуемся тем,что гармоникиобладают следующимсвойством:

T /2

ò

- T /2

T /2

ò

- T /2

T /2

 

cos

 

sin

2p kx T

 

2p kx T

 

dx = 0,

 

 

dx = 0,

 

ò

- T /2

T /2

ò

- T /2

T /2

ò

- T /2

T /2

ò

cos2p lx sin2p mxdx = 0,

T T

 

cos2p lx cos2p mxdx = 0,

T T

 

sin2p lx sin2p mxdx = 0,

T T

 

cos22p lxdx = 2,

 

" l, m Î N,

 

 

" l, m ÎN, l ¹ m,

 

 

" l, m Î N, l ¹ m,

 

- T /2

T /2

ò

- T /2

T T

 

sin22p lxdx = 2.

T T

 

Теперьдлятого,чтобы,например,найтиравенства

am умножимобечасти

å

f (x)= a 0+ ¥ a

cos2p kx + b

sin2p kx

на cos2p mx

 

ипроинтегрируем

2 k =1 k

T k T T

наотрезке[- T /2, T /2].Сучетомсвойствгармониквправойчастиравенства

 

останется только слагаемое

a 2, а в левой части – выражение

m

T

T /2

ò

- T /2

 

f (x)cos

2p mx T

 

dx. Отсюдамыполучим

 

am.

Умножаянаsin2p mx

T

 

иинтегрируя,получим bm.

 

Адлятого,чтобыполучить

a 0,нужнопростопроинтегрироватьобе

 

части равенства

f (x)= a 0+ ¥ a

cos2p kx + b

sin2p kx

 

на отрезке

 

 

å

[- T /2, T /2].

2 k =1 k

T k T

 

Таким образом, непрерывная периодическая функцияпредставима в видеследующеготригонометрическогорядаФурье:

f (x)

å

f (x)= a 0+ ¥ a

cos2p kx + b

sin2p kx, где

2 T /2

 

k =1

k T k T

 

2p kx

ak = T

ò

- T /2

f (x)cos T

dx,

k = 0,1,2,....,

b = 2

k T

T /2

ò

- T /2

 

f (x)sin

2p kx T

 

dx,

 

k =1,2,....

 

Вслучае,когдапериодическаяфункцияимеет точкиразрыва,еетакжеможнораскладыватьврядФурье,норавенствофункцииисуммырядабудеттольковточкахнепрерывностифункции.ВточкахразрыварядФурьебудетсходитьсякполусуммезначенийфункциислеваисправаотточкиразрыва:

¥

a 0+ å a

cos2p kx 0+ b

sin2p kx 0= 1(f (x

- 0)+ f (x

+ 0)).

2 k =1 k

T k T 2 0 0

 

ВозможноразложениефункцииврядФурьеспомощьюMAXIMы.Мы

получимвсе коэффициентырядаФурье дляфункции

f (x), заданнойна

отрезке[- T, T ]

и T -периодическипродолженнойнавсювещественнуюось,

если введем load(fourie); fourier (f(x),x,t) и нажмемShift+Enter.

Пример. Получим коэффициенты ряда Фурье для функции

f (x)= ex,-p £ x < p. Для этого введем load(fourie);fourier(%e^x,x,%pi),

нажмем Shift+Enterи получим

a = (e p

- e -p

)/p,

an = (n sinp n /(e p n 2+ e p)+ e p n sinp n /(n 2+1)-

-cosp n /(e p n 2+ e p)+ e p cosp n /(n 2+1))/p,

bn = (sinp n /(e p n 2+ e p)+ e p p sinp n /(n 2+1)-

- n cosp n /(e p n 2+ e p)+ e p n cosp n /(n 2+1))/p.

 

Мы видим,что коэффициентысодержатвыражения sinp n = 0и

cosp n = (-1) n. Поэтомупреобразуемкоэффициенты:

 

 

a 0=

e p - e -p,

p

n

a = (-1) (1

e p),

-

n p e p (n 2+1) (n 2+1)

n

b = (-1) n (- 1

e p).

+

n p e p (n 2+1) (n 2+1)

 

Длятого,чтобынетольковычислитькоэффициентырядаФурье,нои

получитьразложениефункции

f (x), заданнойна отрезке[- T, T ]

и T -

периодическипродолженной на всювещественную ось врядФурье, следуетввести load(fourie);totalfourier(f(x),x,T) и нажать Shift+Enter.

 

 

Пример. ДляразложенияврядФурьефункцииизпредыдущегопримеравведем load(fourie);totalfourier(%e^x,x,%pi). Приэтомполучимразложение

¥

e -p (e p -1)(e p +1)å

– n =1

n (-1) n sin nx

n 2+1

¥

e -p (e p -1)(e p +1)å

+ n =1

(-1) n cos nx

n 2+1 +

p p

+ e -p (e p -1)(e p +1)

2p.

 

Следует отметить, что частные суммы ряда Фурье приближаютисходнуюфункциюне в конкретныхточках,а «всреднемпо отрезку».

Сравнимзаданнуюфункцию

y = ex,-p £ x £ p,и9-ючастнуюсуммуряда

Фурье на одном графике. Для этого сначала введем функцию

g (x),

совпадающуюс9-йчастнойсуммой,азатемнарисуемфункцию ex

(черным

цветом)ифункцию

[-p,p ]:

g (x)

(краснымцветом)наодномграфикенадотрезком

g(x):=-(%e^(-%pi)*(%e^%pi-1)*(%e^%pi+1)*sum((n*(-

1)^n*sin(n*x))/(n^2+1),n,1,9))/%pi+(%e^(-%pi)*(%e^%pi-

1)*(%e^%pi+1)*sum(((-1)^n*cos(n*x))/(n^2+1),n,1,9))/%pi+

(%e^(-%pi)*(%e^%pi-1)*(%e^%pi+1))/(2*%pi);

load(draw); draw2d(explicit(%e^x,x,-%pi,%pi), color=red,explicit(g(x),x,-%pi,%pi)).

 

 

В результате получимкартину

 

 

 

Здесь видно, что в конечных точках отрезка, где функция

y = ex,-p £ x £ p, припериодическомпродолжениис отрезка [-p,p ] в

другиеточкивещественнойоситерпитразрыв,графикчастнойсуммырядаФурье(краснаялиния)значительноотличаетсяотграфикаэкспоненциальнойфункции.Еслибратьчастнуюсуммусбольшимколичествомчленов,тографикчастнойсуммыбудеттеснееприближатьсякисходнойфункцииво

внутреннихточкахинтервала (-p,p),новблизиточек x = ±p

поведение

будет тем же из-за разрыва исходной функции при периодическомпродолжении.

 

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ

 

 

Дифференциальным уравнением называется соотношение вида

F (x, y (x), y ¢, y ¢,..., y (n))= 0. Решить дифференциальное уравнение – это

значит,определитьфункцию

y (x),удовлетворяющееэтомусоотношению,

возможно, в неявном или параметрическомвиде.

Простейшеедифференциальноеуравнениевида

 

 

y ¢(x)=

 

 

f (x)

 

 

мы уже

 

решали, так как находили

y (x)= ò f (x) dx. Мы знаем, что интеграл

определяетсясточностьюдопроизвольногопостоянногослагаемого.Тоесть

решение простейшего дифференциального уравнения содержит

 

произвольнуюпостоянную.Решенияболеесложныхдифференциальныхуравненийтакженаходятсясточностьюдопроизвольныхпостоянных.Любуюфункцию,удовлетворяющуюдифференциальномууравнению,мыбудемназывать частнымрешением этогоуравнения,совокупностьчастныхрешенийназовем общимрешением дифференциальногоуравнения.

Порядок дифференциального уравнения определяетсянаивысшимпорядком входящих в него производных. Поэтому дифференциальное

уравнениевида

F (x, y (x), y ¢, y ¢,..., y (n))= 0

считаетсядифференциальным

уравнением n -гопорядка.

Также,какнелюбаяфункцияможетбытьпроинтегрирована,ипредставленаввидеэлементарныхфункций,такинелюбоедифференциальноеуравнениеимеетрешение,выражающеесячерезэлементарныефункции.Классдифференциальныхуравнений,

интегрируемыхв квадратурах,узок.Мы изучимнесколькоклассов

дифференциальныхуравнений,интегрируемыхвквадратурах,атакжерассмотримнекоторыеприближенныеметодырешениядифференциальныхуравнений.Крометого,мырассмотримнекоторыезадачи,связанныесприменениемдифференциальныхуравнений.