Приближенноерешениедифференциальных уравнений.

 

Классуравнений,длякоторыхможнополучитьточноерешение,тоесть,аналитическуюфункцию,удовлетворяющуюзаданномудифференциальномууравнениюивсемдополнительнымусловиям(задачаКошииликраеваязадача),оченьузок.Чащевсегодифференциальныеуравнениярешаютсяприближенно.

 

 

1. Приближениерешенияспомощьюстепенногоряда. Представим,чтомыдолжнырешитьзадачуКошидлядифференциальногоуравнения n -

го порядка

y (n)= F (x, y, y ¢,..., y (n -1))

(n -1)

с начальным условием

y (x 0)= y 0, y ¢(x 0)= y 1,..., y

(x 0)= yn -1. Еслифункция F в правойчасти

уравненияразлагаетсяврядыповсемсвоимпеременным,удобноискать

решениедифференциальногоуравнениявокрестноститочки

x = x 0

ввиде

ряда Тейлора по степеням

0 1 0 2 0

y (x)= c + c (x - x)+ c (x - x)2

(x - x 0). Представим решение в виде

+.... Из начальных условий и свойств

коэффициентоврядаТейлораследует, что всекоэффициентыразложения

вплотьдо cn

нам известны:

 

y (x)= y

 

+ y (x - x

)+ y 2(x - x

 

)2+...+

yn -1

 

(x - x

 

) n -1+

0 1 0 2! 0

(n -1)! 0

+ F (x 0, y 0,..., yn -1)

n!

 

(x - x 0)

 

n +1 0

n + c (x - x) n +1

 

+...,

остальные– неизвестные– коэффициентыобозначаютсябуквами ck и

определяются сравнением коэффициентов при одинаковых степенях,

находящихся в обеихчастяхдифференциальногоуравнения.

 

 

Пример. Решить следующую задачуКоши:

y ¢ = xy ¢ - y 2, y (0)= 0,

y ¢(0)= 2.

Искатьрешениебудемввидерядапостепеням x. Всоответствиис

 

начальнымиусловиями

y (x)=1+ 2 x - 1 x 2+ cx 3+ cx 4+....

2 3 4

Подставимхотябыпервыеслагаемыерядов в уравнение:

-1+ 6 cx +12 cx 2+ 20 cx 3+...= x (2- x + 3 cx 2+...)-

3 4 5 3

-(1+ 2 x - 1 x 2+ cx 3+...)(1+ 2 x - 1 x 2+ cx 3+...).

2 3 2 3

Перемножимвходящие в правую часть сомножители:

2 3 2 3 2 3

-1+ 6 c 3 x +12 c 4 x

+ 20 c 5 x

+...= 2 x - x

+ 3 c 3 x

+...-(1+ 4 x +3 x

+ (2 c 3- 2) x

+...)

Атеперьсравнимсвободныечлены(ониравны)икоэффициентыпри x,при

x 2ипри

x 3:

6 c 3= -2,12 c 4= -4,20 c 5= 2 c 3- 2. Отсюда

c = - 1,

3 3

c = - 1,

4 3

c 5= -15.

 

Мы моглибыи далеесравниватькоэффициентыпристепенях x в

уравнениии получатьзначениядругихкоэффициентов

ck. Темболее

применение программMAXIMAупрощаетэтот процесс. Вданном случаемы

получили решение в виде ряда, первые члены которого известны:

y (x)=1+ 2 x - 1 x 2- 1 x 3- 1 x 4- 2

 

x 5+....

2 3 3 15

Задачу Коши для системы уравнений можно решать подобным

способом.

2. МетодЭйлераиегомодификации. ПознакомимсясметодомЭйлерачисленногорешениязадачиКошидлядифференциальногоуравнения

первогопорядка

y ¢ =

f (x, y),

y (x 0)= y 0. Предположим,чтомыдолжны

решитьзадачу на отрезке

[ x 0, x 0+ b ].Разделим отрезок

[ x 0, x 0+ b ]

на n

равных частей, равных D. Заменим на каждом отрезке

[ x 0+ k D, x 0+ (k +1)D]=[ xk, xk +1],

k = 0,..., n -1,решениедифференциального

уравнениялинейнойфункцией

 

узловыезначениярешения:

yk (x)= yk + f (xk, yk)(x - xk).Приэтомимеем

y 1= y 0+ f (x 0, y 0)D, y 2= y 1+ f (x 1, y 1)D,..., yn = yn -1+ f (xn -1, yn -1)D.

 

Мы здесьприравниваемотношениеприращенийфункциии аргументапроизводной в точке, соответствующей началуотрезкаразбиения:

y - y

 

= f x y.

k +1 k

D

(k, k)

Очевидно,чтотакоеприближениеявляетсятемменееточным,чем

дальшемы отойдемот точки

(x 0, y 0). Метод Эйлераявляетсянаиболее

примитивным.Здесьинтегральнаякриваязаменяетсяломаной,состоящейизпрямолинейныхотрезков.Возможныегонекоторыемодификации,несколькоулучшающиеточность. Например, еслибратьпостоянныезначения ввиде

y = y + f (x + D, y + f (x, y)D)D.

k +1 k k 2 k k k 2

Наиболеераспространеннымчисленнымметодомрешенияуказанной

задачиКошиявляется методРунге-Кутта. Прирешениидифференциальногоуравненияэтимметодоминтегральнаякриваязаменяетсяломаной,состоящейизкусковпарабол.МетодРунге-Куттавстроен впакетпрограммMAXIMA.

Например,мыхотимрешитьдифференциальноеуравнение

y ¢ = y 2+ x с

начальнымусловием

y (0)= 0.3. Приэтом мызадаем отрезок[0,1],на

которомхотимполучитьчисленноерешениеишагразбиенияэтогоотрезка,равный0.05. Мыдолжныввестикоманду

load(dynamics); rk(y^2+x,y,0.3,[x,0,1,0.05]);

Послетого, как мынажмемклавишиShift+Enter, получимданные[[0,0.3],[0.05,0.30583128660202],[0.1,0.31438277172198],

 

[0.15,0.32574776902574],[0.2,0.34003114365951],[0.25,0.35735268712942],

[0.3,0.37785103897622],[0.35,0.40168830090343],[0.4,0.42905553899765],

[0.45,0.46017943684494],[0.5,0.49533045405802],[0.55,0.53483297195895],

[0.6,0.57907808748734],[0.65,0.62853997325452],[0.7,0.6837970957275],

[0.75,0.74556013793749],[0.8,0.81470931041585],[0.85,0.89234502470182],

[0.9,0.97985793824278],[0.95,1.079027666994073],[1.0,1.192164923146931]].

Это означает,чтомыполучилиузловыезначениярешения:

y (0.05)=0.30583128660202,…, y (0.4)=0.42905553899765,…..

 

 

Приближенноерешение дифференциальныхуравненийвысшихпорядков сводятсякрешениюсистемуравненийпервогопорядка.Например,требуетсярешить дифференциальноеуравнение

y ¢ + x (y ¢)2+3 x 2 y = 2

наотрезке[0,2]сшагом0.1приначальныхусловиях

y (0)=1,

y ¢(0)= 0. Введем новую функцию z = y ¢. Теперь уравнение

запишется ввидесистемы

 

 

ïì y ¢ = z,

î

íï z ¢ = 2- xz 2- 3 x 2 y

с начальнымиусловиями

y (0)=1,

z (0)= 0.

Для получения решения методом Рунге-Кутта вводим команду

load(dynamics); rk([z,2-x*z^2-3*x^2*y], [y,z], [1,0], [x,0,2,0.1]).

Мы получимзначения вузлах:[[0,1,0],[0.1,1.009973277486667,0.19889443755825],

[0.2,1.03953179049664,0.39025908431976],

[0.3,1.087443707860848,0.56407930484999],

[0.4,1.151355476824082,0.70808296273707],

[0.5,1.227625229955781,0.80905909503231],

[0.6,1.31132100772257,0.85473889531278],

[0.7,1.396404177611673,0.83546996450053],

[0.8,1.476033430956961,0.74483368487679],

[0.9,1.542855824183935,0.57873490276185],

[1.0,1.589128945076604,0.33294944409803],[1.1,1.606518986789783,-9.8829227227875682*10^4],[1.2,1.585353126452777,-0.44308261198787],

[1.3,1.512758668789601,-1.041803224981043],

[1.4,1.367721332806764,-1.927748829187044],

[1.5,1.104119674291387,-3.562685524381777],

[1.6,0.55276102463945,-9.157645341403534],

[1.7,-3.785389000081017,-789.9052329768924],

[1.8,-1.8741633219283803*10^14,-3.7934868677108632*10^30]].

Это означает,что, например,

y(0.5)=1.227625229955781,z(0.5)=0.80905909503231.

 

3. Графический метод. Этим методом можно решать

дифференциальныеуравненияпервогопорядкавида

y ¢ =

f (x, y).Еслинам

необходимопостроитьинтегральныекривые,которыеявляютсяграфикамирешенийприведенногоуравнения, вкакой-точастиплоскости XOY,мы

каждойточке

(x 0, y 0)

этойобластиставим всоответствиезначение

f (x 0, y 0)

,котороесовпадаетстангенсомугланаклонакасательной кинтегральной

кривой, проходящей через точку

(x 0, y 0). Зная точку и направление

движенияпокривойизэтойточки,мыпереходимкблизкойточке,вкоторойтакжеопределяемнаправлениедвижения,….Так,двигаясьотточкикточке,мы построимсоответствующуюинтегральнуюкривую,то есть,решим

задачуКоши

y ¢ =

f (x, y),

y (x 0)= y 0.

Реальное построение решения таким методом было бы оченьсложным без применения компьютерной техники. MAXIMA содержит

программупостроенияграфическихрешений.Еслимывведем load(plotdf);plotdf(f(x,y),[y,c,d],[x,a,b]),наэкранепоявитсяпрямоугольник[a,b]×[c,d],в

точкахкоторогоуказанынаправлениякасательныхкинтегральнымкривым,проходящимчерезэтиточки.Еслищелкнутькурсоромповыбраннойточкенаплоскости,компьютернарисуетинтегральнуюкривую,проходящуючерезсоответствующую точку.

Например,мы хотим построитьинтегральнуюкривуюуравнения

 

y ¢ =

5- x 2

2 xy - y 2, расположенную в прямоугольнике

 

[9,13]×[-7,9] и

проходящую через точку(11,2).

Введем load(plotdf);plotdf((5-x^2)/(2*x*y-y^2),[y,-7,9],[x,9,13]); инажмемShift+Enter.Мыполучимвыбранныйпрямоугольниксуказаниемнаправленийизточекпрямоугольника.Теперьщелкнемпоточке(11,2),инарисуетсясоответствующаяинтегральнаякривая.