Рядыс положительнымичленами.

Очевидно,чтоутакихрядовчастныесуммырастутсростомколичестваслагаемых.Большуюрольприисследованиичисловыхрядовсположительнымичленамииграют следующиетеоремысравнения.

 

Теоремасравнения1. Пусть0< ak £ bk. Тогдаизсходимостиряда

¥

å bkk =1

 

следуетсходимостьряда

 

¥

¥

å akk =1

 

и из расходимостиряда

¥

å akk =1

 

следует

расходимость ряда

å bk.

k =1

 

k =1

¥ n +1

Пример. Исследоватьсходимостьчисловогоряда

 

¥

å 2 n 2- 3.Сравним

 

этотрядсрядом

å 1.Последнийрядрасходится,таккаквпротивном

k =12 n

случаесходилсябыгармоническийрядиегосуммавсоответствииспервым

 

 

свойствомбылавдвоебольшесуммыряда

¥

å.Таккак

n +1

2

> 1,то

 

 

исходныйрядтакжерасходится.

k =12 n

2 n -3 2 n

 

Теоремасравнения2. Пусть

ak > 0,

bk > 0,

причем существует

lim an = K (¹ 0).Тогдаряды

n ®¥ bn

одновременно.

¥

å ak и

k =1

¥

å bkk =1

 

сходятся или расходятся

 

 

Доказательство. Изопределенияпределапри

 

a K

e = K

2

 

найдем N такое,

3 2

что|

n - K |< 2

прилюбом n > N. Следовательно, a <

K × b,

b < × a

bn n

¥

2 n n K n

¥

при n > N. Согласнотеоремесравнения1ряды

å ak + N и

k =1

å bk + N сходятся

k =1

илирасходятсяодновременно.Согласносвойству2 сходящихсярядовтеоремадоказана.

k =1

¥ 3 k 7+ 8

Пример. Числовойряд

å10 k 9+ 6 k 3+ 4

сходится,таккакегоможно

¥

сравнить со сходящимся рядом å 1

, рассмотренным выше.

Действительно,существуеттеоремусравнения 2.

k =1 k (k +1)

lim =

(3 n 7+8) n (n +1) 3

n ®¥ (10 n 9+ 6 n 3+ 4) 10,иможноприменить

Дваследующихдостаточныхусловиясходимостичисловыхрядовсположительнымичленами,называютсяпризнакамисходимости.Здесьприводятсядоказательствонаосноветеоремысравнениятолькоодногоизних.

 

 

ПризнакДаламбера. Пустьсуществует

lim an +1= p. Если

 

p <1,торяд

 

 

¥

å ak сходится,если

k =1

n ®¥ an

 

p >1,тоэтотрядрасходится.

 

n

¥

 

Пример. Исследуем сходимость ряда

å1000. Здесь

 

 

1000 n,

 

 

1000 n +1

n =1 n!

an +1 1000

an = n!

an +1=

(n +1)!

. Таккак

lim

n ®¥ an

= lim

n ®¥

n +1= 0, данныйряд

сходится.

 

 

n

ПризнакКоши. Пустьсуществуетlim na = p. Если

n ®¥

 

p <1,торяд

¥

å akk =1

сходится, если

p >1,тоэтотрядрасходится.

 

 

что

Доказательство.Пусть

p <1.Возьмем

e < (1- p)/2

инайдем N такое,

 

| nan - p |<e

 

при n > N.

Следовательно,

nan

<e + p = p <1 и

¥

an < pn

при n > N. Согласно

k

¥

теоремесравнения1ряд

å ak + N

сходится,таккаксходитсяряд

å p 1.

k =1

Следовательно, и исходныйрядсходится.

k =1

 

Пусть

p >1.Возьмемe < (p -1)/2

и найдем N такое, что

 

| nan - p |<e

 

при n > N. Следовательно,

nan > -e + p = p 2>1и

n

¥

an > p 2

при n > N. Согласнотеоремесравнения1ряд

 

¥

å ak + Nk =1

расходится,таккак

k

расходитсяряд

å p 2

k =1

. Следовательно,и исходныйрядрасходится.

 

¥ n 2

Пример. Исследуем сходимость ряда

å. Так как

n =1(2+) n

n

 

lim na

n 2

n

= lim

= 1, данныйрядсходится.

n ®¥

n n ®¥ 2+ 1 2

n

 

Следующийпризнакоснованнасравнениирядаинесобственногоинтеграла,подынтегральнаяфункциякоторогопринатуральныхзначенияхаргументапревращается вчленыряда.

 

Интегральныйпризнак. Пустьчленыряда

¥

å ak монотонноубываютс

k =1

ростом n. Если функция

¥

f (x)

такова,что

f (n)= an,тосходимостьили

расходимость ряда

å ak равносильна сходимости или расходимости

k =1

 

несобственногоинтеграла

¥

ò f (x) dx.

Данныйпризнакдаетвозможностьсделатьвыводо сходимостиили

¥

расходимостирядавида å

 

,притом,чтодвапредыдущихпризнакане

k =1 k a

 

позволяютэтосделать,таккаквобоихслучаяхздесь

¥

p =1.Вспомним,что

a

несобственныйинтегралò dx

 

сходитсяпри

a >1

 

ирасходитсяпри

a £1.

 

 

¥

Поэтому рядå 1

1 x

 

сходитсяприa >1ирасходитсяприa £1.

k =1 k a

 

Знакопеременные ряды

 

 

Длязнакопеременныхрядовприведенныепризнакисходимоститакжеможноприменять,нодляисследования абсолютнойсходимости. Делов

 

том,чтоеслиряд

 

¥

¥

å| ck |

k =1

 

сходится,тосходитсяиряд

¥

å ck,причемвэтом

k =1

случаеряд

å ck называетсяабсолютносходящимся.Такимобразом,если

k =1

 

имеетсязнакопеременныйряд

¥

å ck,имеетсмыслпроверитьвозможность

k =1

 

применениякакого-либопризнакасходимостикряду

 

¥

¥

å| ck |,иеслиусловия

k =1

сходимостивыполняются, исходныйряд

å ck сходитсяабсолютно.

k =1

 

 

Пример. Ряд

¥

å

k =1

(-1) k

k a

 

сходитсяабсолютноприa >1.

 

ПризнакЛейбницасходимостизнакочередующегосяряда. Пусть

членыположительнойпоследовательности

¥

ak,монотонноубывая,стремятся

k -1

кнулюпри k ®¥.Тогдаряд

å

k =1

(-1) ak

сходится.

Доказательство. Рассмотримпоследовательностьчетныхчастныхсумм

s 2 n = a 1- a 2+ a 3-......+ a 2 n -1- a 2 n = (a 1- a 2)+ (a 3- a 4)+...+ (a 2 n -1- a 2 n)> 0.

Очевидно,чтосростом n значения

s 2 n

возрастают.Теперьзапишемэтуже

частную сумму в ином виде:

s 2 n = a 1-(a 2- a 3)-......- (a 2 n -2- a 2 n -1)- a 2 n.

Очевидно,что

s 2 n < a 1.Такимобразом,мыимееммонотонновозрастающую

ограниченную сверху последовательность

s 2 n. По одному из свойств

последовательностей существует

lim s = s. Итак, последовательность

2 n

n ®¥

частныхсуммс четныминомерамиимеет предел.Чтоже с нечетнымичастнымисуммами?

 

Так как

s 2 n +1= s 2 n + a 2 n +1 и

lim a 2 n +1= 0, то существует

n ®¥

lim s 2 n +1= lim s 2 n + lim a 2 n +1= s. Следовательно,существуетlim sn = s.

n ®¥

n ®¥

n ®¥

n ®¥

 

 

Пример. Ряд

¥

å

k =1

(-1) k

k a

 

сходитсяпопризнакуЛейбницаприлюбом

 

a > 0.

В предыдущем примере, опираясь на интегральный признак, мы

показали,чтоэтотрядпри

a >1

сходитсяабсолютно.При 0<a £1

рядне

может абсолютносходиться.Ноон сходитсяпопризнакуЛейбница.

 

 

Ряд,сходящийся, нонесходящийсяабсолютно,называется условносходящимся.

 

Функциональныеряды

 

 

 

{ n }

Пусть f (x),

n ÎN

 

x Î M,

 

–последовательностьфункций,заданныхна

одномитомжемножестве,причемприкаждомзначении

¥

x 0Î M

числовой

ряд

 

¥

å fk (x 0)

k =1

сходится. Тогдамы можемрассматриватьфункциональныйряд

å fk (x)

k =1

намножестве M иисследоватьсвойствафункции

s (x)–суммы

ряда –на томже множестве M.

 

В связи с вопросамисходимостифункциональныхрядовотметимследующийиз теоремысравнения мажорантныйпризнак сходимости

функциональногоряда:если

$ an > 0такоечто

¥

" x Î M,

" n ÎN(| fn (x)|£ an)

ирядсположительнымичленами

 

¥

å akk =1

сходится,тофункциональныйряд

å fk (x)

k =1

абсолютносходится намножестве M.

 

Степенные ряды

Простейшимпримеромфункциональногорядаявляетсястепеннойряд–

¥

рядвида

å ck

k =0

(x - a) k. Числа

ck, k = 0,1,..., называются коэффициентами

степенногоряда.Посколькупростойзаменойпеременной x = x - a

¥

исходный

k

степеннойрядпревращаетсявряд

å

k =0

ckx,мыбудемрассматриватьтолько

 

 

степенныерядывида

¥

å

k =0

 

k

ckx. Очевидно,чтотакойрядобязательносходится

вточкедает

x = 0.Ответомнавопрособобластисходимостистепенногоряда

 

 

ТеоремаАбеля. Пустьряд

¥

å

k =0

 

k

ckx

 

сходитсявточке

 

x = x 1,тогдаон

сходится,причемабсолютно, при" x,| x |<| x 1|.

¥

k

Пустьряд

 

" x,| x |>| x 2|.

å

k =0

ckx

расходитсявточке

 

¥

x = x 2

,тогдаонрасходитсяпри

k

Доказательство.Так какряд

å ckx 1

сходится,тообщийчленэтогоряда

k =0

стремитсяк нулю, изначит,ограничен,то есть,

k

 

$ M > 0

 

k 1

тчо| cxk |£ M.

k

 

Пусть

| x |<| x 1|

 

тогда

| cxk |£ M x

k

x

 

.Таккакряд

¥ x

å

Mx

 

сходится,

 

то потеоремесравненияабсолютносходитсяряд

 

¥

k

å ckx 1

k =1 1

.

Таккак

 

¥

k

å ckx 2

k =0

 

 

расходится,то

 

¥

å

k =0

 

 

k

ckx

k =0

 

не может сходитьсянипри

какихзначениях

x, | x |>| x 2|,таккаквпротивномслучаеонбысходился,в

соответствии с доказаннойчастьютеоремы, ипри

x = x 2.

ИзтеоремыАбеляследует,в частности,чтообластьсходимости

¥

k

степенногоряда

å

k =0

ckx

представляетсобойнекоторыйинтервал(- R, R),а

областьрасходимости–внешностьэтогоинтервала.Чтокасаетсядвухточек x = ± R,являющихсяграницамиэтогоинтервала,тосходимостьилирасходимостьрядавэтихточкахследуетпроверятьдлякаждойфункциииндивидуально.

 

Число R называется радиусомсходимости степенногоряда.Интервал

(- R, R)

называется интерваломсходимости степенногоряда.

 

 

Способыопределениярадиуса сходимостистепенногоряда

 

1. В соответствии с признаком Даламбера если

| c xn +1| | c

|| x | ¥

| c || x |

lim

n +1

= lim

n +1

<1,то

å| cxk |

сходится,если

lim

n +1

>1,

n ®¥

| cnxn +1|

¥

å

n ®¥

 

 

k

| cn |

kk =0

n ®¥

| cn |

то ряд

k =0

| cxk |

расходится. Следовательно, при | x |= R

имеем:

lim| cn +1| R =1

 

или

 

R = lim

| cn |.

n ®¥

| cn |

n ®¥ | cn +1|

 

2. АналогичноиспользуяпризнакКоши, получим

R = 1.

n

lim n | c |

n ®¥

¥ xn

Пример 1.Найтиобластьсходимостистепенногоряда

å p. Найдем

n

n =1

 

радиуссходимости.Здесь

c = 1

 

. Следовательно,

R = lim(n +1) p

 

=1.

n np

 

Проверим сходимость в точке

n ®¥

 

x =1. Имеем ряд

np

¥

å p, который

 

 

сходится, если

 

 

p >1ирасходится,если

 

 

p £1.

n =1 n

 

Проверимсходимостьв точке

 

x = -1.Имеемряд

¥

å

n =1

(-1) n, который

np

сходится, если

p > 0

и расходится, если

p £ 0.

 

 

Замечание. Внутри интервала сходимости ряд можно почленноинтегрироватьидифференцироватьлюбоечислораз.Этозначит,чтоесли

¥ b ¥ b

k

k

å ckx = s (x),| x |< R,то1)

ò s (x) dx = å

ck ò xdx,| a |,| b |< R,

k =0

 

 

2)(s (x))(m)=

 

¥

å ck

k = m

a

 

(xk)(m),| x |< R.

k =0 a