Линейные дифференциальныеуравненияс постояннымикоэффициентами

 

 

 

Это уравнения,имеющиевид

y (n)+ ay (n -1)+ ay (n -2)+...+ any =

f (x),

1 2

где

a 1, a 2,..., an

–постоянныекоэффициенты.

Однородным линейным уравнением n -го порядка называются

уравнениявида

y (n)+ ay (n -1)+ ay (n -2)+...+ any = 0.

1 2

Решение однородного уравнения. Искать частное решение

однородногоуравнениябудемввиде

y (x)= ekx. Подставив

y (x)

вуказанном

видеводнородноеуравнение,получим

(kn + akn -1+ akn -2+...+ an) ekx = 0.

1 2

Следовательно,неизвестноезначениесомножителя k мы найдем,еслирешималгебраическоеуравнение n -йстепени

kn + akn -1

+ a 2 k

n -2

+...+ an = 0,

называемое характеристическимуравнением.

Всоответствиисосновнойтеоремойалгебрыхарактеристическоеуравнениеимеетровно n корней,считаявсевещественныеикомплексныекорни с учетомихкратности.

 

Легко заметить,что если

y 1(x)и y 2(x)– два линейно-независимых

частныхрешенияоднородногоуравнения,то

y (x)= C 1 y 1(x)+ C 2

y 2(x)

также

удовлетворяеттомужеоднородномууравнению прилюбых C 1и C 2.

Рассмотрим все случаи корней характеристического уравнения и

определимвидчастногорешениятак,чтобывсечастныерешениябылилинейно-независимыми.Получив n линейно-независимыхчастныхрешений,мы сможемпостроить общее решениеоднородногоуравнения

y (x)= C 1 y 1(x)+...+ Cn

yn (x), содержащее n произвольныхпостоянныхи

позволяющее решать любую задачу Коши с начальными данными

(n -1)

y (x 0)= y 0,

y ¢(x 0)= y 1,..., y

(x 0)= yn -1. Действительно, такая задача

сведетсяк поискуконкретныхзначенийпостоянныхлинейныхуравнений

C 1,... Cn

из системы

ì C 1 y 1(x 0)+...+ Cn

ï

yn (x 0)= y 0,

í...............

ï

ï Cy (n -1)(x)+...+ Cn

yn (n -1)(x)= y.

î 1 1

0 0 n -1

с ненулевымглавнымопределителемсистемы

 

 

y 1(x 0).....

yn (x 0)

................

y (n -1)(x)... y

(n -1)(x)

1 0 n 0

 

а) Простойвещественныйкорень. Простомувещественномукорню k 1

kx

характеристическогоуравнениясоответствует частноерешение

y 1(x)= e 1.

 

Пример. Решить однородное дифференциальное уравнение

y ¢ -5 y ¢ + 6 y ¢ = 0.Построимхарактеристическоеуравнение

k 3-5 k 2+ 6 k = 0.

Это характеристическое уравнение имеет три простых корня:

k = 0, k = 2, k = 3.Поэтомуобщим решениеисходногодифференциального

уравнениеявляетсяфункция

y (x)= C

+ Ce 2 x + Ce 3 x.

1 2 3

б) Вещественный корень кратности m. Если корень k 0

характеристическогоуравненияимееткратность m, то,естественно,мыне

можемиспользовать m одинаковыхчастныхрешенийвида

y (x)= ek 0 x,

соответствующихэтомукорню,таккакэтирешениябудутлинейнозависимыми.Вуказанномвидемысможемвзятьтолькоодноиз m частныхрешений.Можнопоказать,чтовсе m частныхрешений,соответствующихданномукорнюхарактеристическогоуравнения,имеютвид

j

y (x)= xj -1 ek 0 x,

j =1,.., m,тоестьфункции

xj -1 ek 0 x,

j =1,.., m,удовлетворяют

исходномуоднородномудифференциальномууравнению. Заметимпрежде

 

 

всего, что если

k 0– корень уравнения

kn + akn -1+ akn -2+...+ an = 0

1 2

кратности m, то

k 0 – корень любого из уравнений

(kn + akn -1

+ a 2 k

n -2

+...+ an)

(j)

= 0,

j =1,..., m -1.

Покажем,какпроводитсядоказательствотого,что

xek 0 x (случай

j = 2)

 

удовлетворяетисходномуоднородномууравнению.Подставим

xek 0 x в

левую часть исходного однородного дифференциального уравнения и

получим

xek 0 xkn + nek 0 xkn -1 + a [ xek 0 xkn -1+ (n -1) ek 0 xkn -2]+...+ a

[ xek 0 xk

+ ek 0 x ]+

0 0 1 0 0

n -1 0

+ axek 0 x = xek 0 x [ kn + akn -1+...+ a

]+ ek 0 x [ nkn -1+ (n -1) kn -2+...+ a

]= 0.

n 0 1 0 n

0 0 n -1

Первоевыражениевквадратныхскобкахобращаетсявноль,таккак

k 0–

кореньхарактеристическогоуравнения,второевыражениев квадратных

скобках обращается в ноль, так как

k 0– корень уравнения

(kn + akn -1

+ a 2 k

n -2

+...+ an)¢= 0.Подобнымжеобразомможнопоказать,что

функции

xj -1 ek 0 x,

j = 3,.., m, удовлетворяют исходному однородному

дифференциальномууравнению.

 

 

Пример. Решить однородное дифференциальное уравнение y (6)- 2 y (5)+ y (4)= 0. Характеристическое уравнение имеет вид k 6- 2 k 5+ k 4= 0,и следовательно,имеет корни0 (кратностичетыре)и 1(кратностидва).Поэтомуобщимрешениемисходногодифференциального

уравненияявляетсяфункция

y (x)= C

+ Cx + Cx 2+ Cx 3+ ex (C 5+ Cx).

1 2 3 4 6

 

в) Простой комплексный корень. При решении алгебраическогоуравнениясвещественнымикоэффициентаминаличиекомплексногокорня

a + i b

обеспечивает наличие комплексно сопряженного корня

a - i b.

Поэтомуможнобылобыв качествечастныхрешений,соответствующих

этойпарекорней,взятьфункции

e (a + i b) x

и e (a- i b) x. Однакодлятого,чтобы

не привлекать комплексные числа для решения дифференциальных

уравненийс вещественнымикоэффициентами,наосновании формулы

Эйлера

ei b x = cosb x + i sinb x,вкачестве частныхрешенийберутфункции

e a x cosb x и

e a x sinb x.

 

 

Пример. Решить дифференциальное уравнение

y (4)+ 4 y ¢¢ = 0.

Характеристическимуравнениемявляетсяуравнение

k 4+ 4 k 2 = 0.Корнями

этогоуравненияявляются

k = 0

(кратности2)икомплексныекорни

± i 2.

Поэтомуобщеерешениеимеетвид

y (x)= C 1+ C 2 x + C 3cos2 x + C 4sin2 x.

 

г ) Комплексные корни кратности m. В случае, когдахарактеристическоеуравнениеимеет два комплексносопряженныхкорня

 

a ± i b

кратности m, соответствующие этим корнямчастныерешения

соответствующегооднородногодифференциальногоуравненияимеютвид

xj -1 e a x cosb x,

j =1,.., m,и

xj -1 e a x sinb x,

j =1,.., m.

Пример. Решить дифференциальноеуравнение

y (4) + 4 y ¢ +14 y ¢ + 20 y ¢ + 25 y = 0.

Характеристическое уравнение можно представить в виде

(k 2+ 2 k + 5)2= 0, следовательно,корнямихарактеристическогоуравнения

являются

-1+ 2 i

(кратности2) и

-1- 2 i

(кратности2). Поэтомуобщим

решение заданного однородного дифференциального уравнения будет

- x

функция

y (x)= e

(C 1cos2 x + C 2 x cos2 x + C 3sin2 x + C 4 x sin2 x).

 

Решениенеоднородногоуравнения. Мыужезнаем,какнайтиобщеерешениеоднородногоуравнения.Чтобынайтиобщеерешениенеоднородногоуравнения,нужнонайти частноерешениенеоднородногоуравнения и прибавитьк нему уженайденноеобщеерешение

соответствующегооднородногоуравнения.Действительно,пусть

y 0(x)–

общеерешениеоднородногоуравнения

y (n)+ ay (n -1)+ ay (n -2)+...+ any = 0,

1 2

содержащее n произвольныхпостоянных

C 1,... Cn. Если

y (x)

удовлетворяет

неоднородному уравнению

y (n)+ ay (n -1)+ ay (n -2)+...+ any =

f (x), то

1 2

функция

y (x)+ y 0(x)

удовлетворяеттомуженеоднородномууравнениюи

содержитпроизвольные постоянные C 1,..., Cn.

Таким образом, вопрос о нахождении общего решениянеоднородного уравнения сводится к вопросу о нахождении частного

решениянеоднородногоуравнения.Существуютразныеметодыпостроениятакогорешения.Рассмотрим методвариациипроизвольнойпостоянной,

которыйпозволяетсразуполучить общеерешениенеоднородногоуравнения.

Сутьэтогометодавтом,что,получиврешениесоответствующего

однородногоуравненияввиде

y 0(x)= C 1 y 1(x)+...+ Cnyn (x),мыищемобщее

решениенеоднородногоуравненияввидеиподбираемтакиенеизвестныефункции

y (x)= C 1(x) y 1(x)+...+ Cn (x) yn (x)

C 1(x),..., Cn (x), чтобы функция

y (x)

удовлетворяланеоднородномууравнению.Оказывается,чтодляэтого

достаточно, чтобы эти производные этих неизвестных функцийудовлетворялисистеме

¢ ¢

ï

ì C 1(x) y 1(x)+...+ Cn (x) yn (x)= 0,

= 0,

¢ ¢ ¢ ¢

í

ï C 1(x) y 1(x)+...+ Cn (x) yn (x)= 0,

ï........................................................

ï C ¢(x) y (n -1)(x)+...+ C ¢(x) y

(n -1)(x)=

f (x).

ïî 1 1 n n

Докажемэтодляслучая

n = 2. Пустьнеобходиморешитьуравнение

y ¢ + ay ¢ + by =

f (x). Решение однородного уравнения имеет вид

 

y 0(x)= C 1 y 1(x)+ C 2 y 2(x),причем

yj ¢ + ayj ¢ + byj = 0,

j =1,2.Возьмемобщее

решениенеоднородногоуравненияввиде

y (x)= C 1(x) y 1(x)+ C 2(x) y 2(x) и

подставим внеоднородноеуравнение. Мы получим:

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

C 1 y 1+ 2 C 1 y 1

¢ ¢

+ C 1 y 1

+ C 2

y 2+ 2 C 2 y 2

+ C 2 y 2

+ a (C 1 y 1

+ C 1 y 1+

+ C 2 y 2

+ C 2 y 2)+ b (C 1 y 1+ C 2 y 2)=

f (x).

Выражения,имеющиесомножителямипоэтомуимеем:

C 1и C 2

обращаютсяв ноль,

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

C 1 y 1+ 2 C 1 y 1+ C 2

¢ ¢

y 2+ 2 C 2 y 2

+ a (C 1 y 1+ C 2 y 2)= f (x).

Пусть

C 1 y 1+ C 2 y 2= 0. Взяв производные от обеих частей этого

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

равенства,получим C 1

y 1+ C 1 y 1+ C 2

y 2+ C 2 y 2

= 0.Поэтомудлятого,чтобы

функция

y (x)быларешениемнеоднородногоуравнения,остаетсяположить

1 1 2 2

C ¢ y ¢ + C ¢ y ¢ =

 

f (x).

ex

Пример. Решить дифференциальное уравнение

y ¢ - 2 y ¢ + y = x.

Характеристическое уравнение для соответствующего однородного

уравнения имеет вид

k 2- 2 k +1= 0. Следовательно, общее решение

x x

однородногоуравнения– функция

y 0(x)= C 1 e

+ C 2 xe

. Поэтомуобщее

x x

решениенеоднородногоуравнениеищемввиде

y (x)= C 1(x) e

+ C 2(x) xe.

Для определения неизвестных функцийотносительноихпроизводных

C 1(x), C 2(x)

составим систему

ï

ì C ¢ ex

+ C ¢ xex

= 0,

í ¢ x

¢ x x ex

ï Ce

î

+ C 2(xe

+ e)= x.

Сокращая уравнения на

ex, мы получим систему с главным

определителем,равным1. Решаясистемуи интегрируя,получим

y (x)= e

C 1(x)= - x + C 1,

C 2(x)= ln| x |+ C 2.

Общее решение исходного уравнения запишется теперь в виде x (- x + C 1+ x ln| x |+ C 2 x). Заметим, что в силу произволь ности

константы C 2

выражение

- x + C 2 x

можнозаменитьвыражением

x

C 2 x.

Поэтомурешение можнозаписать в виде

y (x)= e

(C 1+ x ln| x |+ C 2 x).