Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-10-01 | 250 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на максимум или минимум, называются вариационными [1].
Определение. Переменная величина называется функционалом от функции , если каждой функции из некоторого класса функций соответствует определенное значение .
Рис.2.1. Длина дуги кривой – функционал от функции |
Например, функционалом является длина дуги кривой, соединяющей две точки и (рис.2.1). Величина может быть вычислена, если задано уравнение кривой :
.
Запишем общее выражение для функционала в виде
, (2.1)
где - одна из возможных непрерывно дифференцируемых функций на отрезке .
Существует связь задачи вариационного исчисления с задачей отыскания экстремума функции многих переменных: если разбить отрезок на частей и рассмотреть ломаную линию вместо кривой , а функционал заменить суммой
, (2.2)
где , то вариационная задача трансформируется в задачу о нахождении экстремума функции переменных и может быть решена классическими методами. Такой подход впервые был предложен Л. Эйлером.
Определение. Пространство, элементами которого, являются функции, называется функциональным.
Функциональные пространства выбираются в соответствии с характером вариационной задачи. Например, при рассмотрении функционалов вида
функция должна иметь непрерывную первую производную; при рассмотрении функционалов вида
функция должна иметь непрерывные первую и вторую производные и т.д.
Назовем линейным пространством совокупность элементов , для которых определены операции сложения и умножения на число и выполняются следующие аксиомы:
1. коммутативности сложения ,
2. ассоциативности сложения ,
3. существования нулевого элемента ,
4. существования противоположного элемента
: ,
5. существования единичного элемента ,
6. ассоциативности умножения , где и - числа,
7. дистрибутивности по сложению ,
8. дистрибутивности по умножению .
Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное число (норма этого элемента) такое, что выполняются свойства:
1. только при ,
2. ,
3. .
Введем понятие близости элементов, используя понятие нормы их разности, которое аналогично понятию расстояния между точками в эвклидовом пространстве.
Рис.2.2. Сильная окрестность кривой |
Рассмотрим пространство , состоящее из непрерывных функций, определенных на отрезке и имеющих непрерывные первые производные. Очевидно, . Функции и близки в смысле близости первого порядка, если и , а также не превышают некоторой наперед заданной малой положительной величины : , , . Такая окрестность называется слабой (рис. 2.3).
Рис.2.3. Слабая окрестность кривой |
Определение. Функционал называется непрерывным при , если для любого положительного можно подобрать , что при , где - норма, определенная в смысле близости функций и k-го порядка
Определение. Линейным называется функционал , удовлетворяющий следующим условиям.
1. Функционал является непрерывным,
2. ,
3. .
Общий вид линейного функционала
. (2.3)
2.2. Вариация функционала.
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!