Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-10-01 | 248 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Задачи оптимизации, в которых производится минимизация времени перехода из начального состояния в конечное, называются задачами об оптимальном (максимальном) быстродействии. Рассмотрим случай линейной системы с постоянными коэффициентами:
.
Здесь - вектор состояния , - вектор управления , и - постоянные матрицы порядков и . Будем полагать, что компоненты вектора управления ограничены по величине:
, .
В задачах об оптимальном быстродействии критерий оптимальности имеет вид
.
Для выявления структуры оптимального управления воспользуемся необходимыми условиями в задаче Лагранжа. Составим гамильтониан
,
где , .
Каноническая система уравнений принимает вид
, ,
, .
Оптимальное управление определяется из условия максимизации гамильтониана:
, если , , если , , или в векторной форме .
Если на некотором отрезке времени , то задача называется вырожденной, а управление может быть любым, поскольку гамильтониан от него не зависит. Однако в данной постановке случай вырожденности не имеет места.
Так как свободно, или для любого . Отсюда следует, что - ненулевой вектор для всех , задача не вырождена.
Если задача вырождена, а все корни характеристической системы, соответствующей рассматриваемой математической модели, являются действительными числами, то можно доказать, что оптимальное управление имеет не более переключений. В случае комплексных корней число переключений также конечно, но зависит от начального и конечного состояния системы.
Предположим, что алгоритм решения канонической системы существует. Тогда для каждого момента времени могут быть найдены векторы , и установлена (в общем случае численно) зависимость . Фактически получается решение задачи синтеза оптимального управления:
|
,
где функция называется функцией переключения.
Оптимальное управление линейной системой
С квадратичным функционалом
1. Задача программирования оптимального управления
Рассмотрим линейную динамическую систему
, , , ,
где и - матрицы порядков и , зависящие от времени, - фиксировано, - не ограничено.
Критерий оптимальности зададим в виде
,
где и - положительно определенные матрицы порядков и , зависящие от времени.
Для определения оптимального управления , минимизирующего функционал , используем принцип максимума, Составим гамильтониан . Оптимальное управление определим из условий максимума :
, .
Второе условие выполняется, поскольку - положительно определенная матрица. Следовательно, в соответствии с первым условием оптимальный закон управления имеет вид программы
.
Каноническая система уравнений принимает вид
, , ,
.
Получили краевую задачу для системы линейных дифференциальных уравнений.
2. Задача синтеза оптимального управления
Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления системой
, ,
из условия обращения в минимум критерия оптимальности
.
Полагаем, что , , , - матрицы, зависящие от времени, причем , , - положительно определенные, - фиксировано.
Как и в предыдущей задаче в соответствии с принципом максимума оптимальное управление определяется зависимостью
.
Каноническая система уравнений имеет также прежнюю структуру, но другие граничные условия:
, ,,
, .
Если решение второго уравнения искать в виде , то для матрицы можно получить уравнение, которое позволит найти ее непосредственно:
, .
Это уравнение представляет собой нелинейное матричное дифференциальное уравнение Риккати. Определив , получим закон оптимального управления:
.
Если , , , не зависят от времени, то при достаточно большом можно говорить об «установившемся» режиме. В этом случае полагается . Тогда матрица является постоянной и определяется из линейного матричного алгебраического уравнения:
|
.
Решение этого уравнения можно рассматривать как предел решения дифференциального уравнения Риккати при , если он существует.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!