Геометрическая работа с окружностью и прямой

Теорема о хорде и касательной с частным случаем теоремы о высоте и катетах в прямоугольном треугольнике.

Доказательство способа построения золотого сечения.

Построение золотого сечения.

Возможно —золотое сечение в человеческом теле (А. Дюрер, Ле

Корбюзье); ср.также 9-й класс

 

Элементы проективной геометрии

Вопрос о параллельности и бесконечно удаленной точке прямой.

Возможно —окружность как «кривая деления».

Возможно — работа над проблемами из области техники.

Периодические методы расчетов в применении к задачам механики (например, передаточное число в коробке передач).

Возможно — проект «Баланс».

Ведение контокоррентной книги и журнала.

Составление баланса и проекта бюджета.

Протоколирование всего проекта.

 

Й класс

Подходы и лейтмотивы преподавания

Рассматривавшиеся до сих пор отдельно друг от друга области геометрии и алгебры сводятся воедино в аналитической геометрии. Ученику становится понятным, каким образом геометрические объекты находят свое отражение в уравнениях и как новые геометрические объекты могут быть определены с помощью уравнений. Прямая рассматривается как след движения, более четко прорабатывается понятие функции. После проработки в эпохе физики в 10-м классе также формально рассматривается понятие вектора. На что делать особый упор при прохождении аналитической геометрии в работе с векторами, решает учитель в зависимости от уровня развития класса.

Далее закономерности евклидовой геометрии в проективной геометрии поднимаются на новый уровень. Благодаря рассмотрению бесконечно удаленных элементов (удаленная точка, удаленная прямая, удаленная плоскость) может быть мысленно охвачена бесконечность. Тем самым и ученик приходит к мысленному расширению поля зрения.

В учении о колебаниях содержание курса тригонометрии 10-го класса приводится в движение, и создается основа для понимания волновой теории в применении ко всем беспроволочным видам передачи информации (физика 11-го класса).

Когда рассматривается сферическая тригонометрия, ученик может пережить повышение уровня тригонометрии на плоскости. Сферическая тригонометрия, как и аналитическая геометрия, представляет собой завершение арифметического и геометрического. Как и во многих других областях, в 11-м классе представлявшиеся ученикам, воспринятые ими и развитые раздельно области связываются друг с другом; должны быть вскрыты связи.

Новый уровень мышления затрагивает учеников, когда рассматриваются последовательности и ряды вплоть до предельного значения суммы членов бесконечного ряда. При вычислении сложных процентов познается, как идущие к нулю шаги могут быть преодолены при возникновении нового процесса. Вычисление времени полураспада создает связи с атомной физикой 11-го класса и вместе с тем с вопросами современности.

Еще раз следует указать на то, что содержание геометрии может рассматриваться в отдельной эпохе (если это позволяет план эпох школы) и что учитель из приведенного перечня материала может делать выбор в зависимости от работоспособности класса или его «темы развития».

 

Возможное содержание преподавания

 

Последовательности и ряды

Введение арифметических, а также конечных и бесконечных геометрических последовательностей и рядов (если это еще не было пройдено в 10-м классе).

Выведение формул членов и сумм и применение их в естественнонаучной и хозяйственной области.

Возможно соединение выведения формулы членов арифметической

последовательности высшего порядка с биномиальным коэффициентом.

 

Выработка наглядного понятия о пределе.

Примерное графическое рассмотрение геометрических последовательностей.

Подход к вычислению сложных процентов как к особому случаю геометрических последовательностей.

Выведение формулы и ее применение к различным задачам

естествознания и хозяйства (период полураспада, скорости

прироста...).

Нахождение числа «е».

 

Функции (возможно также в 12-м классе)

Понятие функции по Лейбницу.

Область определения и область значений.

График функции.

Примеры обратной функции.