Значения элементов земных референц-эллипсоидов

[по Л. М. Бугаевскому, 1998]

 

 

 

 

Референц-эллипсоид	Полуоси	Сжатие, а	Страны, где используется референц -элл ип соид
большая, а (м)	малая, Ь(м)
Красовского	6 378 245	6 356 863	1:298,3	Россия, страны СНГ,
(1940)				страны Восточной Евро­пы, Антарктида
Ьссссля (1841)	6 377 397,2	6 356 079	1:299,15	Европа и Азия
Хейфорда (1909)	6 378 388	6 356 912	1:297,0	Европа, Азия, Ю. Амери­ка, Антарктида
Кларка 1 (1866)	6 378 206	6 356 584	1:294,98	С. и Ц. Америка
Кларка II (1880)	6 378 249	6 356 515	1:293,46	Африка, Барбадос, Изра­иль, Иордания, Иран, Ямайка
Эйри (1880)	6 377 491	6 356 185	1:299,3	Великобритания
[Эйри (№ 1)	6 377 563,4	6 356 257	1:299,32	Великобритания
Эйри (№ 2)	6 377 340,2	6 356 034	1:299,32	Ирландия
Эвереста (1830)	6 377 276,3	6 356 075	1:300,8	Индия, Пакистан, Непал, Шри-Ланка
Эвереста (1956)	6 377 301,24	6 356 100	1:300,80	Индия, Непал
Австралийский	6 378 160	6 356 775	1:298,25	Австралия, Папуа-Новая
(1965)				Гвинея
GRS (1980)	6 378 137	6 356 752	1:298,26	Аляска, Ц. Америка, Мек­сика, США, Канада
Международный	6 378 388	6 356 912	1:297
Южно-Амери-
канский (1969)	6 378 160	6 356 775	1:298,25	Ю. Америка
WGS-72	6 378 135	6 356 750	1:298,26
WGS-84	6 378 137	6 356 752	1:298,257
113-90	6 378 136	6 356 751	1:298,258	Россия

Несовпадения бывают заметны главным образом на крупномас­штабных картах при определении по ним точных координат объек-1ов. Но на широко используемых географами средне- и мелкомас­штабных картах такие различия не очень чувствительны. Более того,

40 Глава III. Математическая основа карт

Масштабы карт 41

 

иногда вместо эллипсоида берут шар и тогда в качестве среднего радиуса Земли принимают величину R = 6367,6 км. Погрешности при замене эллипсоида шаром оказываются столь малы, что никак не проявляются на большинстве географических карт.

Для того чтобы добиться наименьших искажений, применяют также способ двойного проектирования: сперва эллипсоид проек­тируют на шар, а затем шар — на плоскость. При равновеликом отображении, когда площадь поверхности эллипсоида Красовско-го должна быть равна площади поверхности шара, радиус его ока­зывается равным R = 6 371 116 м. Для упрощения проектирования применяют и иные способы отображения эллипсоида на шар.

Масштабы карт

Масштаб карты — степень уменьшения объектов на карте отно­сительно их размеров на земной поверхности (точнее, на по­верхности эллипсоида).

Строго говоря, масштаб постоянен только на планах, охваты­вающих небольшие участки территории. На географических картах он меняется от места к месту и даже в одной точке — по разным направлениям, что связано с переходом от сферической поверх­ности планеты к плоскому изображению. Поэтому различают глав­ный и частный масштабы карт. Главный масштаб показывает, во сколько раз линейные размеры на карте уменьшены по отноше­нию к эллипсоиду или шару. Этот масштаб подписывают на карте, но необходимо иметь в виду, что он справедлив лишь для отдель­ных линий и точек, где искажения отсутствуют. Частный мас­штаб отражает соотношения размеров объектов на карте и эллип­соиде (шаре) в данной точке. Он может быть больше или меньше главного. Частный масштаб длин ju показывает отношение длины бесконечно малого отрезка на карте ds^% к длине бесконечно малого отрезка ds на поверхности эллипсоида или шара, а частный мас­штаб площадей р передает аналогичные соотношения бесконечно малых площадей на карте dp и эллипсоиде или шаре dp:

В общем случае чем мельче масштаб картографического изоб­ражения и чем обширнее территория, тем сильнее сказываются различия между главным и частным масштабами.

В России для топографических и обзорно-топографических карт установлена система масштабов (табл. 3.2).

Таблица 3.2 Масштабы общегеографических карт

 

Численный масштаб	Название карты
	5 000	Пятитысячная
	10 000	Десятитысячная
	25 000	Двадцатипятитысячная
	50 000	Пятидесятитысячная
	100 000	Стотысячная
	200 000	Двухсоттысяч ная
	300 000	Трехсоттысяч пая
	500 000	Пятисоттысяч ная
	1 000 000	Миллионная

Тематические карты составляются в этих и других масштабах. Так, карты городов часто имеют масштаб 1:40 000, а карты обла­стей — 1:600 000. Обзорные географические карты могут состав­ляться в любых масштабах мельче миллионного: 1:1 500 000, 1:2 500 000, 1:10 000 000 и т.д. Подобные системы с некоторыми вариантами приняты и в других странах, например широко ис­пользуются масштабы 1:20 000, 1:80 000 и 1:250 000 и др.

Старые русские карты составлялись в неметрических масшта­бах, и на них использовались старые меры длины — верста (1,067 км), сажень (2,134 м), дюйм (2,54 см). Многие старые карты, сохранившиеся до наших дней, ценны как научные документы, точно отражающие состояние окружающей среды, какой она была 100 и более лет тому назад. Но чтобы сопоставлять эти карты с современными, приходится пользоваться неметрическими мас­штабами. Некоторые из старых масштабов приведены в табл. 3.3.

На морских навигационных и некоторых английских и амери­канских картах можно и по сей день встретить английскую систе­му мер: одна английская миля равна 1,609 км, она содержит в себе 5280 футов, или 63 360 дюймов. В современном обиходе иног­да еще используют такие меры — вспомним хотя бы морскую

42 Глава III. Математическая основа карт

Картографические проекции 43

 

 

Таблица 3.3 Масштабы старых русских карт

 

Численный		/ дюйму на карте
масштаб	Название карты	соответствует на местности
	21 000	Полуверстка	Уг версты
	42 000	Одновсрстка	1 верста
	84 000	Двухверстка	2 версты
	126 000	Трехверстка	3 «
	210 000	Пятиверстка	5 верст
	420 000	Десятиверстка	10 «
	1 050 000	Двадцатипятиверстка	25 «
	1 680 000	Сорока верстка	40 «
	4 200 000	Стовсрстка	100 «

«десятимильную зону», признанную зоной особых экономичес­ких интересов каждого государства. В Великобритании до сих пор параллельно издаются карты в традиционных английских мерах (табл. 3.4) и новых метрических.

Таблица 3.4 Масштабы британских карт

 

Численный масштаб	Название карты	/ дюйму на карте соответствует на местности	1 миле на местнос­ти соответствует на карте
1:10 560 1:63 360 1:126 720 1:253 440 1:633 600	Шестидюймовая Однодюймовая Полудюймовая Четвертьдюймовая Десятимильная	% мили 1 миля 2 мили 4 « 10 миль	6 дюймов 1 дюйм Vi дюйма 1А «Ую «

Масштаб указывается на картах в разных вариантах (рис. 3.2). Численный масштаб представляет собой дробь с единицей в чис­лителе, он показывает, во сколько раз длины на карте меньше соответствующих длин на местности (например, 1:1 000 000). Ли-

Рис. 3.2. Виды масштабов на картах.

нейный (графический) масштаб дается на полях карты в виде ли­нейки, разделенной на равные части (обычно сантиметры), с подписями, означающими соответствующие расстояния на мест­ности. Он удобен для измерений по карте. Именованный масштаб указывает в виде подписи, какое расстояние на местности соот­ветствует одному сантиметру на карте (например, в 1 см 1 км).

Картографические проекции

Картографическая проекция — это математически определен­ное отображение поверхности эллипсоида или шара (глобуса) на плоскость карты. Проекция устанавливает однозначное соответствие между гео­дезическими координатами точек (широтой В и долготой L) и их прямоугольными координатами (Хи Y) на карте. Уравнения про­екций в общей форме выглядят предельно просто

x=f_l(B,L);Y=f₂(B,L)>

Конкретные реализации функций /_у и f₂ часто выражены до­вольно сложными математическими зависимостями, их число бес­конечно, а следовательно, разнообразие картографических проек­ций практически неограниченно.

Теория картографических проекций составляет главное содер­жание математической картографии. В этом разделе разрабатывают методы изыскания новых проекций для разных территорий и раз­ных задач, создают приемы и алгоритмы анализа проекций, оцен­ки распределения и величин искажений. Особый круг задач связан с учетом этих искажений при измерениях по картам, переходом из одной проекции в другую и т. п. Компьютерные технологии позво­ляют рассчитывать проекции с заданными свойствами.

Глава III. Математическая основа карт

Картографические проекции 45

 

Рис. 3.3. Контуры России на картах, составленных в разных проекциях.

Исходная аксиома при изыскании любых картографических про­екций состоит в том, что сферическую поверхность земного шара (эллипсоида, глобуса) нельзя развернуть на плоскости карты без искажений.

Неизбежно возникают деформации — сжатия и растяжения, раз­личные по величине и направлению. Именно поэтому на карте воз­никает непостоянство масштабов длин и площадей (см. разд. 3.2).

Иногда искажения картографических проекций очень замет­ны, например очертания материков выглядят непривычно вытя­нутыми или сплющенными, а другие части изображения стано­вятся раздутыми. Есть карты, на которых Гренландия больше Южной Америки, хотя, в действительности, она меньше ее в восемь с лишним раз, а Антарктида иногда вообще занимает весь юг карты. Искажаются не только размеры, но и формы объектов. На рис. 3.3 дан контур России в трех разных проекциях, и видно, что в одном случае очертания Чукотки как бы «задраны» кверху, в другом — находятся на уровне полуострова Таймыр, а в третьем — опущены книзу. На самом же деле, именно на Таймыре находится северная оконечность России — мыс Челюскин.

В картографических проекциях могут присутствовать следую­щие виды искажений:

 

♦ искажения длин — вследствие этого масштаб карты непосто­янен в разных точках и по разным направлениям, а длины линий и расстояния искажены;

♦ искажения площадей — масштаб площадей в разных точках карты различен, что является прямым следствием искаже­ний длин и нарушает размеры объектов;

♦ искажения углов — углы между направлениями на карте ис­кажены относительно тех же углов на местности;

♦ искажения форм — фигуры на карте деформированы и не подобны фигурам на местности, что прямо связано с иска­жениями углов.

Любая бесконечно малая окружность на шаре (эллипсоиде) предстает на карте бесконечно малым эллипсом — его называют эллипсом искажений. Для наглядности вместо бесконечно малого эллипса обычно рассматривают эллипс конечных размеров (рис. 3.4). Его размеры и форма отражают искажения длин, площадей и уг­лов, а ориентировка большой оси относительно меридиана и па­раллели — направление наибольшего растяжения. Большая ось эл­липса искажений характеризует наибольшее растяжение в данной точке, а малая ось — наибольшее сжатие, отрезки вдоль меридиа­на и параллели соответственно характеризуют частные масштабы по меридиану т и параллели п.

ис. 3.4. Эллипс искажений, характеризующий искажения масштабов в данной точке (в центре эллипса).

а— направление наибольшего растяжения масштаба; Ь— направление наи­большего сжатия масштаба; т — масштаб по меридиану; п — масштаб по параллели.

V,

Глава III. Математическая основа карт

Классификация проекций по виду картографической сетки 47

 

Определив значения т и п, а также измерив угол Э, под кото­рым пересекаются на карте меридиан и параллель, можно затем рассчитать значения наибольшего а и наименьшего b частных мас­штабов длин, частный масштаб площадей р в данной точке, а также значение искажения углов со по формулам:

р = т п sin 9;

Если главные оси эллипса ориентированы по меридиану и па­раллели, то

Значения т, п, а, Ь и р измеряют в процентах или в долях от главного масштаба. Например, если а = 1,12, то это означает, что частный масштаб по направлению большой оси эллипса искаже­ний составляет 1,12 (или 112%) от главного масштаба. Иногда в качестве показателей искажений используют их отклонения от еди­ницы: т — 1, п— 1, а — 1, b — 1 и р — 1 — эти показатели называ­ют относительными искажениями. Если, например, а — 1 =0,12, то это значит, что частный масштаб вдоль большой оси эллипса искажений преувеличен относительно главного масштаба на 0,12 (или на 12%). Частный масштаб может оказаться и меньше глав­ного, например b =0,85 (85%), т.е. масштаб преуменьшен на 0,15 (на 15%).

В ряде проекций существуют линии и точки, где искажения отсутствуют и сохраняется главный масштаб карты — это линии и точки нулевых искажений. Для наиболее употребительных проек­ций существуют специальные вспомогательные карты, на которых показаны эти линии и точки, а кроме того проведены изоколы — линии равных искажений длин, площадей, углов или форм. При определении размеров искажений в заданной точке можно вос­пользоваться картами изокол либо провести несложные измере­ния, а затем — вычисления по приведенным выше формулам.

3.4. Классификация проекций
по характеру искажений

Равновеликие проекции сохраняют площади без искажений. Та­кие проекции удобны для измерения площадей объектов, однако, в них значительно нарушены углы и формы, что особенно заметно для больших территорий. Например, на карте мира (рис. 3.5я) при­полярные области выглядят сильно сплющенными.

Равноугольные проекции оставляют без искажений углы и фор­мы контуров, показанных на карте (ранее такие проекции называ­ли конформными). Элементарная окружность в таких проекциях всегда остается окружностью, но размеры ее сильно меняются (рис. 3.5#). Такие проекции особенно удобны для определения на­правлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту, поэто­му их всегда используют на навигационных картах. Зато карты, составленные в равноугольных проекциях, имеют значительные искажения площадей.

Равнопромежуточные проекции — произвольные проекции, в которых масштаб длин по одному из главных направлений посто­янен и обычно равен главному масштабу карты. Соответственно различают проекции равнопромежуточные по меридианам — в них без искажений остается масштаб вдоль меридианов, и равнопроме­жуточные по параллелям — в них сохраняется постоянным мас­штаб вдоль параллелей. В таких проекциях присутствуют искажения площадей и углов, но они как бы уравновешиваются (рис. 3.56).

Произвольные проекции — это все остальные виды проекций, в которых в тех или иных произвольных соотношениях искажаются и площади, и углы (формы). При их построении стремятся найти наиболее выгодное для каждого конкретного случая распределе­ние искажений, достигая как бы некоторого компромисса. Скажем, выбирают проекции с минимальными искажениями в центральной части карты, «сбрасывая» все сжатия и растяжения к краям.

Классификация проекций