Приемы математико-картографического моделирования

Формализованное картографическое изображение хорошо при­способлено для математического анализа. Как упоминалось выше, каждой точке карты с координатами х и у поставлено в соответ­ствие лишь одно значение картографируемого параметра г, что позволяет представить изображение данного явления как функ­цию z — F(x,y). В других случаях картографическое изображение удобно представить как поле случайных величин и воспользовать­ся для его анализа вероятностно-статистическими методами.

В принципе почти все разделы математики применимы для обработки и анализа картографического изображения. Проблема лишь в том, чтобы точно подобрать математическую модель и, главное, дать надежное содержательное истолкование результатам моделирования. Достаточно прочно в картографический анализ вошли некоторые разделы численного анализа, многомерной ста­тистики, теории вероятностей и теории информации.

Аппроксимации. Под аппроксимациями в математике понимают замену (приближение) сложных или неизвестных функций другими, более простыми функциями, свойства которых известны. Любую слож­ную поверхность (поле), изображенную на изолинейной карте, можно аппроксимировать, т.е. приближенно представить в виде

где/(f у) — некая аппроксимирующая функция, е — остаток, не поддающийся аппроксимации. Функцию/(х, у) можно далее раз­ложить в ряд, представив уравнение поверхности в виде

где/(f, у) — компоненты разложения, которые предстоит опреде-

лить. В общем случае для этого с аппроксимируемой карты снимают ряд значений z_n после чего составляют систему уравнений, решае­мых совместно по способу наименьших квадратов, т.е. так, чтобы

Существуют разные способы аппроксимации. Это обычные ал­гебраические многочлены, ортогональные многочлены Чебышева и Лежандра, которые определенным образом упрощают вычисле­ния, сплайн-функции и др. Не останавливаясь на особенностях математического аппарата, отметим, что во всех случаях задача сводится к тому, чтобы аппроксимирующее уравнение наилучшим образом описывало исходную поверхность, а сумма квадратов от­клонений I е.² была бы минимальна.

На рис. 12.16 показано последовательное улучшение аппрок­симаций на примере несложных поверхностей. Аппроксимация 1-го порядка (линейное уравнение) дает плоскость, отражающую только общий уклон поверхности, это очень грубое, слишком общее приближение. Поверхность 2-го порядка уже больше похо­жа на исходную модель, а аппроксимация 3-го порядка (кубичес­кое уравнение) дает достаточно хорошее приближение к исход­ной поверхности.

Тригонометрические функции позволяют описывать сложные, сильно расчлененные поверхности, а сферические функции при­меняют, если при вычислениях нельзя пренебречь кривизной зем­ной поверхности. Аппроксимация с помощью двойных рядов Фу­рье, представленная на рис 12.17, иллюстрирует постепенное ус­ложнение поверхности за счет добавления двухмерных синусоид с разными фазами и амплитудами. Компьютерное моделирование позволяет выполнять подобные аппроксимации для поверхностей любой сложности, вычисляя уравнения высокого порядка, содер­жащие порой несколько десятков членов разложения.

В исследовательской практике аппроксимации используют для аналитического описания поверхностей (полей), изображенных на картах, и выполнения с ними различных действий: суммиро­вания, вычитания, интегрирования и дифференцирования, для подсчета объемов тел, ограниченных этими поверхностями, и ре­шения множества других задач. Одно из направлений использова­ния аппроксимаций — разложение поверхностей на составляю­щие, что позволяет выделять и анализировать нормальные и ано­мальные факторы развития и пространственного размещения явлений (см. разд. 13.2).

230 Глава XII Методы использования карт

Приемы математико-картографического моделирования 23 1

 

Рис. 12.16. Аппроксимации поверхностей:

а — блок-диаграмма исходной поверхности; б, в, г — блок-диаграммы аппрок­симирующих поверхностей соответственно I, 2 и 3-го порядков.

Рис. 12.17. Схема тригонометрической аппроксимации поверхности с по­мощью последовательного наложения двухмерных синусоидальных волн (по Дж. Дэвису).

Приемы математической статистики. Эта группа приемов мате­матико-картографического моделирования предназначена для изу­чения по картам пространственных и временных статистических совокупностей и образуемых ими статистических поверхностей.

232 Глава XII. Методы использования карт

Приемы математико-картографического моделирования 233

 

Рис. 12.18. Фрагмент карты рельефа (а) с сеткой точек регулярной вы­борки (выходы сетки отмечены на рамке), гистограмма и кривая рас­пределения высот (б): со — частость; h — высоты рельефа.

Статистический анализ картографического изображения пре­следует главным образом три цели:

♦ изучение характеристик и функций распределения явления;

♦ изучение формы и тесноты связей между явлениями;

♦ оценка степени влияния отдельных факторов на изучаемое явление и выделение ведущих факторов.

В основу всякого статистического исследования кладется вы­борка, т.е. некоторое подмножество однородных величин я., сня­тых с карты по регулярной сетке точек (систематическая выбор­ка), в случайно расположенных точках (случайная выборка), на ключевых участках (ключевая выборка) или по районам (райони­рованная выборка).

Выборочные данные группируют по интервалам, составляют гистограммы распределения (рис. 12.18) и затем вычисляют раз­личные статистики — количественные показатели, характеризу­ющие пространственное распределение изучаемого явления. Наи­более употребительные показатели — среднее арифметическое, среднее взвешенное арифметическое, среднее квадратическое, дис-

Рис. 12.19. Карты явлений и поле корреляции.

А — карта испарения с суши (мм/год) для территории Республики Коми; В — карта средней годовой температуры воздуха (°С) для той же территории.

персия, вариация и др. Кроме того, с помощью специальных по­казателей (критериев согласия) можно оценить соответствие дан­ного конкретного распределения тому или иному теоретическому закону распределения. Например, установить, согласуется ли эм­пирическое распределение высот рельефа с кривой нормального распределения, как это видно на рис. 12.18, или подчиняется ка­кой-то иной функции.

Другая типичная исследовательская задача — оценка взаимо­связи между явлениями — решается с помощью хорошо разрабо­танного в математической статистике аппарата теории корреляции. Для этого необходимо иметь выборки по сравниваемым явлени­ям, показанным на картах разной тематики (например, А и В). Значения а. и Ь. берут в одних и тех же /-х точках, т.е. строго скоор­динировано, и затем строят график поля корреляции (рис. 12.19).

Если поле корреляции может быть аппроксимировано прямой, которая называется линией регрессии, то приступают к вычисле­нию коэффициента парной корреляции г. Его числовые значения заключены в интервале +1 > г > — 1. При г равном +1 или —1 существует функциональная прямая или обратная связь. Если г близок к 0, то связь между явлениями отсутствует, а при г > |0,7| связь считается существенной. Коэффициент корреляции рассчи­тывают по формуле

234 Глава XII. Методы использования карт

Приемы математико-картографического моделирования 235

где а. и Ь. — выборочные данные, полученные по картам А и В; п — объем выборки (число пар данных); М_а и М_ь — соответствую­щие значения средних, а о_аи о_ь — средних квадратических.

236 Глава XII. Методы использования карт

где р_а. и p_h. — ранги значений, полученных соответственно по кар­там А и В, т.е. их порядковые номера в возрастающей последова­тельности (1, 2, 3 и т.д.), an — объем выборки.

По смыслу у аналогичен коэффициенту парной корреляции г, он изменяется в интервале от —1 до +1. При этом не требуется больших объемов выборки, расчеты можно выполнять даже при п = 3. К тому же не нужны точные количественные значения й и Ь_р достаточно знать их ранги. Все это удобно для работы с картог­раммами, где используются интервальные шкалы, а объем выбор­ки ограничен числом административных районов.

Аппарат теории корреляции достаточно разнообразен, в нем есть показатели, удобные для анализа взаимосвязей по картам аре­алов (где явления характеризуются только двумя состояниями: «есть» и «нет»), по картам качественного фона (где каждое явле­ние имеет много состояний, но не охарактеризовано количествен­но). Существуют коэффициенты для расчета криволинейных зави­симостей и связей между тремя явлениями (коэффициенты мно­жественной корреляции) и т.п.

Расчет корреляций дает основу для более сложных видов ана­лиза: регрессионного, дисперсионного, факторного и др. Часто при исследованиях ставится задача выделить основные факторы, опре­деляющие развитие и размещение того или иного явления. Эту задачу решает многомерный факторный анализ. Он позволяет све­сти к минимуму (к трем-четырем главным факторам) большие совокупности исходных показателей, характеризующих сложное явление. Уравнение факторного анализа имеет вид

где а — исходные показатели;^ — выделенные главные факторы, дающие синтетическую оценку изучаемого явления; / — «вес» каждого фактора в этой синтетической оценке («факторная на­грузка»); е_р — остаток, характеризующий неучтенные отклонения.

Приемы теории информации. Эти приемы используют для оцен­ки степени однородности и взаимного соответствия явлений, изу­чаемых по картам.

Речь идет об основной функции теории информации — энтро­пии. В термодинамике энтропия характеризует степень беспорядка в физической системе, в теории связи — степень неопределенности

Приемы математико-картографинеского моделирования 237

передаваемых сообщений, а в картографическом анализе эта функ­ция оказалась довольно удобной для оценки степени однородности/ неоднородности (разнообразия) картографического изображения.

Энтропией Е (А) некоторой системы А называется сумма про­изведений вероятностей со_/ различных состояний этой системы на логарифмы вероятностей, взятая с обратным знаком

В теории информации принято брать логарифмы вероятностей при основании 2, что связано с двоичной системой счисления. Смысл функции не изменится, если пользоваться десятичными или натуральными логарифмами. Функция Е(А) остается неотри­цательной, она обращается в нуль, когда на карте изображен только один контур или выдел (т.е. изображение совершенно однородно), и монотонно возрастает с увеличением числа контуров п. Это свой­ство функции энтропии позволяет количественно характеризовать неоднородность картографического изображения (рис. 12.21), по­нимаемую как разнообразие контуров и неравномерность их рас­пространения по площади (различие величин со,.).

Рис. 12.21.Увеличение энтропии Е{А) с возрастанием числа контуров на карте (а) и изменением соотношения их площадей (б).

Кроме того, информационные функции используют для оценки степени взаимного соответствия (совпадения) контуров на разных картах. В этом случае они выполняют роль своеобразных показателей взаимосвязи явлений наподобие коэффициентов корреляции.

Изучение структуры 239

Глава XIII

Исследования по картам

Способы работы с картами

Рассмотренные в предыдущей главе технические приемы исполь­зуют для работы с отдельными картами либо с сериями карт и ком­плексными атласами. Исследования по картам выполняют для опре­деления размещения и пространственно-временной структуры яв­лений и процессов, их взаимных соотношений и связей, выявления тенденций развития и динамики, для получения всевозможных ко­личественных характеристик и оценок, проведения районирования и классификаций, прогноза изменений во времени и пространстве.

Способы работы с картами подразделяют следующим образом.

Анализ отдельной карты

♦ Изучение картографического изображения без его преобра­зования, т.е. анализ карты в том виде, в каком она есть.

♦ Преобразование картографического изображения с целью приведения его в вид, более удобный для данного конкрет­ного исследования.

♦ Разложение картографического изображения на составляю­щие — особый вид преобразования, применяемый для выде­ления нормальной и аномальной (фоновой и остаточной) компонент развития и размещения явлений и процессов.

Анализ серий карт

♦ Сравнение карт разной тематики с целью установления вза­имосвязей и зависимостей между явлениями.

♦ Сопоставление разновременных карт для изучения динамики и эволюции явлений и процессов, составления прогнозов их развития во времени.

♦ Изучение карт-аналогов для обнаружения общих закономер­ностей распространения явлений и процессов на разных тер­риториях.

Исследования по картам, как и любые другие, включают не­сколько этапов:

♦ постановка задачи — формулирование цели, выделение под­задач, определение требований к точности;

♦ подготовка к исследованию — выбор картографических ис­точников, методов, технических средств, алгоритмов и т.п.;

♦ собственно исследование — получение предварительных, а затем окончательных результатов, их оценка, создание но­вых карт;

♦ интерпретация результатов — содержательный анализ, фор­мулирование выводов и рекомендаций, оценка их надеж­ности.

Исследования по картам — это всегда более или менее форма­лизованная процедура. На всех этапах ей должны сопутствовать содержательный географический анализ получаемых результатов, соотнесение их с реальной ситуацией и, если необходимо, кор­ректировка самой процедуры исследования.

Изучение структуры

Изучение по картам структуры явлений и процессов — это выявление и анализ их элементов, размещения в пространстве, конфигурации, порядка (уровня) и иерархии. Конечная цель ис­следования всегда состоит в познании пространственной органи­зации геосистем, их генезиса, в раскрытии механизма функцио­нирования.

Один из наиболее информативных способов изучения структу­ры — анализ конфигурации картографических образов, т.е. изучение геометрического рисунка изображения. По внешнему облику объекта часто можно судить о его морфологии, генезисе, о факторах, сфор­мировавших тот или иной объект. На рис. 13.1 показаны некоторые типичные конфигурации географических объектов, по которым можно сделать предположения об их генезисе. Так, параллельный рисунок гидрографической сети, скорее всего, свидетельствует о системе трещиноватости того же простирания, которой подчине­ны речные долины, а радиальное растекание водотоков — о купо­лообразном тектоническом поднятии. Древовидная конфигурация почвенных контуров означает их приуроченность к долинам рек, а

240 Глава XIII. Исследования по картам

Изучение структуры

 

Рис. 13.1. Типичные конфигурации объектов на тематических картах при­роды.

а — параллельный рисунок (гидросеть Приобского плато); б — древовидный рисунок (почвенные ареалы в долине р. Игрит); в — решетчатый рисунок (разломы в Предбайкалье); г — веерный рисунок (разрывные нарушения в Восточном Саяне); д — веерный рисунок (дельта р. Селенги); е — радиаль­ный рисунок (речная сеть на Путоранском сводовом поднятии); ж — дугооб­разный рисунок (пойменные гривы в излучине р. Вилюй); з — кольцевой рисунок (тектонические структуры в Казахстане); и — пятнистый рисунок (пятна талых и мерзлых пород в Якутии).

веерный рисунок характерен для природных объектов, формиру­ющихся на дельтах, и т.д.

Картографический метод позволяет эффективно выявлять про­странственные закономерности и аномалии, т.е. типичные, устой­чивые, широко распространенные структуры и отклонения от них. Карты, обладающие большой обзорностью, как бы специально предназначены для выявления общих закономерностей глобаль-

Рис. 13.2. Основные линеаменты северо-западного и северо-восточного простираний, выявляемые по физической карте Севера Русской рав­нины.

ного и регионального уровней. В значительной степени этому спо­собствует и генерализация, освобождающая изображение от мело­чей, деталей и выпукло проявляющая главные, наиболее суще­ственные его черты.

Напомним, что именно благодаря обзорности карт были уста­новлены такие важнейшие закономерности географической струк­туры, как зональность, сеть планетарных линеаментов, единая система срединно-океанических хребтов и рифтовых зон, струк­тура центральных мест и т.п. Глобальные системы линеаментов можно обнаружить при внимательном анализе карт любого масш­таба. На карте Севера Русской равнины (рис. 13.2) отчетливо про­явлена система северо-западных и северо-восточных линеаментов. Им подчиняются береговые линии морей и озер, направления водоразделов и речных долин. Таковы очертания Кольского полу­острова, берега Белого и Печорского морей, вытянутые озера Карелии, долины рек Северной Двины, Онеги, Мезени, Вашки, Сухоны, Вычегды, Печоры, Усы, Тиманский кряж, Северный Урал, хребет Пай-Хой и другие крупные оро- и гидрографичес­кие элементы. Все это — отражение системы трещиноватости,

 

 

16-4886

Рис. 13.3. Речная сеть в районе Транстиманской дислокации. Точечным пунктиром показано простирание дислокации.

охватывающей всю планету и обязанной своим происхождением ротационным напряжениям, возникающим на земном шаре. Ин­тересно, что аналогичные системы северо-западных и северо-вос­точных линеаментов можно видеть и на картах других планет зем­ной группы. Это общая закономерность планетарного рельефа.

На фоне закономерностей нередко удается подметить анома­лии, и глаз опытного исследователя сравнительно легко их рас­познает. В качестве иллюстрации на рис. 13.3 показана уникальная для Севера Русской равнины широтная орографическая аномалия в полосе между 65° и 66° с.ш. Словно глубокая борозда прорезает Тиманский кряж, и в ней расположены долин рек Пезы, Циль-мы, Печоры. Она аномальна по отношению к господствующим здесь северо-западным линеаментам. Так проявлена в рельефе глу­бинная Транстиманская тектоническая дислокация.

Изучая структуру явлений, часто стараются выявить основные и второстепенные компоненты. Отделить аномалии от фона помо­гает операция разложения картографического изображения на со-ставляющие, которую можно выполнить с помощью усреднения, аппроксимации или фильтрации. В задаче о разложении принима­ется, что показанное на карте явление z представляет собой ре­зультат совокупного влияния основного, наиболее значительно­го, фонового фактора £., зависящего от причин регионального, а иногда даже глобального масштаба, и дополнительных факторов, накладывающихся на общий фон и усложняющих картину, — их называют остаточными i_o или аномальными

Рис. 13.4. Графическое разложение поверхности на составляющие.

о — гексагональная сетка, по которой осуществляется усреднение; б — ис­ходная поверхность с отметками высот; в — усредненная фоновая поверх­ность с осредненными значениями высот; г — остаточная поверхность с ве­личинами отклонений исходной поверхности от фоновой.

Примерами могут служить ареалы повышенного радиационно­го загрязнения на фоне допустимых значений, локальные подня­тия и опускания на фоне региональных тектонических движений, местные климатические особенности, накладывающиеся на зональ­ные закономерности, и т.п.

Самый простой способ разложения — графическое осреднение. Для этого на исходной карте размещают сетку регулярных точек так, как показано на рис. 13.4, в центре каждой шестиугольной ячейки вычисляют значение скользящего среднего ц как среднего из значений вершин и центра ячейки: На изолинейной

карте, построенной по значениям z_(/p отражена осредненная фоно­вая поверхность (рис. 13.4в), передающая главные, наиболее круп­ные черты структуры. Если далее в каждой точке взять разности между фактическим и осредненным значениями и про-

вести по ним изолинии, то получится остаточная поверхность, показывающая размещение аномалий, отклонений, второстепен­ных деталей (рис. 14.4г).

16*

244 Глава XIII. Исследования по картам

А б в

Рис. 13.5. Карта осадков теплого периода (в мм) на территории Республи­ки Коми (а) и карты фоновой (б) и остаточной (в) поверхностей, полученные в результате аппроксимации уравнением 1-го проядка.

Аналогичный эффект разложения на составляющие достигает­ся и при расчете аппроксимирующей поверхности и отклонений от нее фактической исходной поверхности. При этом предполага­ется, что фоновая составляющая описывается некоторой неслу­чайной функцией/(х, у), а неучтенные отклонения от нее е соот­ветствуют остаточной поверхности. Иначе говоря, члены аппрок­симирующего уравнения приравниваются к членам уравнения разложения на составляющие

На рис. 13.5 представлена карта осадков теплого периода года на территории Республики Коми и результаты ее разложения на фоновую поверхность 1 -го порядка и остаточную поверхность. Карта фоновой поверхности передает общее увеличение количества осад­ков в направлении на юго-восток, что может быть связано с трансформацией масс арктического воздуха по мере их продвиже­ния в глубь материка. А карта остаточной поверхности показывает отклонения от этой закономерности, в частности резкое увеличе­ние количества осадков на западных склонах Урала и в районе Тиманского кряжа.

Углубленное изучение структуры явлений нередко требует пре­образования картографического изображения, т.е. трансформиро­вания его с целью создания производных карт и получения по ним новой информации. Различают несколько видов преобразования.

 

|

Рис. 13.6. Схематизация. Преобразование карты современного рельефа в карту морфоизогипс: а — современный рельеф; б — восстановлен­ный «первичный» рельеф; точечным пунктиром показано обобще­ние некоторых горизонталей.

Вычленение, т.е. выделение на карте интересующих исследова­теля компонентов сложной геосистемы и снятие прочих деталей. Выделенные элементы предстают в наглядной и удобной для дан­ного исследования форме, например в виде системы спрямленных элементов рельефа и гидрографии, как на рис. 13.2.

Схематизация — устранение второстепенных деталей и пред­ставление картографического изображения в упрощенном виде. Так, при схематизации гипсометрического изображения и снятии дета­лей эрозионного расчленения проявляется основная первично-тек­тоническая структура рельефа (рис. 13.6).

Детализация — преобразование, противоположное схематиза­ции, оно имеет целью сделать изображение более подробным. На­пример, на топографической карте можно детализировать изобра­жение эрозионной сети, проведя по изгибам горизонталей тальве­ги временных водотоков.

Континуализация — замена дискретного картографического изображения непрерывным, что обычно связано с введением по­нятия «географическое поле». Например, карту тектонических тре­щин преобразуют в псевдоизолинейную карту поля трещинова-

Глава XIII. Исследования по картам

Изунение структуры

 

Рис. 13.7. Континуализация.

а — преобразование карты трещин широтного простирания в карту поля трещиноватости (км/км²); б — преобразование карты размещения тетереви­ных птиц в карту их плотности; значками показано число птиц, а на изоли-нейной карте — их плотность на 1 км².

тости (рис. 13.7), карту расселения — в карту плотности населе­ния, карту размещения лесов — в карту лесистости и т.п. Такие преобразования дают представление об абстрактном рельефе явле­ния, на производных картах хорошо читаются максимумы и ми­нимумы распределения, их удобно коррелировать с другими изо-линейными картами.

Дискретизация — обратное преобразование, имеющее целью перевод непрерывного изображения в дискретную форму. Хоро­шим примером может служить интерполирование по сетке точек при создании цифровых моделей по картам с изолиниями или картограммам.

Средствами подобных преобразований часто служат графичес­кие операторы— сетки равномерно или неравномерно располо­женных точек, геометрических ячеек, в каждой из которых выпол-

Рис. 13.8. Операторы (сетки и палетки), применяемые для преобразова­ния картографического изображения.

а — регулярные неперекрывающиеся операторы: 1 — квадратная сетка; 2 — гексагональная сетка; 3 — радиально-концентрическая палетка; б — регуляр­ные перекрывающиеся (скользящие) операторы: 4 — скользящие кружки; 5 — перекрывающиеся шестиугольники; в — нерегулярные операторы: 6 — случайно выбранные квадраты; 7 — избирательно взятые кружки.

няют пересчет исходных данных и получают производные показа­тели. Если ячейки (квадраты, кружки и др.) перекрываются по площади, то их называют скользящими операторами. Примеры наи­более типичных операторов показаны на рис. 13.8.

Преобразования подразделяют на однократные и многократ­ные. В свою очередь, многократные преобразования бывают парал­лельными и последовательными. При параллельных преобразова­ниях по исходной карте А получают сразу несколько производных карт Л —> (В, С,..., N). Например, по топографической карте строят

248 Глава XIII. Исследования по картам

карты расчленения рельефа, уклонов, экспозиции склонов и др. В других случаях карту А последовательно преобразуют в карту В, ее, в свою очередь, — в карту С и т.д.: А -> В -> С ->... -> N. Допустим, по карте рельефа сперва строят карту глубины расчле­нения, затем последовательно — производные карты интенсивно­сти смыва, эрозионной опасности, почвозащитных мероприятий и т.п. При изучении структуры сложных явлений часто применяют древовидные преобразования, сочетая параллельные и последова­тельные варианты.

Изучение взаимосвязей

Анализ и количественная оценка внутренних и внешних свя­зей и взаимозависимостей между геосистемами, их подсистемами и отдельными компонентами — одна из центральных задач в на­уках о Земле. В ее решении картографическому методу принадле­жит коронная роль благодаря поистине неисчерпаемому разнооб­разию карт всевозможной тематики. По ним удобно оценивать изменчивость связей в пространстве, выделять основные и второ­степенные зависимости, а также выполнять индикационные ис­следования, т.е. предсказывать размещение одних (индицируемых) явлений по другим (индикаторам).

Для изучения взаимосвязей используют широкий арсенал тех­нических приемов. Самые простые среди них — визуальный анализ и описание взаимосвязей. Из графических приемов эффективно совмещение контуров анализируемых явлений на общей основе— графический оверлей, в результате чего выявляют совпадающие, частично совпадающие и совсем не совпадающие контуры. Они трактуются как отражение взаимосвязей различной силы.

Многие зависимости наглядно видны на комплексных профи­лях и разрезах, совмещенных розах-диаграммах (см. рис. 12.6 и 12.7), составленных по сериям карт, а также на блок-диаграммах и мета-хронных диаграммах.

Конечно, наилучшие возможности для изучения и количествен­ной оценки взаимосвязей явлений предоставляют аппарат теории корреляции и информационный анализ: коэффициенты корреля­ции, показатели взаимного соответствия и др. (см. разд. 12.7).

Следует иметь в виду одну важную особенность картографи­ческого метода исследования.

Рис. 13.9. Сходство картографических изображений при отсутствии при­чинной связи между явлениями (Южная Армения). а — плотность сельского населения; б — цветение картофеля.