Элементы релятивистской динамики

§  1. Преобразование скоростей

Пуст ь материальная точка движется в системе К                   со скоростью .

Система K движется со скоростью                      V относительно K (рис. 12.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12.1

 

 

 

Найдем компоненты скорости материальной точки в соответствии с (2.2),

применив преобразования Лоренца (11.4):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.                           (12.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

98

 Здесь для преобразования                                                                     dx, dy, dz и dt мы использовали прямые преобр                                                          а-

зования Лоренца (11.4а).

Так как из (2.2) следует, что:

 

 

(12.2)

 

 

LLLLLLLLLL. и з (12.1) и (12.2) следует, что:

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,                                 (12.3) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы (12.3) – это формулы релятивистского преобразования скор о-

стей.

По этим формулам мы можем найт и компоненты скорости материальной

точки в системе К                                                                                 , если известны компоненты ее скорости в системе                                                       .

Преобразования скоростей при переходе от системы К               к системе  отл и-

чаются от формул (12.3) только знаком пер ед V в знаменателях этих формул.

При        V << c                                                                                  формулы (12.3) переходят в формулы (11.2), по которым пр                              е-

обр а зуются скорости в механике Ньютона.

Вернемся к ситуации, изображенной на рис. 11.2 и найдем скорость света

в  системе К, если ег                                                о скорость в системе  Теперь мы применим

для этой цели первую из формул (12.3), после подстановки        в которую,

пол у чим:

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видим, полученный результат находится                                       в согласии с принципом п                                                 о-

стоянства скорости света. Этого и следовало ожидать, так как формулы (12.3)

 

 

99

релятивистского преобразования скоростей были получены на основе преобр а- зов а ний Лоренца (11.4).

§  2. Релятивистская динамика

Законы релятивистской механик и должны выглядеть одинаково во всех

инерциальных системах отсчета, т.е. быть инвариантными относительно прео б-

разований Лоренца. Вид уравнений движения, которые в релятивистской мех а-

нике приходят на смену ньютоновским уравнениям (4.3), получил в 1906 году

не мецкий физик М. Планк.

Релятивистский импульс

В  классической механике, при v << c импульс тела равен:

 

 

.

В  релятивистской механике, которая описывает движения тел со скорост я- ми, близкими к скорости света,

 

 

.                                       (12.4)

 

 

 

 

 

Выражение для релятивистского импульса отличается от классического

множителем .

Уравнение движения в релятивистской механике такое же, как и в кла с-

сической:

 

 

 

но                                                     (12.5)

 

 

 

 

 

Релятивистское выражение для энергии имеет следующий вид:

 

 

 

(12.6)

 

 

 

 

 

Энергия покоя

При скорости материальной точки v = 0 из (12.6) получим, что:

 

 

–  энергия покоя.                     (12.7)

 

 

100

 Кинетическая энергия (энергия движения)

Так как кинетическая энергия должна обращаться в ноль при v = 0, то из

(12.6) и (12.7) для нее следует:

.                            (12.8)

 

 

 

 

 

Можно показать, используя разложение  в ряд Маклорена, что из (12.8)

 

при v << c следует, что

 

 

 

 

 

т.е.    совпадает с выражением (5.8) для кинетической энергии в механике

Ньютона.

Формул у (12.8) можно записать в следующем виде:

.                              (12.8а)

Как видно из этой формулы, энергия частицы                                      W состоит из ее энергии п                                                  о-

коя                и кинетической энергии, поэтому в теории относительности W

называют полной энергией                                                                    материальной точки. При этом в термин                                                                   полная

энергия вкладывается, по сравнению с классической механикой, другой смысл

(там, в соответствии с (6.8) это была сумма кинетической и потенциальной

энергии).

Релятивистский инвариант

Из (12.6) и (12.4) следует, что

 

 

 

.                                      (12.9) Так как справа от знака равенства в (12.9) стоят величины, не зависящие от

выбора системы отсчета, то соотношение (12.9) между энергией и импульсом

будет и                                                                                                       меть один и тот же вид в любой системе отчета. Иначе говоря, оно                                инв а-

риантно                                                                                   относительно выбора системы отсчета, т.е. является                                                релятивистским

инвариантом. Подчеркнем, что инвариантной величиной является и масса тела

m. Иными словами, масса тела m не зависит от его полной релятивистской

энергии W. При изменении W в (12.9) меняется также и р – импульс тела, их

комбинация (12.9) остается неизменной. При р                                          = 0 мы получаем из (12.9) фо                                  р-

мулу (12.7):

.                                               (12.7а)

Таким образом                , масса тела                                     m пропорциональна его энергии покоя                                            W

0. Это

утверждение носит название                                                                   закона взаимосвязи массы тела и его энергии п                                                окоя.

101

 Энергия системы частиц. Взаимосвязь массы и энергии

Сложные тела можно рассматривать как сис тему частиц. Обозначим бу к-

вой М                                 массу сложного тела – нашей системы из N частиц. Тогда по закону

взаим                         освязи массы тела М с его энергией покоя (12.7а) имеем:

 

 

.                                             (12.10)

W                            х двух частей: суммы                                         полных релятивистских эне р-

0  в (12.10) состоит и

гий (12.8а) частиц, из которых состоит сложное тело, и суммы потенциальных

энергий взаимодействия этих ча стиц (см. (6.9)), т.е.:

 

 

 

 

.            (12.11)

 

 

 

 

Тело не будет распадаться на с оставляющие его частицы, если сумма к и-

нетических энергий частиц с потенциальной энергией будет отрицательна. Это

условие выглядит следующим образом:

 

 

 

 

.                    (12.12)

 

 

 

 

В  этом случае абсолютное значение величины энерг ии в левой части

(12.12) называют энергией связи системы частиц. Энергию связи Wсв можно

истолковать как работу, которую необходимо затратить, чтобы удалить част и-

цы сложного тела на расстояние, где их притяжением друг к другу можно пр е-

небречь.

Обозначим                             энергию связи через Wсв , тогда:

 

 

 

 

 

.                                 (12.13)

 

 

 

 

С  учетом сказанного, для связанной системы частиц из (12.11), (12.12) и

(12.13) имеем для энергии покоя сложного тела:

 

 

 

.                               (12.14)

 

 

 

 

 

 

102

Используя закон взаимосвязи массы тела М                               с его энергией покоя                                                          W

0

(12.10) и полученное нами выражение для энергии покоя (12.14), получим фо р-

мулу для массы М сложного тела:

 

 

.                                   (12.15)

 

 

 

Формула (12.15) означает, что масса М                           сложного тела будет                                                         меньше                       су м-

мы масс частиц, образующих это связанное сложное тело, т.е.:

 

 

 

.

 

 

 

Разница m между суммой масс частиц и массой сложного тела называе т-

ся дефектом масс:

.                                       (12.16) Предсказание релятивистской механики, выраженное формулами (12.15) и

(12.16), получило весомое экспериментальное подтверждение в ядерной физ и-

ке. У атомных ядер на опыте обнаружен дефект масс и соответ ствующая ему,

как следует из (12.15) и (12.16), энергия связи:

.                                        12.17) При соединении нуклонов (протонов и нейтронов) в атомное ядро, за счет

работы сил ядерного притяжения нуклонов, выделяется колоссальная энергия,

равная энергии связи. Величина этой энергии в расчете на один нуклон пр и-

мерно в миллион раз больше энергии, выделяющейся в элементарном акте г о-

рения. Например, в термоядерной реакции соединения двух ядер дейтерия в я д-

ро гелия выделяет                                                                                           ся 24 миллиона электронвольт энергии, а при соединении о                                д-

ного атома углерода с молекулой кислорода (сгорание угля)                    – лишь 5 электро                                                                                н-

вольт

(1 электронвольт = 1,6  10-19 Дж).

 

 

 

 

 

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 12

1  Формулы релятивистского преобразования скоростей (12.1) н аходятся в согласии с принципом постоянства скорости света.

2.  Законы релятивистской динамики инвариантны относительно преобр                    а- зований Лоренца (11.4).

3.  Уравнение движения материальной точки в релятивистской механике

(12.5):

 

 

 

103

4.   Реля тивистское выражение для энергии (12.6):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  В соответствии с теорией относительности, покоящееся тело (                                  v=0) обла- дает энергией покоя (12.7):

 

 

 

 

6.  Релятивистское выражение для кинетической энергии (12.8):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.  Релятивистский инвариант (12.9):

–  не зависит от выбора системы отсчета.

8  Масса М сложного связанного тела, состоящего из   N притягивающихся частиц (12.5), меньше суммы масс частиц, образующих это тело:

 

 

 

,

 

 

 

где W св                                                                                                         – энергия связи системы частиц, т.е. работа, которую необходимо з                          а-

тратить, чтобы удалить частицы сложного тела на расстояние, где их притяж е-

нием друг к другу можно пренебречь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

104

 НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

ЛЕКЦИЯ № 13

Что тако е силы инерции.