Силы инерции при поступательном движении. Центробежная сила инерции. Сила Кориолиса

§  1. Что такое силы инерции

Законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета

(см. лекцию 4, § 2). Неинерциальными являются системы отсче та, которые

движутся ускоренно относительно неинерциальных. Например, система отсч е-

та, связанная с Землей, является неинерциальной из                                    -за вращения нашей план                                                             е-

ты вокруг собственной оси и поступательного движения по эллипсу вокруг

Солнца. Правда, этой неинерц                                                                       иальностью в первом приближении можно пр                                                                     е-

небречь, но при более точных расчетах ее необходимо учитывать. Учет этот

можно сделать, если проводить расчеты в инерциальной системе отсчета (н а-

пример, связанной с Солнцем – гелиоцентрической), либо добавить во вто рой

закон Ньютона так называемые силы инерции и рассчитать движение тела в

неинерциальной системе отсчета.

Силы инерции не являются силами взаимодействия                           рассматриваемого т         е-

ла с какими -либо другими телами, а добавляются во второй закон Ньютона для

учета ус коренного движения неинерциальной системы отсчета. Поэтому их, в

отличие от истинных сил, называют фиктивными силами. Поэтому понятно,

что силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона.

Обозначим через , как и в предыдущих лекц иях, ускорение материальной

точки в инерциальной                         системе отчета,  – ее ускорение в          неинерциальной                      си с-

теме отсчета и  – разность ускорений материальной точки по отношению к

инерциальной и неинерциальной системам отсчета

 

 

(13.1)

Умножим это равенство на массу материальной точки m:

 

 

(13.2)

 

 

По второму закону Ньютона (4.4), произведение  равно  – векторной

сумме всех истинных сил, действующих на тело, т.е.:

,

тогда из (13.2) получим:

.                                             (13.3)

 

 

 

105

Выразим из (13.3) прои                                                                         зведение массы материальной точки на ее ускор                                                 е-

ние  в неинерциальной системе отсчета:

(13.4) Введем величину:

(13.5)

и  назовем ее суммой сил инерции. Как видно, сумма сил инерции просто равна

по величине и противоположна по направлению произведению массы тела на

–  разность ускорений материальной точки по отношению к инерциальной и

неинерциальной системам отсчета.

С  учетом (13.5) выражение (13.4) будет иметь вид второго закона Ньютона,

записанного в неинерциальной системе отсчета:

 

 

(13.6)

В  отличие от второго закона Ньют она (4.4), в правую часть которого вхо-

дят только истинные силы (т.е. силы, подчиняющиеся третьему закону Ньют о-

на), в правой части выражения (13.6) находятся и фиктивные силы, или силы

инерции .

 

 

 

 

§  2. Силы инерции при поступательном

Движении системы отсчет а

Напомним, что                        поступательным называется такое движение, при котором

любая линия, проведенная в теле, остается при его движении параллельной с а-

 

мой себе. Применительно к движущейся неинерциальной системе отсчета К

это означает, что оси ее системы координа т сохраняют при движении свое н а-

правление относительно осей координат инерциальной системы отсчета К .

Иными словами, ускорение , входящее в формулу (13.1), является велич и-

ной, не зависящей от положения                                                 материальной точки, и представл                                яет собой                                  ус-

кор е ние неинерциальной системы отсчета                                       относительно инерциальной                                           .

В   этом случае действующие на материальную точку силы инерции

,  в соответствии с (13.5), также будут одинаковыми в любом месте не-

инерциальной системы отчета и не будут зависеть от скорости частицы:

 

 

(13.7)

Отметим, что если неинерциальная система отсчета движется поступ а-

тельно, но                                              по криволинейной траектории , то ее ускорен ие можно разложить на

две составляющие: нормальное    и тангенциальное   (см. лекцию 3, § 1).

Со ответственно этому можно ввести две составляющие силы инерции:

106

.                           (13.8)

Рассмотрим пример, когда неинерциальная система отсчета К движется

прямолинейно с ускорением  относительно инерциальной. Выберем сист е-

мы координат так, чтобы оси х и х были направлены вдоль ускорения

(рис. 13.1).

Из рис. 13.1 очевидно, что:

 

 

 

 

.                                          (13.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 13.1

Продифференцировав равенства (13.9) дважды по времени, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

107

или, по (2.9а):

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

Последнее равенство можно переписать в векторном виде:

(13.10)

Пусть, например, материальная точка                             покоится в системе К , тогда ее к                                          о-

ординаты                                        x, y, z постоянны, значит, е е ускорение в системе К :

.

Тогда из (13.10) следует, что в этом случае:

 

 

 

,

т.е. для наблюдателя в системе К рассматриваемая материальная точка дв и-

жется с ускорением    направленным в сторону                                      , противоположную ускор е-

нию самой системы К . Скажем, Вы сидите в троллейбусе и смотрите из окна

на л е жащий на земле камень. Троллейбус трогается от остановки с ускорением

. В Вашей системе отсчета камень будет двигаться с ускорением     на-

правленным противоположно ускорению троллейбуса . Желая применить

второй закон Ньютона в системе, связанной с троллейбусом, Вы запишите

уравнение:

 

 

 

 

и  будете объяснять ускорение камня (в Вашей системе К!) действием фикти в- ной силы:

.

Теперь разберем другой пример с тем же троллейбусом. Пусть Вы стоите

в  пустом проходе троллейбуса, троллейбус трогается от остановки и начинает

двигаться с ускорением    Вы чувствуете      , что                  на Вас действует                           сила

направленная в сторону, противоположную ускорению троллейб у-

са. И, хотя эта сила фиктивная и не подчиняется третьему закону Ньютона

(нельзя указать тело, являющееся источником этой сил ы!), под действием этой

 

 

108

силы верхняя часть Вашего тела приобретет ускорение   (ноги удерживает

сила трения!), и Вы вполне реально начинаете падать (относительно троллейб у-

са). С точки зрения Вашего друга, наблюдавшего эту же ситуацию с остановки

(в инерциальной системе К ), на Вашу голову не действуют никакие силы, и

она, по первому закону Ньютона, остается      в покое                     относительно системы                                                   К    (о с-

тановки). А вот троллейбус уезжает от Вас вперед с ускорением. Ноги за счет

силы трения приобретаю                    т ускорение                                   а голова пока в покое, и Вы начина    ете

падать!

 

 

 

§  3. Центробежная сила инерции

Пусть Ваш троллейбус делает поворот по дуге радиуса                     R. И Вы опять чу                                                                                 в-

ствуете на себе действие силы инерции, которая тянет Вас от        центра окруж но-

сти, по которой движется сейчас троллейбус. Эта сила инерции называется це н-

тробежной силой инерции. Понять ее происхождение несложно. Введем опять

 

две системы координат: инерциальную К                             и неинерциальную К . Оси                                                               z этих

систем пусть совпадают и направлены и з центра окружности, по которой дв и-

жется троллейбус, вверх.

 

Оси x и y неподвижны относительно земли, а оси x и y поворачиваются

вместе с троллейбусом Т (см. рис. 13.2). Причем угол поворота  равномерно

увеличивается с течением времени                         z с угловой скорос тью :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 13.2

Систему К                                                          будем считать инерциальной, а систему К                                                                                                        – неинерциальной.

 

 

 

 

109

Материальная точка (Ваше тело) в системе К                                     движется по окружности р                                            а-

 

диусом                          R с ускорением                   , направленным к центру этой         окружности. Это уск                                        о-

рение определяется, в соответствии формулой (7.7):

 

 

.                                              (13.11)

 

 

Вектор  на рис. 13.2 направлен             от центра окружности к материальной

точке, ускорение направлено против вектора .

В  инерциальной системе                                                                        К, связанной с землей, причиной ускорения явл                                                            я-

ется сила , с которой Вы тянете или толкаете себя, держась за какую -либо

часть троллейбус а, к центру окружности. (Если Вам повезло и Вы сидите, то на

Вас такая же сила действует со стороны кресла троллейбуса.)

По второму закону Ньютона, в инерциальной системе К :

 

 

 

.

С  учетом (13.11) отсюда имеем:

 

 

.                                             (13.12)

В  неинерциальной системе К Вы покоитесь, Ваше ускорение .

Желая применить второй закон Ньютона в этой системе отсчета, Вы, чтобы п о-

лучить нулевое ускорение  должны записать:

 

 

 

 

 

 

так как      , то предыдущее уравнение переходит в следующее:

 

 

(13.13)

т.е. в системе К сумма сил должна б ыть равна нулю.

В  уравнении (13.13) – реальная сила, – сила инерции. С учетом

(13.12) из (13.13) для силы инерции            имеем:

 

 

.                                         (13.14)

Эту силу инерции называют центробежной силой инерции, так как она н а-

правлена от центра окружности (по вектору , как следует из формулы (13.14)

и  из личного опыта каждого пассажира).

Центробежная сила инерции             не зависит                              от то го, покоится ли тело в сист    е-

 

ме К или движется относительно нее с какой -то скоростью  (скорость не

 

110

входит в формулу (13.14)). При точных расчетах поведения тел в системе о т-

счета, связанной с Землей, нужно учитывать центробежную силу инерции. Эта

сила максимальна на экваторе, где   R =                                                  Rз = 6,38 106 м. Угловая скорость вр              а-

щения Земли вокруг своей оси может быть найдена по формуле (7.9), куда в к а-

честве периода Т з надо подставить количество секунд в сутках:

Т з = 60 60 24 = 86400 с.

С  учетом этого имеем:

 

 

.

 

 

 

На тело массой m                                                                             = 1 кг на экваторе с учетом приведенных значений                                         Rz и

z действует, в соответствии с (13.14), центробежная сила инерции:

 

 

 

,

 

 

что составляет 1/291 часть от силы тяжести, ра вной 9,81 Н. Сила тяжести

является равнодействующей гравитационной силы , направленной к центру

Земли и центробежной силы инерции        , направленной перпендикулярно

оси вращения Земли. В рез                                                                    ультате этого направление силы тяжести                                                                     не со в-

падает с направлением к центру Земли (за исключением экватора и полюсов).

Величина ускорения свободного падения зависит от широты: на экваторе м и-

нимальна гравитационная сила (из           -за сплюсн                              утости Земли с полюсов) и макс                        и-

мальна центробежная, в результате там значение g минимально и равно

gэкв = 9,780 м/с     2. На полюсах                                 g максимально и равно g пол = 9,832 м/с      2.

§  4. Сила Кориолиса

При движении тела во вращающейся системе отсчета, кроме центробе ж-

ной силы инерции, возникает еще одна, которую называют силой Кориолиса,

или к ориолисовой силой. Величина этой силы определяется формулой:

,                                          (13.15)

здесь m – масса тела;

–  вектор скорости тела относительно вращающейся (неинерциальной)

KKKKKKKKKK. с темы отсчета;

–  вектор угловой скорости вращения неинерциальной системы о тсчета.

Рассмотрим, как и в предыдущем параграфе, две системы отсчета К и К , оси

z и z к оторых совпадают с осью вращения системы К                относительно К . Пусть

 

тело массой m неподвижно относительно инерциальной системы          от счета К .

 

 

111

Тогда относительно системы К                                                                оно будет двигаться по окружности радиуса                                                              R с

линейной скоростью, которую можно найти с по мощью формулы (7.4), если

поставить там знак «минус»:

.                                            (13.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 13.3

Эта ситуация изображена на рис. 13.3. Как мы знаем из предыдущего пар а-

графа, на тело массой m во вращающейся систе              ме отсчета К , независимо от

KKKKKKKKKK. стояния его движени,я действует центробежная сила инерции, направленная,

в  соответствии с формулой (13.14),                                                              от центра окружности, по которой движе  т-

ся тело:

.

Но для движения по окружности необходима сил                    а, направленная к                                                                           центру

этой окружности. Значит, кроме центробежной силы инерции, на наше тело

должна в системе К                                                                                действовать еще одна сила, направленная, в нашем сл                                                       учае,

против центробежной. Векторная сумма этих сил должна обеспечить центрос т-

ремительное ускорение этому телу:

 

 

.                                      (13.17) Этой второй фиктивной силой в нашей системе отсчета и является сила

Кориолиса . Действительно, в соответствии с (13.15),  направлена (в соо т-

ветствии с правилом правого винта)          к центру                            окружности. Ее модуль, с уч                                  етом

(13.16) и (13.15), равен:

.

 

 

112

Вычитая из силы Кориолиса центробежную, равную m                       2R, получим ра                                                                              в-

нодействующую, направленную         к центру окруж ности и равную:

 

 

.

В  векторном виде:

.                                           (13.18)

Если мы желаем применить второй закон Ньютона в неинерциальной си с-

теме отсчета, то мы должны сумму всех сил, включая и фик тивные, приравнять

к  массе тела, умноженной на его ускорение          . Так как тело покоилось в

системе К                                            , то сумма реальных сил , тогда:

 

 

.                                               13.19)

Под ставляя (13.17) и (13.18) в (13.19), видим, что  - векторная сумма с и-

лы Кориолиса и центробежной силы сообщают телу центростремительное у с-

корение. Действительно:

.

Вывод формулы (13.15) достаточно сложен, и мы                               его не приводим. Раз                                                       о-

бранный пример прост и убедительно показывает правильность формулы

(13.15).

Сила Кориолиса играет исключительно важную роль при движении бол ь-

ших потоков океанических вод и атмосферного воздуха на нашей планете. Силу

Кориолиса должны уч                                                                                    итывать артиллеристы и ракетчики при стрельбе на дал                                           ь-

ние расстояния. Эта же сила приводит к тому, что у рек в северном пол ушарии

подмывается всегда правый берег (например, крутые правые берега у Оби),

в  южном – левый.

 

 

 

 

 

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 13

1.  Для использов ания второго закона Ньютона в неинерциальных системах

отсчета надо, кроме истинных сил, учитывать фиктивные силы или силы ине р-

ции. 

2.  Силы инерции не являются силами взаимодействия, поэтому не подч                 и- няются третьему закону Ньютона.

3.  Суммарная сила инерции                    , действующая на тело массой m в неине    р-

циальной системе отсчета, равна по величине и противоположна по направл е-

нию произведению массы тела на  разность ускорений материальной точки

по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсч ета, т.е.

п  (13.5):

 

 

113

,

где  определяется в соответствии с (13.1):

 

 

 

 

 

4.  При поступательном движении неинерциальной системы отсчета отн        о-

сительно инерциальной сил                            ы инерции                          одинаковы в любом месте н                 е-

инерциальной системы и не зависят от скорости движения частицы, их велич и-

на опред еляется формулой (13.7):

,

 

 

где  – ускорение неинерциальной системы от                                         счета относительно инерциал                                   ь-

ной. 

5.  Во вращающейся системе отсчета действуют центробежные силы ине            р- ции и силы Кориолиса.

6.  Величина центробежной силы инерции                                                                  не зависит от скорости час- тицы и определяется формулой (13.14):

,

где  - угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета относ и-

тельно инерциальной;

R – расстояние от материально точки массой m до оси вращения.

7.  Сила Кориолиса  действует на частицу массой m, движущуюся со

скоростью  относительно неинерциальной системы отсчета, вращающейся со

KKKKKKKKKK. о ростью  (см. (13.15)):

.

Направление силы Кориолиса перпендикулярно векторам  и  и опр е-

деляется по правилу правого винта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебное издание

 

 

 

 

 

114

Тюшев Александр Николаевич

Вылегжанина Вера Дмитриевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО ФИЗИКЕ

Часть 1

 

 

Механика

 

 

Пособие для студентов 1 и 2 курсов

 

 

 

 

Ответственный редактор: Серегин Г.В. 

Редакторы: Деханова Е.К.

Шилова Л.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изд. лиц. № ЛР 020461 от 04.03.1997.

Подписано в печать 30.04.03. Формат 60 84 1/16 

Печать цифровая

Усл. печ. л. 6.68. Уч. -изд. л. 6.85. Тираж 100

Заказ                                    Цена д оговорная

Гигиеническое заключение

№  54.НК.05.953.П.000147.12.02. от 10.12.2002.