Закон сохранения импульса. Работа и мощность.

Кинетическая энергия

 

 

 

§  1. Роль законов сохранения в механике.

Определения необходимых терминов

В   пред ыдущих лекциях мы выяснили, что основная задача механики,

в принципе, может быть решена на основе законов Ньютона, если известны н а-

чальное состояние рассматриваемой системы и силы взаимодействия между т е-

лами (матер                                                               иальными точками) этой системы. Точнее   – можно на основе                                II и III

законов Ньютона записать систему дифференциальных уравнений, описыва ю-

щих движение всех материальных точек нашей системы. Получить же завис и-

мости положений материальных точек от времени    обычно, за исключен и-

ем очень простых случаев, можно, только применяя вычислительную технику.

Но, повторим,              в принципе,                                                           основная задача механики решается на основе зак                                                      о-

нов Ньютона.

Однако, оказывается, что из законов Ньютона можно еще получить и зак о-

ны сохранения.                     В механике изв естны три закона сохранения: закон сохранения

импульса (его мы рассмотрим в этой лекции), закон сохранения полной мех а-

нич е ской энергии (лекция 6) и закон сохранения момента импульса (лекция 9).

Какова же роль этих законов в механике? Разумеется, если мы в               состоянии р е-

шить о сновную задачу механики для нашей системы, то законы сохранения не

дадут нам никакой дополнительной информации об этой системе. Но, тем не менее, законы сохранения являются мощным средством решения физических

задач. Дело в том, что законы                                                                        сохранения не зависят от вида траектории и х                                                                 а-

рактера действующих сил. Они могут быть использованы даже в тех случаях,

когда силы неизвестны. В ряде задач, когда не требуется знать траектории тел,

а  необходимо лишь связать начальное состояние системы с ко нечным, приме-

нение законов сохранения кра тчайшим путем приводит нас к цели.

Оказывается, что законы сохранения импульса, энергии и момента и м-

пульса обладают гораздо большей общностью, чем законы Ньютона. Эти три

закона с                                                             охранения связаны с общими свойства          ми пространства и времени.

В  основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т.е.

одинаковость его свойств во всех точках. Закон сохранения энергии вытекает

из однородности времени                                                                              , т.е. равнозначности всех моментов времени и нез                                              а-

висимо сти законов природы от времени. Закон сохранения момента импульса

является следствием изотропности пространства, т.е. одинаковости его свойств

по всем направлениям.

 

 

 

 

42

 Теперь сформулируем определения терминов, необходимых при рассмо т-

рении законов сохранения.

 

 

 

Механическая система - это совокупность тел, выделенных нами для

рассмотрения.

Внутренние и внешние силы

 

 

 

 

 

1                  2 торыми взаимодействуют тела системы              Внутренние силы            – это силы, с к  о-

ме ж ду собой.

Внешние силы действуют со стор о-

Вне ш-     ны тел, не входящих в систему. На  

 

 

 

Система           тел                          3             тема обведена пунктирной линией. Вне системы нах                          рис. 5.1 выделенная механическая си одится одно внешнее тело.                           с-

На тела выд еленной системы действуют

Рис. 5.1                            как внутренние                                ,

так и внешние с                   илы .

 

 

Замкнутая система

Замкнутая система – это система, на которую внешние силы не действуют.

 

 

 

 

 

 

 

1                                        2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

Рис. 5.2

На рис. 5.2 изображена замкнутая система, между телами которой дейс т-

вуют только внутренние силы.

Импульс системы материальных точек -                                       это векторная сумма импул                         ь-

сов всех материальных точек, входящих в систему:

 

 

 

43

.                                       (5.1)

 

 

 

Рис. 5.3 иллюстрирует формулу (5.1), являющуюся определением импул ь-

KKKKKKKKKK. системы материальных точек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.3

Взаимодействие материальных точек системы приводит к изменению и м-

пульсов каждой из них. Но при определенных условиях импульс системы мат е-

риал ьных точек не изменяется с течением времени, сохраняется.

 

 

 

Закон сохранения импульса

Выясним те условия, при которых полный импульс системы материал ь-

ных т очек сохраняется. Для этого запишем второй закон Ньютона (4.3) для

каждого из тел рассматриваемой системы (см. рис. 5.1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложим эти уравнения, при этом учтем трети й закон Ньютона, согласно

которому                                              . В результате слева получим прои з-

 

 

 

 

 

44

 водную по времени от полного импульса нашей системы, а справа – векторную сумму всех внешних сил, действующих на нашу систему материальных точек:

 

 

 

.                                (5.2)

Как известно из математики, необходимым и достаточным условием п о-

стоянства во времени некоторой величины является равенство нулю ее прои з-

водной по времени.

Из полученного выше равенства (5.2) следует, что для это                го сумма вне                                                                                           ш-

них сил должна быть тождественно равна нулю, т.е.:

 

 

.

Теперь мы можем сформулировать                                              закон сохранения импульса                                   :                                            если

векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему материальных

точек, равна нулю, то полный импул ьс такой системы сохраняется, т.е. не

изм е няется с течением времени.

Рассмотренная нами система состояла из трех материальных точек. Поня т-

но, аналогичные результаты получатся для системы из N материальных точек.

Сумма внешних сил может быть равна нулю в дв                                ух случаях. В первом сл                                                          у-

чае, когда внешние силы отсутствуют. Такая система называется замкнутой

(см. рис. 5.2).                                                                             Значит, импульс замкнутой системы сохраняется                                                               .

Во втором случае внешние силы могут присутствовать, но в сумме д а-

вать ноль , их действие на систем у будет скомпенсированным. В этом случае

импульс системы тоже сохраняется.

 

 

Импульс системы             – величина векторная. Если импульс сохран я-

ется, не изменяется с течением времени, то должны быть постоянны все три его

комп оненты, т.е.: если                                                                     .

Но 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что возможны ситуации, когда полный импульс системы

не сохраняется, но при этом могут сохраняться отдельные его компоненты.

 

 

 

 

 

 

45

Например, если               то p = const, при этом во з можно, что

x

 

 

 

и py const;             и   py const.

 

 

 

 

 

 

 

§3 . Работа и мощность. Работа постоянной силы

Работой силы называют меру действия силы, зависящую от ее модуля и

направления и от перемещения точки приложения сил ы. 

Работа постоянной силы по определению                                         равна скалярному произвед      е-

нию силы на перемещение    . Это определение работы проиллюстрировано

на рис. 5.4 и записано в виде формулы (5.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.4

 

 

.                                    (5.3) Из формулы (5.3) следует, что в зависимости от направления силы работа

мо жет быть положительной (если cos > 0), отрицательной (если cos < 0) 

и  равной нулю (если cos = 0 при = 90 ). Физический смысл понятия «раб о-

та» в механике Ньютона выясняется при введении понятий кинетической и п о-

тенциальной эне ргии материальной точки.

Элементарная работа

В  случае, если сила не является постоянной, формулу (5.3) можно испол ь-

зовать для нахождения элементарной работы, сов                                       ершаемой при бесконечно м                                                      а-

лом перемещении , так как при этом силу можно считать постоянной. Рис.

5.5 иллюстрирует формулу (5.4) для элементарной работы                        dA. Величина                                                                                               -

 

 

 

 

 

 

 

 

46

проекция силы  на н аправление п                   еремещения  (рис. 5.5).

Рис. 5.5

 

 

.                      (5.4)

 

 

 

 

Работа переменной силы

Допустим, мы хотим найти работу, совершаемую гравитационной силой

Земли над еѐ искусственным спутником, который движется по эллиптической

орбите (рис.                                                                                                    5.6). В этом случае переменными являются и модуль силы                                        F, 

и  угол , задающий еѐ направление относительно бесконечно малого переме-

щения . Разобьем интересующий нас отрезок траектории от                точки 1 до то             ч-

ки 2 на бесконечно малые участки длиной ds                              . Элементарную работу                                                     dA на ка                       ж-

дом таком участке можно найти по фо р-

муле (5.4). Полная работа равна сумме

бесконечного числа бесконечно малых

элементарных работ                            dA. Как мы уже зн                   а-

ем, такая сумма называ ется определенным

интегр алом. 

Таким образом, работа переменной

силы находится как определенный инт е-

грал от элемента рной работы (5.3).

 

 

 

 

.    (5.5)

 

 

Рис. 5.6                        Единица измерения работы – джоуль:

.

Мощность N -                                                  это скорость совершения работы , т.е. отношение работы

dA к промежутку времени                           dt, за который она с овершена:

 

 

 

.                                       (5.6)

 

 

Используя (4.3) и (2.1), получим:

 

 

 

,                            (5.6а)

 

здесь v – скорость материальной точки, к которой приложена сила .

 

 

 

 

47

 Единица мощности

 

 

 

 

 

§ 4. Кинетическая энергия

Теперь выясним, как изменяется

состояние движения материальной то ч-

ки при совершении над ней работы. Для

этого мы используем совместно опред е-

ления работы (5.4), (5.5) и второй закон

Ньют она.  

Применим второй закон Ньютона

(см. (4.4) и (2.7)) для материальной то ч-

ки m, движущейся под действием ра в-

Рис. 5.7                                               нодейс твующей силы  (рис. 5.7):

 

 

 

.                                                      (5.7)

Помножим (5.7) скалярно: слева на , справа на

 

 

 

 

 

 

В  результате получим:

.

Преобразуем левую часть:

 

 

 

 

 

 

 

в  правой части, в соответствии с (5.4), запишем dA. В результате этих преобра- зований получим:

.                                          (5.8) Половина произведения массы частицы материальной точки на квадрат ее

KKKKKKKKKK. о рости названа ее кинетической энергией:

 

 

 

.                                   (5.9)

 

 

 

 

 

 

48

 Таким образом, элементарная работа, совершаемая                           над телом, равна эл                                                                 е-

ментарному приращению его кинетической энергии. При интегрировании фо р-

мулы (5.8) вдоль траектории частицы, от точки 1 до точки 2 (рис. 5.7), мы пол у-

чим: 

,

 

 

 

 

где слева стоит интеграл от дифференциала, справа                                    – (см. (5.5)). После и                                                                   н-

тегрирования имеем:

 

 

.                                                                                                           (5.10) Используя обозначение (5.9) для кинетической энергии, формулу (5.10)

можно записать так:

.                                    (5.11) Применив второй закон Ньютона и определение работы, мы получили, что

работа равнодействующей силы идет на приращение кинетической энергии

матер иальной точки (5.10).

Это утверждение носит название теоремы о кинетической энергии.

 

 

 

 

 

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 5

1.  Импульс системы материальных точек – это векторная сумма импульсов

всех материальных точек, входящих в систему (5.1):

 

 

 

 

 

 

 

2.  Система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы.

3.  Импульс системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени,

если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна н улю.

В  частности, сохраняется импульс замкнутой системы.

4.  Работа постоянной силы равна скалярному произведению векторов силы

и  пере мещения (5.3):

 

 

 

 

5.  Работа переменной силы (5.5) находится как определенный интеграл от

элементарной работы (5.4):

 

 

 

 

49

 .

 

 

 

 

 

6.  Мощность – это скорость совершения работы (5.5):

 

 

 

.

 

 

 

7.   Кинетической энергией (5.9) называют половину произведения

массы частицы m на квадрат ее скорости:

 

 

 

 

 

 

 

8.  Теорема о кинетической энергии ((5.10) и (5.11)) утверждает, что работа

равнодействующей силы идет на приращение    кинет           ической энергии (5.9):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

 ЛЕКЦИЯ № 6