Уравнение динамики вращательного движения

Момент импульса

Закон сохранения момента импульса

§  1. Уравнение динамики вращательного движения

Как отмечено в лекции № 7, § 5, для решения основной задачи механики

вращатель                                                                                                       ного движения тела с закрепленной осью необходимо знать завис                                      и-

мость углового ускорения  от времени. Эта зависимость находится из уравн е-

ния динамики вращательного движения, которое аналогично второму закону

Ньютона (4.4) в динамике материальной точки. Как                                    мы выяснили в § 1, 2 пр                                                               е-

дыдущей лекции мерой внешнего воздействия при вращательном движении,

аналогом силы F, является момент силы     относительно оси вращения Z;

аналогом массы, мерой инертности при вращательном движении, является м о-

мент инерции  относительно оси Z. Роль ускорения играет угловое ускор е-

ние . По анал огии со вторым законом Ньютона можно сконструировать из

,   , уравнение динам ики вращательного движения: 

 

 

 

 

 

 

Так как мы рассматриваем вращение вокруг закрепленной оси          z, то ура в-

нение динамики вращательного движения записано, в отличие от второго зак о-

на Нь ютона, не в векторном виде, а в скалярном. Можно строго доказать, что из

второго з                                                                                                         акона Ньютона следует уравнение динамики вращательного движ                      е-

ния, т.е. стрелочка, связывающая две предыдущие формулы обозначает слово

«следует».

Мы получим уравнение динамики вращательного движения, опираясь на

LLLLLLLLLL. о рему о кинетической энергии. Из (5.7) и (5.                                                                      8) имеем:

.

Работу                                                                            dA и приращение кинетической энергии                                                     выразим, в соо т-

ветствии с формулами (8.1) и (8.6), через величины, характеризующие вращ а-

тельное движ ение: 

.

 

 

 

Заменяя, в соответстви и с (7.1а),                  и выполняя дифференцир о-

вание в правой части, получим:

 

 

72

 .

Откуда

.                                                (9.1)

 

 

 

Наконец, используя определение углового ускорения (7.2), п олучим ос-

новное уравнение динамики вращательного движения:

.                                            (9.2)

 

 

Отметим, что формула (9.1) так же как и (9.2), является выражением ура в-

нения динамики вращательного движения твердого тела о                         тносительно закре                                                                                  п-

ленной оси.

§  2. Момент импульса

Запишем основной закон динамики вращательного движения в форме

(9.1), а затем занесем момент инерции  под знак производной по времени:

 

 

,

или 

.                                               (9.3)

 

 

 

Формула (9.3) эквивалентна формуле (9.1) при постоянном моменте ине р-

ции. Более общей является формула (9.3), она справедлива и в том случае, если

мо мент инерции тела изменяется с течением времени. Эта ситуация аналогична

соотношению между двумя формами записи основного закона динамики мат е-

риальной точки                                      – второго закона Ньютона – в виде (4.3а) и (4.4).

Введем понятие момента импульса    абсолютно твердого тела относ и-

тельно оси             вращения Z следующим определением:

 

 

.                                             (9.4) Можно показать, что для однородного симметричного тела, вращающегося

во круг оси симметрии, справедлива векторная формула:

 

 

.                                              (9.5)

 

 

Формула (9.5) утверждает, что вектор момента импульса  направлен так

же, как и вектор угловой скорости .

 

 

 

 

73

 Для несимметричных тел это утверждение справедливо, ес                  ли они вращаю                                                                              т-

ся вокруг одной из главных осей инерции.

С  учетом (9.4) формулу (9.3) можно записать в следующем виде:

 

 

 

.                                        (9.6)

 

 

Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения тела

вокруг неподвижной оси.

Понятие момента импульса используется не только для описания вращ е-

ния твердых тел, но и для более общего случая движения произвольной сист е-

мы материальных точек. В этом случае моментом импульса  системы ма-

териальных точек                                                 называется векторная сумма  моментов импульса мат                                          е-

риал ьных точек, входящих в систему:

 

 

 

.                                         (9.7)

 

 

 

Момент импульса материальной точки относительно пр оизвольной

точки О                                                                                                            пространства определяется как векторное произведение радиус             -

вектора  материальной точки, проведенного из точки О, на вектор импульса

этой матер иальной точки (см. рис. 9.1), т.е.:

 

 

 

.                                      (9.8)

На рис 9.1. материальная точка массы                                                   m движется по окружности радиуса                  r.

Начало координат выбрано в центре этой окружности,            поэтому радиус -

вектор                                                    материальной точки начинается                                    в це н-

тре окружности, по которой движется точка.

В   этом случае векторное произведение

и, следовательно, момент импульса направл е-

Рис. 9.1             ны перпендикулярно плоскости окружности, по

ко торой дви жется точка.

Опираясь на второй закон Ньютона в форме (4.3), можно показать, что з акон

изменения со временем момента импульса  системы имеет следующий вид:

 

 

 

,                                            (9.9)

 

 

 

здес ь  – суммарный момент       внешних сил. 

 

 

 

74

При сделанных выше оговорках относительно осей вращения, закон изм е-

нения момента импульса (9.9) применим и для описания вращения твердых тел.

§  3. Закон сохранения момента импульса

По (9.9) произво дная от момента импульса по времени равна суммарному

моменту внешних сил:

.

 

 

Если суммарный момент внешних сил  = 0, то:

 

 

 

 

 

следовательно,

 

 

Мы получили закон             сохранени            я момента импульса , который формулир           у-

ется так: момент импульса системы материальных точек остается постоя н-

ным, е сли суммарный момент внешних сил равен нулю .

Закон сохранения момента импульса можно применить к вращающемуся

телу.

Так как                 то величина     будет иметь одинаковые значения

для любых интересующих нас моментов времени, т.е.:

 

 

 

,

или  

.

Вращающееся тело может изменить свой момент инерции, изменится и его

угловая                                                                                                            скорость, но при равенстве нулю суммарного момента внешних сил в                            е-

личина    останется постоянной.

Пример – фигурист в «волчке», схематически изображенный на рис. 9.1,

илл ю стрирует применение закона сохранения момента импульса.

Фигурист                                                                                                 , раскинув руки в стороны, отталкивается ногой ото льда и нач                           и-

нает вращаться с угловой скоростью 1. При этом его момент инерции        I

1  за

счет отведенной в сторону ноги и раскинутых рук велик. Затем фигурист пр и-

жимает к туловищу руки и сводит вместе ноги, уме ньшая их расстояние до оси

вращения. П                                         оэтому его момент инерции        I I

2  становится заметно меньше, чем          1.

Так как трение об лед невелико, то можно считать, что момент импульса I о с-

тается постоянным, поэтому угловая скорость фигуриста 2 становится заме т-

но бол             ьше, чем 1.

 

 

 

75

Аналогичные приемы используют балерины, выполняя фуэте, акробаты и

гимнасты, делая сальто. Во всех этих случаях работает закон сохранения м о-

мента импульса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 9.2

 

 

 

 

§  4. Гироскопы

Гироскопом                                              называется быстро вращающ ееся массивное симметричное

тело, ось вращения которого (его ось симметрии) может изменять свое н а-

правл ение в пространстве.

У   гироскопов, применяемых в

технике, свободный поворот оси г и-

роскопа обеспечивают, закрепляя г и-

роскопы в рамках (кольцах) кардан о-

ва подвеса (рис. 9.3).

Такой гироскоп имеет три степ е-

ни свободы: он может совершать н е-

зависимые повороты вокруг трех

осей, пересекающихся в центре по д-

веса О.

 

 

 

Рис. 9.3                                         76

 Если центр тяжести гироскопа

совпадает с центром подвеса О, то

момент сил тяжести, действующих на

ги р о скоп, будет равен нулю.

Трение в подшипниках всех трех осей стараются сделать как можно мен ь-

ше, таким, чтобы моментом сил трения можно было пренебречь. С учетом эт о-

го, момент внешних сил     относительно центра гироскопа можно считать

равным нулю. Как было показано в § 3 на основе формулы (9.9), при этом усл о-

вии момент импульса гироскопа   не изменяется с течением времени . Для

симметричного тела, вращающегося вокруг оси симметрии, момент импульса, в

KKKKKKKKKK. ответствии с (9.5), равен:

.

Таким образом, направление вектора угловой скорости гироскопа  ост а-

ется неизменным с течением времени.

Это значит, что ось гироскопа сохраняет свое направление в мировом пр о-

странстве неизменным . Если эта ось при раскрутке гироскопа была направлена

на какую                                -нибудь звезду, то при                               любых перемещениях гироскопа она будет пр                                                         о-

до л жать указывать на эту звезду.

Удивительным, с точки зрения житейского здравого смысла, является п о-

ведение гироскопа при дейст вии на него момента внешних сил.

Пусть, как это изображено на рис. 9.4, ось гироскопа закреплена в точке О.

Сила тяжести             казалось бы, должна поворачивать гироскоп вниз, в о-

круг оси                                                                                    y. Опыт же показывает, что гироскоп будет двигаться                                                        не по направл е-

нию силы    , а перпендикулярно ей! Он будет вращаться относительно оси z

 

в  сторону оси y.

Этот результат согласуется с предсказанием закона изменения момента

импульса (9.9):

 

 

 

 

 

В  самом деле, момент си лы тяжести относительно точки О, в соответствии

с формулой (8.4), направлен по правилу правого винта вдоль оси y:

 

 

.

 

 

Бесконечно малое приращение момента импульса      в соответствии с

(9.9), будет направлено туда же :

.                                                (9.10)

 

 

 

 

 

 

77

На рис. 9.4 вектор начального момента импульса  изображен исход я-

щим из точки О. Вектор , изображающий момент импульса через промеж уток

времени dt, будет повернут относительно оси z в направлении оси y, так как

(рис. 9.4):

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 9.4

Это парадоксальное, на первый взгляд, предсказание закона изменения

момента импульса, как было уже сказано выше, согласуется с реальным пов е-

дением гироскопа. Такое движение гироскопа называется                      регулярной прецесс                                                                           ией.

Найдем угловую скорость прецессии пр . В соответствии с определением

(7.1):

.                                       (9.11)

 

 

 

Из рис. 9.                                4. радианная мера угла d будет равна:

 

 

 

 

.                                                                                                          (9.12) Из (9.10) и (9.12) следует, что

 

 

 

.                                                                                                          (9.13) Из (9.11) и (9.13) получим:

 

 

 

 

 

 

78

.                                    (9.14)

 

 

 

Подставляя              , где  - скорость вращения гироскопа, получим:

 

 

 

 

.                                 (9.15)

Формула (9.15)                                                                                        замечательна тем, что в соответствии с ней угловая ск                                                о-

рость прецессии     будет постоянной при действии на гироскоп момента

внешней силы. При исчезновении этого момента  также обращается в ноль.

Из (9.15) следует                                                                                     , что чем больше момент импульса гироскопа                                                                   , тем

меньше ск орость прецессии .

Отметим, что формула (9.15) справедлива при условии, что угловая ск о-

рость вращения гироскопа намного больше, чем скорость прецессии, т.е., если

.

В  заключение скажем, что в настоящее время разработаны и используются

гироскопы, работающие на других физических принципах. Это            волоконно -

оптические               гироскопы,          лазерные гироскопы, ядерные гироскопы.

 

 

 

 

 

ИТОГИ ИЗ ЛЕКЦИИ № 9

1.  Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

отн о сительно закрепленной оси имеет следующий вид (9.2):

 

 

.

2.  Моментом импульса                                абсолютно твердого тела относительно оси                                                         z

(9.4) называется произведение момента инерции  на угл                     овую скорость                                                                                 :

 

 

 

 

 

3.  Основное уравнение динамики вращательного движения можно зап             и-

сать в виде (9.6):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79

4.   Момент импульса материальной точки  относительно произвольной

точки О пространства равен векторному произведению радиус -вектора  на

импульс  (9.8):

 

 

 

 

 

5.   Момент имп ульса системы материальных точек равен векторной сумме моментов импульса материальных точек, входящих в систему (9.7):

 

 

 

 

 

 

6.  Закон изменения момента импульса системы со временем имеет сл        е- дующий вид (9.9):

 

 

 

 

 

 

здесь       – суммарный момент внешних сил.

7.  Закон сохранения момента импульса гласит:                                                            момент импульса системы

ма териальных точек остается постоянным, если суммарный момент внешних

сил равен нулю .

8.  Гироскопом называе тся быстро вращающееся массивное симметричное

тело, ось вращения которого (его ось симметрии) может изменять свое напра в-

ление в пространстве.

9.  Если центр тяжести гироскопа совпадает с центром подвеса, то ось г               и-

роскопа сохраняет свое направление в простра нстве неизменным.

10.  При действии на гироскоп момента внешних сил он совершает преце                     с-

сию (см. рис. 9.4) со скоростью определяемой формулой (9.15):

 

 

 

,

 

 

 

где    – модуль момента внешних сил, д ействующих на гироскоп;

I – м о мент инерции гироскопа;

–  угловая скорость его вращения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

80

МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

ЛЕКЦИЯ № 10