Общие свойства жидкостей и газов. Уравнение неразрывности.

Уравнение Бернулли

Движение жидкостей и газов весьма распространено в природе и техн ике.

Движутся воздух в земной атмосфере , вода в океанах, морях, озерах и реках,

нефть и газ в трубопроводах, кровь в кровеносных сосудах, питательные соки

в  капиллярах растений и т.д.

Изучению движения жидкосте                                                                й и газов посвящен специальный раздел м                                                            е-

ханики – механика жидкостей и газов.

§  1. Общие свойства жидкостей и газов

Общее отличие жидкостей и газов от твердых тел – это их способность

принимать форму сосуда, который они заполняют. Обусловлено это свойство

тем, что молекулы жидкости и газа легко перемещаются друг относительно

друга.

Общим свойством жидкостей является их очень малая сжимаемость. Н а-

пример                                                                                                                      , чтобы увеличить плотность воды на 1% при температуре 20                                                              0         C, необх о-

димо приложить давление р                                                                         = 2 107 Па (200 атм). При таком давлении выл                                                               е-

 

тающая струя воды будет иметь скорость v = 200 м/с.

Газы, в противоположность жидкостям, сжимаются очень легко, и для них

плотность пропорциональна давлению. Но плотность газа сама по себе мала, и

для приведения газа в дв                                                                           ижение достаточно очень малого изменения давл                                                ения

и, следовательно, плотности. Например, чтобы воздух двигался со скор остью

v = 10 м/с, достаточно изменить давление на 10 2 Па (0,002 атм). Плотность в

этих условиях изменится на 0,1%, и изменением плотности               можно прене                                                                                          бречь.

Опыт показывает, что жидкости и газы можно считать практически не

сжимаемыми, если скорости их движения меньше скорости звука. Поэтому для

описания жидкостей и газов во многих задачах их сжимаемостью можно пр е-

небречь и пользоваться моде лью (см. лекцию № 1, введение) несжимаемой

Жи д кости.

Характер движения жидкости может быть ламинарным и       турбулен тным.

При небольших скоростях жидкость течѐт, как бы разделѐнная на слои, кот орые

скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Такое тече   ние наз ывается

ламинарным. Течение, сопровождающееся образованием вихрей и перемеш и-

ванием слоѐв, называется турбулентным. Ламинарное течение может быть у с-

тановившимся (стационарным) и неустановившимся. Турбулентное течение

всегда неустановившееся.

 

 

 

 

 

 

81

Установи       вшимся (стационарным) течением называется такое течение, при

котором в каждой точке данного объема скорость частиц жидкости не измен я-

ется со временем.

При установившемся движении частицы движутся вдоль линий, сохр а-

няющих свое положение в пространстве неизм енным.

В  реальных жидкостях при перемещении слоев жидкости друг относ и-

тельно друга возникают силы внутреннего трения. Эти силы тормозят относ и-

тельное движение слоев. Однако, в ряде случаев силами трения можно прене б-

речь и пользоваться                                    моделью идеальной жид кости .

 

 

 

 

§  2. Линии и трубки тока. Уравнение неразрывности

Движение жидкости изображают с помощью линий тока.

Линии тока                                             – это линии, касательные к к                                       о-

v          v торым совпадают по направл ению с вектором

скорости частиц (рис. 10.1).

Линии тока не прерываются и не пе ресек а-

ются, их густота пропорциональна скорости т е-

чения жидкости.

v

 

 

 

 

 

Рис 10.1

Трубка тока – это часть потока жидкости, ограниченная линиями тока

(рис. 10.2).

 

S

1

S2

 

 

 

V1                                                                        V2

 

 

 

 

 

 

Рис. 10.2

При стационарном течении жидкости трубка тока со временем не измен я-

ется по ф орме, и частицы жидкости не проникают через боковую поверхность

трубок. Если жидкость идеальна, то в каждой трубке тока скорость п остоянна.

Если жидкость несжимаема, то через два различных сечения трубки тока про й-

дет одинаковый объем жидкости:            .

Объем жидкости, протекающий за время t через сечение S1 (рис. 10.2),

равен                    , где   v                                                                скорость течения жидкости в месте сечения   S

1  –                                                                                                                       1. 

 

 

 

 

82

Объем жидкости, протекающий за время t через сечение S2 (рис. 10.2),

равен                    , где v скорость течения жидкости в месте сечения S

2  –                                                                                                                               2.

Тогда:                     .

Для несжимаемой жидкости                                       уравнение неразрывности имеет вид:

.                                    (10.1)

Откуда следует, что                   , т .е. скорость течения жидкости в трубе

переменного сечения обратно пропорциональна площади поперечного сечения

трубы.

§  3. Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли устанавливает зависимость между скоростью стаци о-

нарн                                                                       ого течения идеальной несжимаемой жидкости                                                                и ее давлением.

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со

стор о ны жидкости на единицу площади, называется         давлением р жидкости.

 

 

 

,                  (10.1а)

 

 

где     – нормальная сила;

–  площадь пластины, помещенной в

жи д кость.

–  Единица давления                                           – па с каль. Рис 10.3

 

 

Выделим в стационарно текущей идеальной несжимаемой жидкости тру б-

ку тока. Рассмотрим стационарное течение жидкости, ограниченной трубкой

тока и перпенд                                                             икулярными к линиям тока сечениями    и                                                           (рис. 10.4).

l

 

 

 

 

S                                                                   l 2

1

P

1                                                 S

2

 

 

 

P

h1                                                                                                           2

h2

 

 

 

 

 

83

Рис 10.4

В  сечении – давление , высота   , скорость течения .

В  сечении – давление , высота , скорость течения .

За малый промежуток времени  жидкость перемещается от с          ечений  и

к  сечениям и . Из механики известно (см. (6.12)), что приращение пол-

ной механич                                                                       еской энергии незамкнутой системы равно рабо                                                           те внешних сил:

,                                            (10.2)

здесь  – полная механическая энергия всей рассматриваемой нами жидкости,

за ключенной в выделенной трубке тока между сечениями  и ;

–  полная механическая энергия той же жидкости, но уже через пром е-

 

жуток вр        емени                                                                         t, теперь эта жидкость заключена между сечениями                                                и .

Так как течение ст ационарно , то полная механическая энергия той части

рассматриваемой нами жидкости, что заключена между сечениями  и , за

 

промежуток времени t не изменится                                                           . Поэтому приращение полной механич         е-

ской энергии всей р ассматриваемой нами жидкости будет равно разности по л-

ных мех анических энергий объемов жидкости

(см. рис. 10.4). Так как жидкость                 несжимаема      , то       . Масса жи д-

кости, заключенная в каждом из этих об ъемов, также од инакова и равна

,  где – плотность жидкости.

Найдем работу А   внеш                                                                           , совершаемую силами давления, приложенными к с                             е-

чениям  и :

.      (10.3)

При выводе формулы (10.3)                                     мы учли, что работа силы F2 отрицательна, так

как она направлена в сторону, противоположную течению жидкости, затем в ы-

разили силы   F1 и                    F2 через давления                                           р 1 и р 2 (в соответствии с определением да                     в-

ления 10.1а) и, наконец, учли, что                     .

Теперь найдем полные механические энергии   W     W W

1  и    2. Для 1 имеем:

 

 

.                                      (10.4) Для W

2  запишем аналогичное выражение:

 

 

.                                        (10.5)

 

 

Подставляя (10. 4), (10.5) и (10.3) в (10.2), получим:

 

 

 

 

 

 

84

(10.6)

 

 

 

Поделив выражение (10.6) на V и учитывая, что                – плотность

жидкости, п олучим:

.

 

 

Перенесем члены с одинаковыми индексами в одну                             часть равенства, пол                                                        у-

чим ура внение:

 

 

 

.

 

 

Так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

 

 

 

.                                      (10.7)

 

 

Выражение (10.7) выведено швейцарским физиком и математиком Д. Бе р-

нул ли (работал в Петербургской академии наук) и называется уравнением

Бернулли .

Уравнение Бернулли представляет собой выражение закона сохранения

энергии применительно к стационарному течению идеальной несжимаемой

жидкости.

В  этом уравнении:  – гидростатическое давление, – динамич еское

давл е ние, р – статическое давление.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости,

LLLLLLLLLL. ура внение Бернулли позволяет определить скорость потока жидкости.

Уменьш ение статического давления в точках, где скорость потока больше,

полож ено в основу работы водоструйного насоса.

Уравнение Бернулли используется, например, для нахождения скорости

истеч ения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда.

Уравнение Бернулл и хорошо выполняется и для реальных жидкостей,

внутре ннее трение которых не очень велико.

 

 

 

 

§  4. Вязкость жидкости

Вязкость (внутреннее трение) – это свойство реальной жидкости оказывать

сопротивление движению одной части жидкости относительно другой. При пе-

ремещении слоев жидкости, движущихся с разными скоростями, возникают с и-

лы внутреннего трения, направленные вдоль соприкасающихся слоев. Прич и-

ной внутреннего трения является перенос частицами жидкости импульса. В р е-

85

зультате, более медленно движущийся слой                                               жидкости ускоряется, а более б                                ы-

стрый слой замедляе тся. 

Сила внутреннего трения будет тем больше, чем больше площадь повер х-

ности слоя S, и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения

жидкости при переходе от слоя к слою.

На рис. 10.5 услов но изображены

соприкасающиеся слои жидкости,

дв и жущиеся с неодинаковыми скор о-

стями          . Величина    назыв а-

ется гр адиентом скорости и показыв а-

ет, как быстро меняется скорость в н а-

правлении, перпендикулярном напра в-

Рис. 10.5                    лен ию дв ижения слоев.

Модуль силы внутреннего трения равен:

 

 

 

,                                      (10.8)

 

 

 

где  – динамический коэффициент вязкости.

 

 

разных сре                                                    Коэффициент вязкости зависит от температуры жидкости и различен для       д. Например, при температуре 20 о С коэффициенты динамической

вязкости ра вны: 

-  для воды: = 0,001 Па с; 

-  для воздуха: = 0,000017 Па с; 

-  для глицерина: = 0,85 Па с. 

Характер течения вязкой жидкости определяется безразмерным числом, к о-

торое назы вается числом Рейнольдса:

 

 

 

(10.9)

где  – коэффициент вязкости;

–  плотность жидкости;

< v > – средняя скорость течения;

 

L – линейный размер, в котором наблюдается неоднородность скорости.

Например, при движении шара в жидкости таким размером является ди а-

метр шара, при движении жидкости в трубе – диаметр трубы и т.д.

Число Рейнольдса определяет переход от ламинарного течения к турб у-

лентному. Обычно турбулентное течение возникает при                             R и-

е  > 103. При этом с

ла сопроти вления уже не зависит от вязкости. В этом случае обмен импульсами

между слоями происходит в результате активного «перемешивания» жидк о-

стей, а не в результате диффузии, как при ламинарном течении.

 

 

86

При больших                                       Rе сопротивление сильно            зависит от формы тела. Обтека                             е-

мую форму, уменьшающую сопротивление, придают многим движущимся

предметам: с амолетам, автомобилям, ракетам и т.д.

 

 

 

 

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 10

 

 

1.  При изучении движения жидкостей пользуются физическими модел                     ями: 

-  несжимаемая жидкость – жидкость, плотность которой всюду одинако-

ва и не изменяется со временем;

-  идеальная жидкость – жидкость, в которой отсутствуют силы трения.

2.  Движение жидкости называется течением.