Кинематическая часть основной задачи мех аники

§ 1. Нормальное и тангенциальное ускорение

Пусть материальная точка движется по произвольной криволинейной тр а-

ектории (рис. 3.1) с переменной по модулю скоростью.

В  этом случае за счет криволинейности траектории скорость будет изм е-

няться по направлению                 , кроме того,                               у скорости изменяется ее модуль. Для х       а-

рактеристики такого движения полное ускорение удобно представить в виде

суммы двух составляющих: нормального ускорения                                   , направленного перпенд   и-

кулярно скорости, и                                         тангенциального ускорения , направленного вдоль вектора

скорости.

Введем единичный вект    ор , направленный вдоль вектора скорости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.1

 

 

Тогда для ускорения из определения (2.7) и рис. 3.1 следует:

(3.1)

(по правилу нахождения производной от произведени я). 

Первый член,                                  нормальное ускорение ,

 

 

(3.2)

показывает быстроту изменения направления скорости.

Второй член,                                         тангенциальное ускорение ,

 

 

(3.3)

направлен вдоль скорости и                                                                 показывает быстроту изменения ее модуля                                                            .

 

 

 

26

Модуль тангенциального ускорения равен, как следует из (3.3):

 

 

 

.                                     (3.3а)

Направление и величину нормал                                                           ьного ускорения найдем для частного сл                                                         у-

чая                                                                                                      равномерного движения материальной точки по окружности                          (рис. 3.2а,

3.2б, 3.2в):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.2б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.2а                                                  Рис. 3.2в

 

 

Пусть точка за время               переместилась из начального положения

в  конечное. При этом радиус                                                                        R повернется на угол . По определению рад                                                                       и-

анной меры угла  измеряется отношением длины дуги к радиусу:

.

 

 

При равномерном движении по окружности ск                                    орость меняется по напра                                          в-

лению, но не меняется по величине. Следовательно, тангенциальное ускорение

равно нулю. Чтобы найти нормальное ускорение, воспользуемся формулой

(3.2), которую запишем, применив определение производной, в следующем в и-

де:  

 

 

.                          (3.2а)

 

 

На рис. 3.2б вектор     показывает изменение направления вектора ск о-

рости за промежуток времени t.

 

 

 

27

Рисунки 3.2б и 3.2в показывают, как изменяется направление вектора

при совершении предельного перехода (     ).

Направлен   , при            по вектору , перпендикулярному вектору

:  (          значит угол между              стремится к ). Модуль вектора

,  как следует из рис. 3.2в, равен в пределе .

Следовательно, при t 0 для вектора       , можно записать следующее

выражение:

 

 

 

здесь  - единичный вектор нормали к скорости,    .

Теперь подставим полученное выражение для      в формулу 3.2а, при

этом  запишем как отношение S/R:

 

 

 

 

(3.4)

 

 

 

Нормальное            ускорение                                                   направлено по нормали к скорости, его модуль р                                                    авен :

 

 

 

.                                 (3.4а)

Для движения по произвольной кривой                                            радиус кривизны траектории                             R

не будет величиной постоянной. На рис. 3.3 и зображены векторы скорости,

нормального, тангенциального и полного ускорения для этого случая. Вектор

направлен, как и вектор , к локальному центру кривизны траектории.

Тангенциальное ускорение направлено так же, как скорость, и по модулю, как

следует из (3.3), равно производной от модуля скорости по времени:         .

Модуль полного ускорения вычисляется по теореме Пифагора:

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.3

 

 

28

§   2. Прямолинейное равнопеременное движение

При прямолинейном движении траектория                                           – прямая линия. Выберем си                                   с-

тему координат так, чтобы траектория материальной точки совпадала с осью х.

Тогда положение тела в пространстве можно задать одной координатой – x(t).

Зависимо сть x(t) можно получить, проинтегрировав первую из формул (2.2),

зап и санную в виде:

 

 

 

Возьмем определенный интеграл от нуля до                                        t от обеих частей этого раве                                       н-

ства:

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл в левой части равенства берется так же, как и при интегриров а-

нии формулы (2.11). В резул ьтате интегрирования получим:

 

 

 

(3.5)

 

 

 

Для того, чтобы взять интеграл в правой части равенства (3.5), нам нео б-

ходимо знать зависимость      . Ее мы найдем, применив к нашему случаю

определение ускорения (2.7). Так как наше движение одномерное, то из (2.7) и

(2.9) следует, что

 

 

 

 

или 

 

 

 

 

Проинтегрируем последнее равенство:

 

 

 

.

 

 

 

 

Так как                (движение равнопеременное), то ускорение а х можно

вынести за знак интеграла. Оставшиеся интегралы мы уже научились брать

(см. (2.10) и (3.5)), после интегрирования имеем:

 

 

 

 

 

откуда для      следует:

 

 

 

 

29

 (3.6)

Теперь из (3.5) и (3.6) для x(t) получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оставшийся интеграл табличный, он равен:

 

 

 

 

 

 

 

 

С  учетом этого, окончательная формула для зависимости координаты тела

х от времени                                                  t для равнопеременного движения приобретает следующий вид:

 

 

 

.                            (3.7)

 

 

Здесь мы, как это обычно дела                                ют, опустили индексы y скорости и ускор                 е-

ния. 

Если за время движения знак скорости v(t) в формуле (3.6) не меняется

(т.е. не меняется направление движения), то из (3.7) можно найти пройденный

путь . Действительно,                                                    при движении в одном направлении           путь:

 

 

 

 

 

 

выражая             из (3.7) для пройденного пути                                       s, при выполнении отмече                                              н-

ного выше условия, получим:

 

 

 

(3.8)

 

 

 

Если направление движения меняется, для нахожден ия пройденного пути

все время движения и весь путь нужно разбить на промежутки, в течение кот о-

рых знак скорости постоянен. Затем по формуле (3.8) найти отрезки пройде н-

ного пути, после чего их сложить.

 

 

 

 

 

 

 

30

§   3. Как решается основная задача механики