Импульсное представление электромагнитного поля

Общее решение волнового уравнения можно представить в виде интеграла Фурье

                                   (4.31)

Здесь -импульсное представление ,kx= . Четырехмерный импульс k выражается через волновой вектор , циклическую частоту электромагнитного поля ω и удовлетворяет соотношению

                                                                                  (4.32)

Условие Лоренца в импульсном представлении в кулоновской калибровке определяется следующим образом:

                                                                                     (4.33)

В результате трехмерный потенциал принимает вид:

                      (4.34)

Введем трехмерные единичные вектора, связанные с распространяющимся электромагнитным полем:

                                         .                                                        (4.35)

Тогда и можно разложить по этим векторам и с учетом (4.33) получим:

                              .

В этом случае выражение (4.34) для потенциала принимает форму

                         (4.36)

Воспользуемся соотношениями (4.10) для определения векторов  и в импульсном представлении

                  (4.37)

                    (4.38) 

Чтобы получить выражение для энергии и импульса в импульсном представлении, воспользуемся соотношениями (4.13-4.16)

Так из уравнения (4.37) следует:

В результате получим:

= =

Используя приведенную методику вычислений не трудно показать, что

                       E=                   (4.39)

           =                              (4.40)

Перейдем теперь к физической интерпретации результатов.

Потенциалы электромагнитного поля  удовлетворяют волновому уравнению

                                                                                                 (4.41)

Поэтому с точки зрения квантовой механики можно рассматривать как квантовомеханическую волновую функцию.

Решение уравнения (4.41) представляется в виде суперпозиции «чистых» состояний, которые описываются плоскими волнами

                                                                       (4.42)

Состояние электромагнитного поля определяется собственными значениями оператора импульса  и поляризацией плоской волны (4.42).

Разложение (4.36) означает, что электромагнитное поле может находиться в одном из этих «чистых» состояний. Как следует из квантовой механики, вероятность нахождения поля в этом состоянии определяется коэффициентами разложения

                                                                                        (4.43)

Выражения (4.39) и (4.40) для энергии и импульса поля можно интерпретировать, как среднее значения поля

                                                                            (4.44)

где

В теории вторичного квантования состояние электромагнитного поля определяется совокупностью фотонов, импульсы и энергии которых равны и ω, а полная энергия поля

E=

где N(  -число квантов, имеющих импульс .

Тема 5. РЕЛЯТИВИСТСКИ-КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА.

1. Уравнение Дирака

2. Определение оператора спина дираковских частиц

3. Лагранжев формализм поля Дирака

4. Решение уравнения Дирака и определение динамических переменных в импульсном представлении

 

Уравнение Дирака

Согласно релятивисткой квантовой механике уравнение Дирака в ковариантной форме имеет вид:

                                                                                   (5.1)

В уравнении (5.1) матрицы  размерности и удовлетворяют перестановочным соотношениям

                                                                             (5.2)

Перестановочные соотношения (5.2) обусловлены тем, что из уравнения Дирака (5.1) следует уравнение непрерывности для плотности тока вероятности и каждая компонента волновой функции  ( принимает значения 1,2,3,4) удовлетворяет релятивистскому уравнению КГФ

                                                                                     (5.3)         

Из уравнения (5.1) и определения дираковски-сопряженной волновой функции

                                                                                                      (5.4)

следует уравнение 

                                                 .                                       (5.5)

Матрицы , удовлетворяющие (5.2), можно выразить через матрицы Паули , которые удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:

                                                                                        (5.6)

Эти матрицы образуют полный набор матриц размерности .

                                (5.7)

Нетрудно убедиться, что матрицы  , которые имеют вид

                                                                        (5.8)

удовлетворяют перестановочным соотношениям (5.2).

Уравнение (5.1) приведем к форме типа уравнения Шредингера, что позволит определить оператор Гамильтона уравнения Дирака. Для этого с помощью матриц (5.8) введем матрицы матрицы  и :

                         ,                                         (5.9)

Которые связаны с -матрицами через соотношение Таким образом, используя матрицы (5.9) и уравнения (5.1), получим

                                                                                                (5.10)

где .