Вариационный принцип для непрерывной одномерной системы (принцип наименьшего действия).

Пусть, в общем случае,  лагранжиан  зависит от переменных  т.е.  является функцией

                                                      (1.8)

где         

Функция действия определяется через  следующим образом:

                                                                 (1.9)

При варьировании функции  S (1.9) будем использовать граничные условия

                                    (1.10)

         (1.11)                                                                                            

В этом случае вариацию функции действия можно привести к следую­щему виду

                                           (1.12)

Таким образом, приравняв нулю  (1.12) согласно принципу наименьшего действия, получим уравнение Лагранжа-Эйлера для непрерывной системы.

                                                              (1.13)

Например, используя лагранжиан (1.7) в уравнении (1.13) нетрудно убедиться, что

,  

В результате получим уравнение

                                                                                    (1.14)

где                                                                                                         (1.15)

- скорость распространения продольных колебаний.

Уравнение (1.14) описывает распространение продольных возмущений вдоль одномерной струны со скоростью v.

В случае, когда лагранжиан  зависит от как функции 3-х перемен­ных x,y,z и времени t

повторяя выше приведенное варьирование функции действия, а также, ис­пользуя граничные условия и принцип наименьшего действия, получим

                                                         (1.16)

где   

Если обобщенная координата непрерывной системы задается в виде компонент , то уравнение Лагранжа-Эйлера (1.16) записывается для каждой компоненты :

                                                    (1.17)

 

 

Тема 2. ЛАГРАНЖЕВ РЕЛЯТИВИСТСКИ-КОВАРИАНТНЫЙ ФОРМАЛИЗМ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ.

           1. Пространство Минковского и релятивистское обобщение метода Ла­гранжа.

           2. Требования, предъявляемые к лагранжиану поля.

            3. Тензор энергии-импульса непрерывной системы.

            4. Плотность тока вероятности непрерывной системы.

 

Пространство Минковского и релятивистское обобщение метода Лагранжа.

Как следует из общих принципов специальной теории относительности и преобразований Лоренца при построении ковариантного описания не­прерывной системы удобно объединить пространственные координаты и время в одно четырехмерное многообразие. Четырехмерный вектор опре­деляется компонентами

В этом случае квадрат 4-х- вектора  будет определяться следующим обра­зом

                                                    (2.1)

где µ пробегает значения 1, 2, 3, 4.

Согласно принципам теории относительности квадрат длинны четырех­- мерного вектора (2.1) является инвариантом относительно преобразований Лоренца

                                                                                   (2.2)

Из требования инвариантности (2.2) следует условие ортогональности преобразований Лоренца, т.е. если

                                                    (2.3)

то матричные элемент удовлетворяют условию

                                                                            (2.4)

где  - символ Кронекера.

Частные преобразования Лоренца, когда выполняется переход в инерциальную систему отсчета, двигающуюся вдоль оси ОХ, имеют вид:

                                                                      (2.5)

где ,

ν-скорость движения инерциальной системы отсчёта.

Нетрудно убедиться, что матрица вида (2.5) удовлетворяет условию орто­гональности (2.4)

                                                                                                           (2.6)                                                                                                                                                                                                                                                            

где - транспонированная матрица.

 

Требования, предъявляемые к лагранжиану поля.

   В релятивистской теории поля уравнения движения должны иметь ковариантную форму относительно координат и времени . Лагранжев формализм является наиболее подходящим для релятивистского описания полей, соответствующих определенным элементарным частицам. Для этого будем считать, что функции непрерывных систем определяются в точке четырёхмерного пространства – времени  Лагранжиан непрерывной системы, который зависит от полевой функции  и четырёхмерных производных от этой функции, должен удовлетворять определённым требованиям. Эти требования следуют из основных принципов релятивистской теории и квантовой механики.

Во-первых, Лагранжиан должен быть релятивистки инвариантной величиной, следовательно, полевые функции должны реализовать представление преобразований Лоренца.

Во-вторых, Лагранжиан должен быть вещественной величиной, поскольку, как известно из формализма Лагранжа, физически измеряемые величины выражаются через Лагранжиан.

В зависимости от типа релятивистских уравнений непрерывных систем вводятся дополнительные ограничения, например, такие как требование линейности, локальности, требование, чтобы Лагранжиан зависел от производных не выше второго порядка и т.д.

Учитывая эти требования, уравнения Лагранжа-Эйлера в релятивистской формулировке можно получить, используя принцип наименьшего действия в четырёхмерном пространстве – времени. Уравнения, которые следуют из вариационного принципа в релятивистской формулировке, совпадают с уравнениями (1.17), если в (1.17) перейти к четырехмерной форме.

                                                               (2.7)

где