Лагранжев формализм взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами.

Для описания движения заряженной частицы в электромагнитном поле в классической механике используется функция Лагранжа

                                         ,                          (6.1)

где - скорость частицы, .

Обобщённый импульс в этом случае определяется так

                                         ,                                          (6.2)

где - обычный динамический релятивистский импульс частицы.

Если с помощью (6.1) определить функцию Гамильтона, то получим

 

                                                                 (6.3)

Таким образом, если для свободной частицы справедливо соотношение

                                                                                  (6.4)

то для частицы, движущейся в электромагнитном поле, подобное соотношение имеет вид

                                                      (6.5)

Следовательно, из сравнения соотношений (6.4) и (6.5) приходим к формальному выводу – для описания движения заряженной частицы в электромагнитном поле достаточно осуществить замену

При переходе к квантовомеханическим уравнениям свободно движущихся частиц используем принцип соответствия, а именно осуществим переход

В таком случае для получения квантовомеханических уравнений движения заряженных частиц в электромагнитном поле достаточно осуществить замену

В четырехмерной форме такая замена обобщается следующим образом

                                                                                        (6.6)

Выполняя замену (6.6) в уравнении (6.5) с учетом действия операторов , получим ковариантное уравнение движения заряженной скалярной частицы в электромагнитном поле:

                                                           (6.7)

 Аналогичным методом можно установит уравнения движения заряженной дираковской частицы в электромагнитном поле. Так, выполняя замену (6.6) в уравнении, получим

                                                           (6.8)

где –биспинорные функции.

 

2. Принцип локальной калибровочной инвариантности в теории взаимодействующих полей.

Выше, при построении лагранжиана и уравнений движения заряженных частиц в электромагнитном поле, было использовано соответствие между классической и квантовыми теориями. По аналогии с введением взаимодействия частиц с электромагнитным полем в классической теории, которое свелось к замене (6.6)

в лагранжиане и уравнениях движения, покажем, что эта замена вытекает из принципа калибровочной инвариантности и, соответственно, закона сохранения заряда.

   В случаи взаимодействующих полей закон сохранения заряда определяется требованием инвариантности лагранжиана и уравнений взаимодействующих полей относительно локальных калибровочных преобразований, т.е. преобразований:

                                                                                       (6.9)

                                                                               (6.10)

                                                                     (6.11)

Очевидно, что комбинации   и   инвариантны относительно преобразований (6.9-6.11). Следовательно, и лагранжиан вида

           (6.12)

инвариантен относительно калибровочных преобразований (6.9 – 6.11).

   Используя лагранжиан (6.12) и уравнения Лагранжа-Эйлера

                                                                                 (6.13)

                                                                                (6.14)

                                                                              (6.15)

получим уравнения движения дираковских частиц в электромагнитном поле:

                      ,                               (6.16)

                                                  (6.17)

                            .                                               (6.18)

Из этих уравнений видно, что (6.16) совпадает с уравнением (6.8).

 

3. Закон сохранения тока как следствие принципа калибровочной инвариантности.

Пусть в калибровочных преобразованиях (6.9 – 6.11)  бесконечно малая произвольная функция. В этом случае преобразования (6.9- 6.11) можно представить в виде:

                                    ,                              (6.19)

                                                                  (6.20)

Функция действия

определяется лагранжианом взаимодействующих полей (6.12).

   Вариация функции действия, обусловленная преобразованием (6.19, 6.20), представляется выражением

                                                                          (6.21)

Приравнивая  к нулю и используя уравнения (6.16 – 6.18), получим:

             (6.22)

Поскольку  и  произвольные функции, то интеграл в (6.22) будет равен нулю при условии, что

                                                                                     (6.23)

                                                                                     (6.24)

Уравнение (6.24) есть уравнение закона сохранения электрического заряда частицы в локальной форме.

Таким образом, из условия инвариантности лагранжиана взаимодействующих полей (6.12) относительно калибровочных преобразований (6.19, 6.20) следует закон сохранения электрического заряда в локальной форме (6.24).