Управляющие уравнения для открытых систем

 

Уравнение Лиувилля (11.3) описывает эволюцию конечной системы  частиц, находящейся в замкнутом объеме . Такая система называется закрытой. Всякая закрытая система, эволюцию которой мы изучаем, является обычно идеализацией соответствующей физической системы, которую она призвана моделировать. Реально, однако, речь может идти лишь о квазизакрытой системе, поскольку практически всегда существует окружение, оказывающее влияние на рассматриваемую систему. Можно ли пренебречь этим влиянием, и каковы последствия его учета?

Взаимодействие частиц системы с окружением приводит к тому, что в уравнении (11.3) появляется дополнительный источниковый член

,                       (11.8)

где  – некоторый оператор. В самом деле, рассмотрим исходную систему  частиц (11.3), имеющую гамильтониан  (8.3), и окружение, состоящее из  взаимодействующих частиц с гамильтонианом  той же структуры, что и (11.3). Взаимодействие системы с окружением описывается гамильтонианом . Объединение системы и окружения в свою очередь можно рассматривать как закрытую систему. Ее функция распределения  тогда удовлетворяет уравнению Лиувилля

 

,       (11.9)

 

где  – операторы Лиувилля, соответствующие гамильтонианам , , и . В общем случае

 

.

 

Функция распределения исследуемой системы  частиц получается из функции  интегрированием по фазовым переменным окружения

 

,                       (11.10)

 

 определяет вероятность найти систему в момент времени  в элементе фазового объема  вблизи точки  независимо от того, как распределены частицы окружения. Проинтегрировав уравнение (11.9) по фазовым переменным окружения, находим

                         .          (11.11)

При выводе последнего уравнения и везде в дальнейшем мы считали, что функция распределения на границах фазового объема обращается в нуль.

Аналогично (11.10) можно ввести функцию распределения окружения

.                          (11.12)

Тогда мерой взаимодействия системы  частиц с окружением будет корреляционная функция , определяемая соотноше-нием 

                                     .                      (11.13)

 

Если система не взаимодействует с окружением, то они в любой момент времени статистически независимы и , а уравнение (11.11) сводится к уравнению Лиувилля (11.3). В общем же случае  и уравнение (11.11) переходит в уравнение (11.8) с источниковым членом

 

. (11.14)

 

Таким образом, функция распределения системы, взаимодействующей с окружением, удовлетворяет уравнению

 

       , .                 (11.15)

 

Оператор Лиувилля при преобразовании инверсии времени не меняется, что и обеспечивает инвариантность одноименного уравнения (как и уравнений Гамильтона) относительно обращения времени. Эту симметрию уравнения Лиувилля мы будем называть -симметрией. С уравнением же (11.15) дело обстоит сложнее. В зависимости от характера взаимодействия системы с окружением и формы энергии взаимодействия  оператор (11.14) может как сохранять -симметрию, так и нарушать ее. В частности, если выполняется условие четности источникового члена

 

,       (11.16)

-симметрия уравнения, описывающего взаимодействие системы с окружением, нарушается и уравнение (11.15) становится необратимым. Необратимое управляющее уравнение (11.15), (11.16) обладает особым типом симметрии, которую мы назовем -симметрией, когда часть членов меняет знак при преобразовании инверсии времени, а часть его сохраняет. Наличие -симметрии и является отличительной чертой необратимых управляющих уравнений. Такие уравнения мы будем называть также диссипативными, а необратимые процессы – диссипативными процессами.

Взаимодействие системы многих частиц с произвольным окружением может быть неконсервативным. Неконсервативными являются, например, взаимодействия между частицами так называемых гранулированных сред. Типичными представителями гранулированных сред являются сахар, песок, зерно и т.п. Полезно поэтому понять, как модифицируется управляющее уравнение для плотности вероятности , если на частицы системы наряду с потенциальными действуют и непотенциальные силы. Уравнения движения рассматриваемой системы  частиц описываются теперь не гамильтоновой системой уравнений

 

    , ,               (11.17)

 

где  – внешняя сила, действующая на -ю частицу. В общем случае эта сила является функцией фазовых переменных всех  частиц. Так как число представляющих точек в системе остается неизменным, полная производная по времени от функции распределения  равна нулю, т. е. эта функция удовлетворяет уравнению неразрывности

 

 

где в скобках стоит -мерная дивергенция вектора потока «жидкости» представляющих точек ансамбля . Подставляя сюда уравнения движения (11.17), сразу находим управляющее уравнение для системы, на которую действуют неконсервативные силы,

 

.          (11.18)

 

В частности, если обобщенная сила  меняет знак при преобразовании инверсии времени, уравнение (11.18) обладает -симметрией, т. е. описывает необратимые процессы. Фазовое пространство системы теперь непрерывно изменяется, а движение представляющей точки происходит по постоянно деформирующейся энергетической гиперповерхности.

Мы так много уделяем внимания изучению взаимодействия системы с окружением по той причине, что оно почти всегда приводит к необратимой эволюции системы. Такая эволюция описывается уравнением Лиувилля с источником (11.8). Определение явного вида источника является весьма сложной проблемой. Он будет зависеть от характера окружения, типа действующих на границе сил и т.п. Диссипативное поведение закрытой системы также будет описываться необратимыми управляющими уравнениями вида (11.8) и (11.16). Источник здесь может быть как следствием учета неконтролируемых внешних условий, так и наличием микрофлуктуаций внутри самой системы и эффектами внутренней нелокальности.