Уравнение Кортевега – де Вриза. Солитоны

Нелинейность и дисперсия – два конкурирующих процесса. Если побеждает нелинейность, образуются волны с крутыми фронтами. В средах с большой дисперсией этого не наблюдается, дисперсия вызывает размывание волны. В случае волн на мелкой воде и внутренних волн нелинейность и дисперсия невелики и эффективно компенсируют друг друга. При этом возникает так называемая стационарная нелинейная волна, распространяющаяся с постоянной скоростью и без изменения формы. Такие волны приближенно описываются уравнением Кортевега – де Ври-
за (КдВ)

.               (14.20)

В этом уравнении не учитываются эффекты вязкой диссипации. При  оно превращается в уравнение для простой плоской волны. Если перейти к новым переменным , , то мы приходим к иной форме уравнения КдВ:

.                     (14.21)

Здесь и в дальнейшем штрихи при независимых переменных мы опустили.

Последний член в уравнении (14.21) описывает дисперсию волн. Отношение нелинейного и дисперсионного членов уравнения КдВ (14.21) оказывается порядка

.

Пусть в начальный момент времени возмущение имеет вид плавного импульса протяженностью  и при этом  (дисперсия мала). Тогда с течением времени форма начального возмущения изменяется, нелинейность приводит к тому, что оно становится все более крутым, однако параметр  при этом падает (уменьшается характерный размер возмущения) и в дело вступает дисперсия. Это приводит к расплыванию возмущения, оно распадается на отдельные группы волн. Имеются два сценария такого распада: либо образуется волновой пакет, либо – так называемая уединенная волна – солитон, профиль которого показан на рис. 14.2. Солитоны обладают целым рядом весьма необычных свойств. Во многих случаях они ведут себя подобно частицам: могут притягиваться или отталкиваться друг от друга, колебаться друг относительно друга. Так происходит, когда различие скоростей солитонов мало, а расстояние между ними велико по сравнению с их эффективной шириной. В некоторых случаях солитоны ведут себя как линейные невзаимодействующие объекты. С этим мы сталкиваемся при прохождении быстрого солитона большой амплитуды сквозь медленный солитон малой амплитуды. Такое прохождение, правда, сопровождается образованием промежу
точного возмущения, не являющегося простой суммой двух исходных.

Рис. 14.2. Типичное солитонное решение

В уравнении (14.21) диссипация отсутствует. Ясно, однако, что в реальных физических задачах это не так. Если диссипацию учесть, мы приходим к уравнению Кортевега – де Вриза – Бюргерса

.                (14.22)

Солитоны, рождающиеся в океане, могут стать причиной появления катастрофических волн – цунами. Рождение солитона в океане может быть связано с различными причинами: землетрясением, извержением вулкана, подводным взрывом. При этом образуется уединенная волна с характерными размерами от десятка до нескольких сотен километров. Ясно, что для таких волн океан является «мелкой» водой. Амплитуда солитона обычно невелика, порядка десятка метров. Такой солитон в океане вполне может оказаться незаметным. Однако при подходе к берегу его скорость уменьшается, солитон становится существенно короче и выше. И вот именно этот солитон, превращаясь в цунами, и выбрасывается на берег. Высота цунами может быть достаточно велика, от нескольких десятков до сотен метров. Наибольшая зарегистрированная высота цунами составила 524 м. Такая волна родилась на Аляске в 1958 году, когда со склонов горы Фейруэзер с высоты 900 м в бухту сошла лавина, содержащая 300 млн кубических метров породы.