Динамика системы точечных вихрей

 

Начиная с известной работы Л. Прандтля, в которой по аналогии с длиной свободного пробега молекулы введена длина перемешивания, предпринимаются многочисленные попытки выделить внутренние структурные элементы турбулентной среды. В ряде случаев в качестве таких элементов могут выступать малые носители завихренности. Впервые на возможность описания турбулентности на основе ансамбля таких вихрей указал еще в
1949 году Л. Онзагер. Речь идет о моделировании двумерной турбулентности системой так называемых точечных вихрей. В механике жидкости и газа важнейшей кинематической характеристикой поля течения является завихренность

.                                   (18.1)

В случае, если эта величина равна нулю, течение называется безвихревым. Однако в турбулентном режиме в поле течения присутствуют вихри различных размеров. Именно это и привело к идее моделировать такие течения системой вихрей.

Поле завихренности  в некоторой точке  поля течения моделируется системой  точечных вихрей

,                          (18.2)

где  – интенсивность вихря  с радиусом-вектором  – -функция, введенная П.А.М. Дираком. Это первая так называемая обобщенная функция, определяемая формулами

при   и ,

причем так, что интеграл

.

Кроме того, для любой функции , непрерывной в точке  выполняется соотношение

.

Более подробное описание этой функции можно найти в специальных справочниках.

Система точечных вихрей  обладает замечательными свойствами. Во-первых, поле завихренности (18.2) является решением уравнений гидродинамики[50]. Во-вторых, система точечных вихрей является гамильтоновой в том смысле, что их движение описывается специфической системой уравнений Гамильтона (сравни с уравнениями (8.4))

, ,               (18.3)

для гамильтониана

.                       (18.4)

В такой форме уравнения движения точечных вихрей впервые предложил записывать Г. Кирхгоф. Уравнения Кирхгофа (18.3) можно привести к обычной гамильтоновой форме, если ввести переменные

, ,

где знак плюс выбирается при положительной циркуляции, а минус – при отрицательной.

Для системы точечных вихрей (18.3) кроме гамильтониана (18.4) имеются еще три интеграла движения:

, , ,     (18.5)

которые соответственно определяют импульс плоского течения неограниченной жидкости и половину момента импульса относительно начала координат.

Рассмотрим в качестве примера движение двух точечных вихрей. Поскольку гамильтониан (18.4) такой системы сохраняется, то расстояние между вихрями остается постоянным, а вихри будут двигаться по круговым траекториям вокруг точки с координатами

,

называемой центром завихренности. При  центр завихренности лежит в бесконечности и оба вихря движутся по параллельным прямым с постоянной скоростью.

Метод вихревой динамики

Несмотря на свои замечательные свойства, модель (18.3), (18.4) имеет серьезные недостатки. Ясно, что с помощью такой системы вихрей нельзя сколько-нибудь удовлетворительно аппроксимировать реальные поля завихренности. Кроме того, сингулярные точечные вихри обладают некоторыми нефизическими свойствами. В частности, при сближении скорости вихрей неограниченно растут, чего не наблюдается в природе. В связи с этим мною и моими аспирантами А.Н. Веретенцевым и П.А. Куйбиным была разработана модель системы двумерных вихрей конечного размера. Завихренность этих вихревых частиц могла быть разрывной (постоянной внутри вихря) либо непрерывной. В последнем случае чаще всего использовалось гауссовское распределение завихренности. Поле завихренности тогда аппроксимируется следующей системой вихревых частиц конечного размера:

.                 (18.6)

Уравнения движения вихревых частиц в этом случае также являются гамильтоновыми и имеют вид

,

. (18.7)

.

замечательной особенностью системы вихрей (18.7) является то, что она также гамильтонова и для нее выполняются те же законы сохранения, что и для системы точечных вихрей, однако она не является сингулярной и вполне пригодна для моделирования реальных течений. На основе уравнений движения (18.7) нами был разработан метод типа метода молекулярной динамики, который мы назвали методом вихревой динамики (МВД). С помощью этого метода изучались процессы взаимодействия вихревых структур, коллапс точечных вихрей и вихрей конечного размера. Точность метода в отличие от существовавших ранее модификаций метода точечных вихрей оказалась столь высокой, что позволила изучать процессы развития гидродинамической неустойчивости в различных течениях. Были получены важные и интересные результаты по изучению ламинарно-турбулентного перехода в слое смешения, в следе за плоской пластиной, течениях закрученной жидкости. В настоящее время МВД в различных его модификациях широко применяется при расчетах двигателей космических аппаратов, самих летательных и космических аппаратов, турбин, при моделировании обтекания автомашин и поездов, моделировании процессов перемешивания в различных топочных агрегатах, изучении аэродинамики жилых застроек, в различных экологических задачах.

Приведем в качестве иллюстрации использования МВД несколько примеров изучения взаимодействия изолированных вихревых структур, которые сейчас часто называют когерентными. На рис. 18.1, а показано взаимодействие двух одинаковых вихрей в случае, когда расстояние между ними  (  – диаметр вихря). В этом случае вихри активно взаимодействуют и за время порядка полупериода вращения каждого из них образуется единая крупная вихревая структура. Этот пример иллюстрирует процесс образования крупных когерентных структур из мелких. Если вихри имеют разную интенсивность, то более «слабый» вихрь становится сателлитом более сильного (рис. 18.1, б). Подобный процесс при взаимодействии трех одинаковых и разных по интенсивности вихрей показан на рис. 18.1, в, г. На рис. 18.1, д, е показано взаимодействие четырех одинаковых вихрей для различных начальных конфигураций. Траектории трех точечных вихрей разной интенсивности (суммарно их интенсивность равна нулю) показаны на рис. 18.2.

 

а

б

 

в

г

д

е

 

Рис. 18.1. Эволюция взаимодействующих вихревых структур

Рис. 18.2. Коллапс точечных вихрей

 

 

На рис. 18.3 приведен расчет развития неустойчивости так называемого разгонного вихря, т. е. вихря, возникающего на кромке пластины или крылового профиля при внезапном их разгоне. Внизу для сравнения приведена фотография визуализации соответствующего течения, сделанная в работе Пайерса (Pierce) в 1961 году. Характерной чертой течения является развивающаяся по периметру вихря неустойчивость, приводящая к образованию многих вихревых структур. Результаты численного моделирования, как мы видим, достаточно хорошо описывают наблюдаемую неустойчивость. Нам удалось объяснить ее появление. Но произошло это спустя почти тридцать лет после того, как Пайерс получил свои фотографии.

Рис. 18.3. Неустойчивость разгонного вихря:

а – расчет методом вихревой динамики;

б – эксперимент Пайерса