Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2022-09-15 | 33 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Поскольку в правильном решении свободного нелинейного осциллятора секулярных членов появляться не должно, необходимо разработать такую процедуру решения уравнения, когда в каждом приближении подобные члены из решения исключаются. Построение процедуры рассмотрим на примере осциллятора с кубической нелинейностью.
Уравнение для осциллятора с кубической нелинейностью получается из общего уравнения (2.4), если в правой части сохранить только первый и третий члены
. (3.7)
Если бы мы воспользовались разложением, аналогичным (3.2), то пришли к системе уравнений
(3.8)
Решение порождающего (первого) уравнения при начальных условиях (3.3а) по-прежнему записывается в форме x (0) =
A 0cosw0 t. Второе же уравнение после подстановки х (0) приоб-ретает вид
.
Таким образом, мы пришли к уравнению колебаний с периодической вынуждающей силой, одна из частот которой совпадает с частотой свободных линейных колебаний. Поэтому при t ® ¥, x (1) ® ¥ и принятый метод решения не приводит к успеху. Недостаток метода состоит в том, что частота в нулевом приближении принимается равной частоте линейной задачи w = w0. Как следствие и в последующих приближениях правые части содержат функции с кратными частотами w = n w0. Таким образом, делается попытка построить решение с периодом линейной задачи
Т 0 = 2p¤w0. В действительности в нелинейных системах, если и возможны периодические решения, их период не совпадает с периодом Т 0, а зависит от параметра нелинейности e1. Именно это противоречие и приводит к возникновению резонансных членов в правых частях уравнений (3.8). Чтобы избежать появления секулярных членов, будем поэтому искать не только решение х в виде ряда по малому параметру, но и частоту w:
(3.9)
или
С учетом (3.9) уравнение (3.7) принимает вид
Приравнивая к нулю выражения при каждой степени e1, по-лучим
(3.10)
Система (3.10) отличается от (3.8) тем, что w соответствует периоду нелинейных колебаний и находится в процессе решения, а не является заданной величиной. В последующих приближениях правые части периодичны с тем же периодом Т = 2p¤w. Таким образом, строится согласованное решение.
Как и в случае квадратичной нелинейности, будем строить решение с начальными данными х (0) = А, (0) = 0. Этому условию будет удовлетворять система данных
(3.11)
Первое уравнение (нулевое приближение) системы (3.10) с начальными данными (3.11) имеет решение
(3.12)
а второе уравнение (первое приближение) принимает вид
(3.13)
Условием отсутствия резонанса является равенство нулю коэффициента при cos w t. Из этого условия следует, что
. (3.14)
Частное решение уравнения (3.13) в этом случае имеет вид
,
а общее решение уравнения первого приближения можно записать так:
,
где в силу начальных условий (3.11) B 1 = 0, .
Искомое решение уравнения (3.7) с точностью до членов первого порядка определяется тогда соотношениями
,
. (3.15)
Из (3.15) следует, что если частота свободных линейных колебаний не зависит от амплитуды колебаний, то частота свободных колебаний нелинейной системы определяется как свойствами системы, так и амплитудой. В частности, например, частота колебаний математического маятника будет определяться величиной начального угла отклонения от положения равновесия.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!