Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2022-09-11 | 26 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Кривая, заданная явным уравнением
Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке , в которой функция дифференцируема, имеет вид: где Таким образом, (3.29)
Прямая, проведенная через точку перпендикулярно к касательной, называется нормалью (см. рис. 3.9). Её уравнение при имеет вид:
(3.30)
Здесь учтено, что у взаимно перпендикулярных наклонных прямых произведение угловых коэффициентов равно числу −1.
Часто вместо пишут вместо − . Касательная и нормаль определены и в точках с бесконечной производной, где .
В зависимости от значения выделяют три случая.
1. Если , то касательная и нормаль − наклонные прямые, описываемые уравнениями:
касательная: (3.31)
нормаль: (3.32)
2. Если то касательная – горизонтальная прямая (горизонталь) , нормаль – вертикальная прямая (вертикаль) .
3. Если то касательная – вертикаль , нормаль – горизонталь .
Чтобы составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке нужно определить три числа: и подставить их значения в уравнения искомых линий, при этом целесообразно все данные собрать в таблице 3.3.
Табл. 3.3
|
Пример 3.26. Написать уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением в точке, где а) ; б) .
□ Найдем производную: .
а) Вычислим и Заполним таблицу.
1 | 0 | 1 |
Так как производная в точке отлична от нуля, то имеет место 1-й случай. По формулам (3.31), (3.32) уравнение касательной: уравнение нормали:
б) Вычислим и Заполним таблицу.
− | 0 |
Так как производная в точке равна нулю, то имеет место 2-й случай. Касательная − горизонтальная прямая: нормаль − вертикальная прямая: ■
Пример 3.27. Написать уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением в точке, где а) б)
5 | 2 | 0,25 |
□ В отличие от предыдущей задачи в этой задаче заданы ординаты точек касания.
а) Чтобы заполнить таблицу, сначала нужно найти Составим уравнение: Его решением является число Потом находим
Соответствующая таблица имеет вид:
Применяем формулы (3.31) и (3.32), так как .
Касательная:
Нормаль:
б) Точка является граничной точкой области определения. В этой точке существует бесконечная правосторонняя производная: Следовательно, мы имеем дело с третьим случаем. Через точку проходят вертикальная касательная и нормаль совпадающая с осью абсцисс.
Кривая, заданная параметрическими уравнениями
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , точка принадлежит графику Г функции. По аналогии с кривой, заданной явно, рассмотрим три случая. Вычисление осуществим по формуле параметрического дифференцирования.
1. Если , то касательная и нормаль являются наклонными прямыми и их уравнения имеют вид:
, (3.31)
|
, (3.32)
где (3.33)
2. Если , то касательная и нормаль являются горизонталью и вертикалью, соответственно, и их уравнения имеют вид:
касательная: ,
нормаль: .
3. Если , то касательная и нормаль являются вертикалью и горизонталью, соответственно, и их уравнения имеют вид:
касательная: ,
нормаль: .
Пример 3.28. Написать уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнениями в точке, где а) б) в)
□ Заметим, что кривая, заданная уравнениями является окружностью единичного радиуса с центром, смещенным на единицу относительно точки О по оси абсцисс (см. рис. 3.10). Для обоснования утверждения достаточно уединить тригонометрические функции, возвести каждое уравнение в квадрат, после чего сложить их:
Последнее уравнение − уравнение окружности с центром в точке (1;0) и радиусом, равным 1. Исходные уравнения можно интерпретировать как закон перемещения материальной точки в плоскости Производная, вычисленная в примере 3.16, равна угловому коэффициенту касательной к траектории движения − окружности в произвольный момент времени
а) Вычислим значения
, Производная отлична от нуля, значит, имеет место первый случай.
Заполним таблицу 3.3.
−1 |
Подставляем найденные значения в уравнения (3.30) и (3.31) и получаем
касательную:
нормаль: ,
проходящие через точку .
б) В задании указана только ордината точки касания. Чтобы найти все элементы уравнений касательной и нормали, решим тригонометрическое уравнение Отсюда Так как производная равна нулю, то имеет место второй случай. Касательная − горизонтальная прямая нормаль − вертикальная прямая, проходящие через точку
в) В задании указана только абсцисса точки касания. По аналогии с пунктом б) решим уравнение: При этом значении не определен, но существует Имеет место третий случай. Отсюда следует, что через точку С (2; 0) проходит вертикальная касательная , а нормалью является горизонтальная прямая − ось абсцисс.
|
Полученные результаты имеют наглядный геометрический смысл. В пункте б) задания нужно было получить уравнения касательной и нормали в крайней нижней точке В заданной окружности с координатами (1; −1). Очевидно, что касательная и нормаль − это соответственно горизонтальная и вертикальная прямые, проходящие через точку (1; −1).
В пункте в) нужно было получить касательную и нормаль в крайней правой точке С заданной окружности с координатами (2;0). Очевидно, что касательной является вертикальная прямая, проходящая через точку (2;0), а нормалью − ось абсцисс.■
Угол между кривыми
Пусть − уравнения линий в плоскости Углом между этими линиями в точке их пересечения называют угол между касательными, проведенными к графикам функций в точке .
Если функции дифференцируемы в точке , то угол можно найти из тригонометрического уравнения:
. (3.34)
Пример 3.29. Найти угол между кривыми, заданными уравнениями , в точке их пересечения.
□ 1. Найдем точку пересечения графиков из системы: Уравнение имеет единственное решение Тогда Точка пересечения графиков имеет координаты .
2. Найдем производные функций:
3. Вычислим значения производных в точке, где
4. Составим и решим уравнение относительно угла :
■
Правило Лопиталя-Бернулли
Теорема 3.13 (правило Лопиталя-Бернулли) .Если выполняются следующие условия:
1) функции и определены и дифференцируемы в проколотой окрестности точки ;
2) ;
3) в рассматриваемой окрестности;
4) существует предел ,
то
(3.35)
З а м е ч а н и е 1. Это правило применимо для раскрытия неопределенностей вида :
● в конечной точке при ,
● на бесконечности при ;
● при вычислении односторонних пределов (при и .
З а м е ч а н и е 2. Аналогичное правило применимо для раскрытия неопределенностей вида , при этом в условиях теоремы 3.13 нужно изменить только второе условие и потребовать, чтобы Все пункты замечания 1 и в этом случае верны.
|
Теорему 3.13 для раскрытия неопределенности часто называют первым правилом Лопиталя, а аналогичную теорему для неопределенности вида − вторым правилом Лопиталя.
Пример 3.30. Найти пределы: а) ; б) ; в) .
□ В каждом примере при подстановке предельного значения аргумента получается неопределенное выражение, которое раскрывается путем однократного или многократного непосредственного применения правила Лопиталя.
а) .
б)
.
в) .■
Пример 3.31. Найти
□ При числитель и знаменатель дроби неограниченно растут. Вычисление предела связано с раскрытием неопределенности вида . Однако воспользоваться правилом Лопиталя нельзя, так как не существует предела отношения производных: = . Как известно, функция на бесконечности не имеет предела и вместе с ней нет предела у функции
Предел можно найти другим способом: , так как предел второго слагаемого как предел произведения ограниченной функции () и бесконечно малой при функции равен нулю, а предел всей суммы − единице. ■
Для раскрытия неопределенностей вида правила Лопиталя применяют непосредственно. Для раскрытия неопределенностей вида , правила Лопиталя применяют опосредованно:
1) в случае неопределенности вида произведение функций преобразуют в частное одним из двух способов: ;
2) в случае неопределенности вида разность функций преобразуют в
частное, используя свойства функций или следующий общий прием:
при , или , причем
● если предел существует и отличен от единицы: , то ;
● если предел , то и далее непосредственно применяют правило Лопиталя-Бернулли;
3) в случае неопределенностей вида используют основное свойство логарифма и неопределенность в показателе степени раскрывают при помощи вышеописанных приемов.
Пример 3.32. Найти .
□ Выясним, есть ли неопределенность при вычислении предела: . Как видим, мы имеем дело с 1-ым случаем опосредованного применения правила Лопиталя. Преобразовываем произведение в частное и применяем 1-ое правило Лопиталя: ■
Найдем .
Тогда .
Пример 3.33. Найти .
□ Здесь неопределенность вида . Используем общий прием преобразования разности в частное: .
Найдем .
Тогда .
Заметим, что другой способ преобразования разности в произведение, а именно, вынесение вместо вперед в качестве множителя приведет к тому же результату. ■
Пример 3.34. Найти
□ ■
Задачи для самостоятельного решения
|
1. Используя формулу Маклорена порядка, найдите приближенное значение и оцените абсолютную погрешность, если:
1) ; 2) .
Ответы: 1)0,3 и 2)
2. Найдите приближенное значение и оцените абсолютные погрешности:
1) при помощи первого дифференциала; 2) при помощи формулы конечных приращений;
3) при помощи формулы Тейлора 2-го порядка.
Ответы: 1)1,041(6); 2) 3)
3. Составьте уравнения касательной и нормали к графику заданной функции в заданной точке :
1) 2) 3)
4) 5) 6) .
Ответы: 1) , ; 2) , ; 3) , ;
4) , ; 5) , ; 6) , .
4. Составьте уравнения касательной и нормали к графику в точке, где 1) 2) 3) 4)
Ответы (уравнения касательной и нормали): 1)
2) ; 3) 4) .
5. Найдите углы между графиками функций в точке их пересечения:
1) ; 2)
Ответы: 1) 2)
6. Укажите вид неопределенности и найдите пределы ()
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) 13)
14) ; 15) .
Ответы: 1) , 0; 2) 3) ,0; 4) , ; 5) , ; 6) ;
7) , ; 8) 9) 10) 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!