Логарифмическое дифференцирование. Темп роста и эластичность функции

 

       Рассмотрим функцию  принимающую положительное значение в точке  и дифференцируемую в этой точке. Логарифмической производной функции  в точке  называют производную натурального логарифма этой функции, которую вычисляют по правилу дифференцирования сложной функции:                                            

.

Отсюда следует, что связь между производной функции и ее логарифмической производной выражается формулой:                                    

                                                                               (3.10)

 

 Использование логарифмической производной упрощает процесс дифференцирования следующих функций:

 а) сложно-степенной функции ,

 б) громоздкого произведения  

 в) громоздкого частного

 

Алгоритм применения логарифмической производной

 

1. Найти натуральный логарифм заданной положительной функции  и упростить его при помощи свойств логарифма.

2. Найти логарифмическую производную .

3. Найти производную  по формуле (3.10).

Пример 3.13. Найти производную функции

□ Функция является сложно-степенной. Она определена и принимает положительные значения при любых значениях  Согласно рекомендации производную ищем с использованием логарифмической производной.

1. Логарифмируем функцию: . Упрощаем правую часть:

2. Дифференцируем обе части полученного логаифмического равенства по переменной , при этом используем правило дифференцирования сложной функции и таблицу производных:

       3. Находим производную ■

В экономической теории [21, 47] логарифмическая производная используется при вычислении темпа роста   и эластичности  функции .

Темп роста  функции   равен 

                                                                                                                (3.11)  

Используя логарифмическую производную, формулу (3.11) можно переписать так:

                                                                                                                   (3.12)

Эластичность  функции   в точке  равна:

где − относительное изменение функции  при абсолютном изменении

аргумента , равном  − относительное изменение аргумента  в точке . Из определения следует, что эластичность  приближенно равна процентному изменению функции  в точке  при процентном изменении аргумента в этой точке на 1%.

При произвольном значении х формуле для вычисления можно придать вид:

       , или                                          (3.13)

Связь темпа роста функции с эластичностью выражается соотношением:

При анализе функции  с использованием эластичности применяют следующую классификацию типов эластичности [Кремер]:

при  функцию  называют эластичной по

при  эластичность функции называют единичной,

при   функцию  называют неэластичной по  

при  говорят, что возникает кризисная ситуация в экономике.

Пример 3.14. Найти темп роста объема выпуска для производственной функции  при   

□ Воспользуемся формулой (3.12):   

1. Упростим выражение в скобке:

2. Найдем темп роста как производную полученного выражения:

                                                

3. Вычислим значение  при ■

 Пример 3.15. Найти эластичность   функции спроса, заданной соотношением , в точке  Указать тип эластичности в этой точке.

□ Выразим  через  Тогда при имеем  Используем  формулу  (3.13) и получим:

При  Спрос − эластичный, так как . ■