Дифференциальное исчисление функции одной переменной 133

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 133

3.1. Производная и дифференциал функции одной переменной. Основные понятия.... 133

3.1.1. Определения и условия существования производной и дифференциала ………133

3.1.2. Смысл производной и дифференциала.................................................................. 137

3.2. Основные приемы дифференцирования.................................................................... 142

3.2.1. Табличное дифференцирование............................................................................. 142

3.2.2. Общие правила дифференцирования.................................................................... 143

3.2.3.   Дифференцирование сложной и неявной функции. Инвариантное

            свойство дифференциала……….... …................................................................... 144

3.2.4. Дифференцирование обратной функции............................................................. 146

3.2.5. Логарифмическое дифференцирование. Темп роста и эластичность функции 146

3.2.6. Параметрическое дифференцирование............................................................... 148

3.3. Производные  и дифференциалы высших порядков…………………………….... 152

3.3.1.  Дифференцирование явной функции.................. ……………………………………   .152

3.3.2   Производные высших порядков некоторых элементарных функций. Формула

            Лейбница........................................................... ……………………………………155

3.3.3.   Параметрическое дифференцирование................................................................ 156

3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления............................................. 159

3.4.1. Теоремы о среднем (Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа)......................................... 159

  3.4.2. Формула Тейлора...................................................................................................... 160

3.4.3. Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций........................... 163

3.5. Приложения дифференциального исчисления........................................................ 165

3.5.1   Приближенное вычисление значений функции................................................... 165

3.5.2. Составление уравнений касательной и нормали к кривой...... …………………167

3.5.3. Правило Лопиталя-Бернулли................................................................................... 171

3.6. Исследование функции.................................................................................................... 176

3.6.1. Промежутки монотонности и точки экстремума…….......................................... 176

3.6.2. Промежутки выпуклости и точки перегиба........................................................... 180

3.6.3. Асимптоты графика функции.................................................................................. 183

3.6.4. Общая схема исследования функции и построения графика............................... 185

3.6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции ……    ……………………… 190

3.   ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ  ИСЧИСЛЕНИЕ  ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 

Дифференцирование функции одной переменной

 

Определения и условия существования производной и дифференциала

 

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки . Дадим аргументу  такое приращение , что точка  также принадлежит рассматриваемой окрестности. Соответствующее приращение функции  равно: , или . Приращение  функции  зависит и от , и от приращения аргумента , что иногда подчеркивают записью .

Производной  функции  в точке  называют предел отношения приращения функции  к приращению аргумента  при стремлении последнего к нулю:                                

                                 .                                                             (3.1)

Для обозначения производной используют и другие символы:  Производная может быть как конечной, так и бесконечной величиной. Если предел (3.1) не существует, то и производная  не существует.

Операцию вычисления производной функции называют дифференцированием функции.

Односторонние производные функции  в точке   соответственно равны:

                                    

                                    

где  и  −  правосторонняя (правая) и левосторонняя (левая) производная в точке . При записи правосторонней и левосторонней производной используют и такие обозначения:  и . В граничных точках отрезков можно определить только односторонние производные.

       Если функция  определена на некотором промежутке  и ее производная существует при каждом значении , то формула  определяет производную как функцию аргумента  при .

Теорема 3.1 (критерий существования производной в точке). Чтобы функция  имела  производную в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовали равные односторонние производные  и . При этом имеет место равенство:

Теорема 3.2 (необходимое условие  существования конечной производной функции в точке). Если функция имеет конечную производную в некоторой точке, то функция непрерывна в этой точке:

  Следствие теоремы 3.2. Если функция разрывна в точке , то она не имеет конечной производной в этой точке.

Пример 3.1. Найти производную , если .

’ Функцию  называют идентичной функцией.

       Поскольку область определения этой функции , то  можно определить приращение функции

       Тогда  согласно (3.1) . ■

Пример 3.2. Найти , если  

’ Область определения функции . По определению модуля

При   и  (см. пример 3.1).

При   и    приращение функции равно:   

 Отсюда, при  Тогда

Рассмотрим данную функцию в окрестности точки  Найдем односторонние производные в этой точке:

 

 не существует согласно теореме 3.1.

       Функция является примером функции, определенной и непрерывной на множестве и имеющей производную на всей оси, кроме точки ■

Пример 3.3. Найти , если

‚ Область определения  функции  − это полуось . Для  можно определить приращение функции , если

точка  Тогда согласно (3.1)  .

Итак, . ■

Пример 3.4. Найти , если

‚ Область определения функции  Для любого  можно определить приращение функции . Для удобства последующих вычислений преобразуем его:

Используем формулу для разности кубов и получаем

.

Тогда согласно (3.1)

 

Значит,

Функция  является примером функции определенной, непрерывной и имеющей производную на множестве . Производная функции конечна во всех точках множества , кроме  Производная бесконечна при ■

Пример 3.5. Найти , если функция   

□ Кусочно-заданная функция  определена на всей числовой оси и является непрерывной во всех точках оси, кроме . В силу следствия из теоремы 3.2 в этой точке у функции нет конечной производной, так как точка  является точкой разрыва 1-го рода:  и эти три числа не равны между собой.

При  производная этой функции равна нулю: .

Найдем односторонние производные в точке :

 

 

       Обе односторонние производные бесконечны в точке  Значит, в этой точке существует бесконечная производная  ■

 

Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представимо в виде:

                                                                                                                   (3.2)

где  конечная величина, не зависящая от ; бесконечно малая величина высшего порядка малости относительно  при  и

 Главная линейная относительно  часть приращения дифференцируемой в точке  функции, равная ,  называется дифференциалом функции и обозначается . Наряду с этим обозначением дифференциала используют и другие:

Тогда формулу (3.2) можно переписать в виде:

                                                                        (3.3)

       В приближенных вычислениях отбрасывают слагаемое  полагая его малой величиной, и приращение заменяют дифференциалом :

                                                                                                                                   (3.4) 

       Теорема 3.3. Чтобы функция  была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная , при этом

                , или кратко   ,                                   (3.5)

где  для независимой переменной

Отсюда следует, что производная является отношением дифференциалов  Значит, запись  является не только обозначением производной, но и формулой для ее нахождения. Заметим, что теорема верна и для граничных точек отрезка, если под производной понимать одностороннюю производную.

Операцию вычисления дифференциала функции так же, как и операцию вычисления производной,  называют дифференцированием функции.

Функция  называется дифференцируемой на промежутке  если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Приведем комментарии к результатам, полученным в примерах 3.1−3.5.

● Функция  дифференцируема по теореме 3.3 в любой точке числовой оси, поскольку её производная , т.е. производная существует и конечна при любых значениях ; при этом  при любом  

● Функция  дифференцируема по теореме 3.3 при любых значениях , кроме . При этом . При  недифференцируемая функция, так как в этой точке производная не существует.

● Функция     дифференцируема  по теореме 3.3 при любом положительном

значении  и .

       ● Функция  дифференцируема по теореме 3.3 при любых значениях , кроме . При этом   при  При  − недифференцируемая функция, так как в этой точке производная обращается в бесконечность.

● Функция  дифференцируема по теореме 3.3 при , при этом Функция  не дифференцируема в точке , так как в этой точке не существует конечная производная. 

3.1.2. Смысл производной и дифференциала

Геометрический смысл производной и дифференциала

 

Конечная производная. Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой окрестности точки  и имеющую конечную производную в этой точке. Возьмем на графике функции две точки: и и проведем через них прямую  – секущую графика функции.

 

Эта прямая  образует некоторый угол с положительным направлением оси  Проведем через точку  прямую, параллельную оси  Точку пересечения этой прямой с вертикалью  обозначим  Угол между секущей и осью  равен углу  Очевидно, что для рассматриваемой возрастающей функции приращение функции  равно длине отрезка  а приращение аргумента  – длине отрезка

При  точка  перемещается вдоль заданной кривой и неограниченно приближается к точке  При этом секущая  поворачивается вокруг точки  и стремится к предельному положению, называемому касательной к кривой в точке  Эта прямая образует угол  с положительным направлением оси абсцисс.

Угловой коэффициент секущей  равен тангенсу угла  где  Угловой коэффициент  касательной  получим при помощи предельного перехода по формуле:

                                                                              (3.6)

Отсюда следует геометрический смысл производной: значение производной  равно угловому коэффициенту касательной.

Касательная пересекает вертикаль  в точке  Абсцисса этой точки равна  ордината , где  Так как производная  конечна, то и угловой коэффициент  конечен и . Отсюда следует геометрический смысл дифференциала: значение дифференциала функции  в точке , соответствующего приращению аргумента   равноприращению ординаты касательной, проведенной к графику функции  в точке

Если функция непрерывна в точке , не дифференцируема в этой точке, но имеет неравные конечные односторонние производные в этой точке, то через точку  можно провести две односторонних касательных с угловыми коэффициентами, равными . Односторонние (левосторонняя и правосторонняя)касательные изображаются полупрямыми, ведущими с той или иной стороны (левой или правой) к точке и имеющими указанные угловые коэффициенты.

 У функции  в точке  нет производной, но существуют односторонние производные  Ветви графика являются одновременно односторонними касательными к графику в начале координат (см. рис. 3.2).

Пример 3.6. Найти значение производной  функции  если касательная, проведенная к графику функции в точке , пересекает координатные оси в точках (см. рис. 3.3).

□ Значение  равно угловому коэффициенту  касательной. Касательная − прямая линия, проходящая через точки . По формуле (1.8) угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки , равен  ■

Бесконечная производная. Рассмотрим функцию , непрерывную на отрезке   и имеющую бесконечные производные в точках . В этом случае вертикальные прямые, уравнения которых , являются касательными к графику функции  в точках  

На рис. 3.4 приведены вертикальные касательные в этих точках, соответствующие следующим сочетаниям значений односторонних производных:

а)  б)  в)

г)  Подчеркнем, что во всех четырех случаях .

 

В примерах 3.4 и 3.5 рассмотрены функции с бесконечными производными в точке  В обоих случаях через одну и ту же точку проходит вертикальная касательная, совпадаюшая с осью ординат. Принципиальное различие состоит в том, что одна функция −  − непрерывна в точке , а другая −  − терпит разрыв 1-го рода в точке . На рис. 3.5 приведены графики обеих функций вместе с касательными, проходящими через точку

 

 

Таким образом, непрерывность функции в точке является необходимым условием существования только конечной производной. В случае бесконечной производной функция может быть как непрерывной, так и разрывной в соответствующей точке.

 

Механический  смысл  производной  и  дифференциала

 

Пусть  − время, − путь, пройденный материальной точкой при прямолинейном движении за время . Среднюю скорость движения  на временном отрезке  определяют так: где   Скорость (мгновенную скорость) движения в момент времени  определяют при помощи операции предельного перехода:  Значит, скорость движения  равна производной от пройденного пути  по времени t.

Дифференциал  равен пути, пройденному с момента  по момент времени , при движении с постоянной скоростью, равной  

Пусть  − независимая переменная, − некоторая функция, определенная на промежутке . По аналогии с задачей о движении точки средней скоростью изменения функции  на отрезке  назовем . Тогда скоростьизменения функции  в точке  определяется при помощи операции предельного перехода  и равна значению производной функции  в точке : .

В механике при изучении прямолинейного движения точки наряду со скоростью используют понятие ускорения , которое определяют как скорость изменения скорости движения, т.е.

Пример 3.5. Найти скорость прямолинейного движения точки, если зависимость пройденного пути от времени имеет вид: , при

□ Искомая скорость  равна значению производной Производная  Эту соотношение можно вывести, используя определение производной или применяя правила дифференцирования, изложенные далее. Тогда ■

 

Экономический  смысл  производной  и  дифференциала

 

В экономике производные применяют для получения предельных издержек производства или хранения, предельной выручки от продаж, предельной прибыли и т.п. 

 Если функция есть функция издержек (затрат) при производстве количества  однородной продукции, то  называют средним приращением издержек производства. Значение  равно приращению издержек производства на единицу приращения количества продукции.

Производную  называют предельными издержками производства.

Аналогично, если  выручка от продажи  единиц товара, то производную  называют предельной выручкой.

Если функция описывает зависимость цены некоторого товара (продукта) от времени , то производная  равна скорости изменения цены в выбранный момент времени  и ее называют тенденцией формирования цены товара.

Дифференциал  функции издержек вычисляется по формуле: . При получаем  и по формуле (3.4) для приближенного вычисления приращения функции имеем . Величине производной можно дать следующий экономический смысл: если произведено  изделий, то дополнительные издержки  по производству -го изделия приближенно равны предельным издержкам [21].

Пример 3.6. Издержки производства  зависят от объема продукции по формуле  Определить предельные издержки, если объем продукции составляет 5 единиц. Найти дополнительные издержки по производству шестого изделия.

□ Имеем  При Дополнительные издержки по производству шестого изделия приближенно равны ■

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Используя определения, найдите производные и дифференциалы следующих функций:

 Ответы:

4)

2. Определите значение производной , если касательная, проведенная к графику функции в точке , пересекает координатные оси в точках и :

1) , ; 2) ; 3) , ;  4) ,

Ответы: 1)   2) ; 3) 4)

3. К графику функции в точке проведена касательная, проходящая через точки  Определите значение производной      

Ответ: 0,2.

4. К графику функции в точке проведена касательная, которая образует с положительным направлением оси абсцисс угол: 1) ; 2) ; 3) ; 4)  . Определите значение производной     

Ответы: 1)  2) 3) ; 4) .

 

Табличное дифференцирование

Всякая элементарная функция в каждой точке области определения имеет производную, которая также является элементарной функцией. Выражения для производных основных элементарных функций приведены в табл. 3.1.                                         

                                                                      

.......................................                Таблица 3.1

 

     

      

Формула Лейбница

       Производную п- го порядка вычисляют путем последовательного п- кратного дифференцирования функции. Ниже приведены формулы для производных n -ого порядка некоторых элементарных функций:

        

        3.

        4.

        

 6.

 

Правила вычисления производных высших порядков

 

1. Производная n-го порядка суммы или разности двух функций равна сумме или разности производных n-го порядка этих функций:

2. Формула Лейбница ( для п- й производной произведения). Производная n-го порядка произведения двух функций равна:

      (3.17)

       Вернемся к примеру 3.17. Вычислим третью производную