Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2022-09-11 | 22 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
производные высших порядков
Рассмотрим функцию , заданную явно и имеющую конечную производную в любой точке промежутка . Если функция имеет производную (конечную или бесконечную) в каждой точке , то эту производную называют производной 2-го порядка (второй производной) функции и обозначают
Если в свою очередь функция имеет производную , то ее производная называется производной 3-го порядка (третьей производной): Аналогично берутся производные более высоких порядков.
Если в каждой точке промежутка существует конечная производная (п− 1)-го порядка , то производная n-го порядка по определению равна производной от производной -го порядка:
(3.13)
Порядок производной − число п − определяет число операций дифференцирования, которому подвергается функция. Поэтому естественно за производную нулевого порядка принять саму функцию: . Таким образом, допустимы следующие значения числа п: 0; 1; 2;…; k;… Производные, порядки которых больше единицы (), называют производными высших порядков.
Для производной n -го порядка в произвольной точке используют следующие обозначения: Круглые скобки в знаменателе обычно не пишут. Если порядок производной − конкретное число, то его обозначают штрихами (для производных до третьего порядка включительно), а также записывают римской цифрой без скобок или арабской в скобках:
Если производная п -го порядка функции в точке существует, то ее значение − число (собственное (конечное) или несобственное ), которое обозначается одним из следующих способов:
|
Если производная п-го порядка конечна в точке , то в некоторой ее окрестности определены и непрерывны и сама функция , и все ее производные до -го порядка включительно. Это утверждение можно доказать, опираясь на теорему 3.2.
В граничных точках отрезка производные высших порядков по аналогии с первой производной определяются через значения односторонних производных таких же порядков.
Заметим, что у линейной функции первая производная равна постоянной, а все последующие производные равны нулю: (. У квадратичной функции первая производная является линейной функцией, вторая производная − постоянной, а все последующие производные, начиная с третьей производной, равны нулю. Обобщая наблюдения, можно доказать, что все производные многочлена п -й степени , начиная с производной -го порядка, тождественно равны нулю:
Механический смысл второй производной
Пусть − время, − путь, пройденный материальной точкой при прямолинейном движении за время . В разделе 3.1.2 ускорение движения было определено как скорость изменения скорости движения и описано формулой Так как , то ускорение равно второй производной пути по времени:
Ускорение является важной характеристикой движения. Если ускорение равно нулю на некотором временном промежутке, то движение − равномерное. Если ускорение является положительной фиксированной величиной на временном промежутке, то движение − равноускоренное; если ускорение − отрицательная фиксированная величина, то движение − равнозамедленное.
Вернемся к примеру 3.5, в котором путь, пройденный материальной точкой по прямой за время t, описывался формулой . Ускорение движения Первая производная пути по времени равна вторая производная Значит, на всем пути ускорение постоянно: . Так как , то движение − равноускоренное.
Дифференциалы высших порядков
Продолжим изучение функции , имеющей конечные производные до п- го порядка включительно в каждой точке промежутка По теореме 3.3 эта функция дифференцируема на и ее дифференциал вычисляется по формуле . Назовем его первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка. В частности, в точке первый дифференциал равен .
|
Дифференциалом 2-го порядка(вторым дифференциалом) функции в точке называется дифференциал первого дифференциала, который равен: . Вычислим второй дифференциал в точке , полагая что −
независимая переменная ( рассматриваем как постоянный множитель): . Отсюда имеем: .
Если − произвольная точка промежутка то или Тогда . Получено соотношение, которое использовали для обозначения второй производной.
Дифференциалом 3-го порядка(третьим дифференциалом) функции в точке называется дифференциал второго дифференциала, который равен . Если − независимая переменная, то .
Продолжим процедуру дифференцирования функции. Дифференциал дифференциала ( −1)-го порядка функции в точке называют дифференциалом п-го порядка и обозначают Отсюда, обобщая формулы для дифференциалов 2-го и 3-го, получим связь между производной и дифференциалом п- го порядка: . Эту формулу для дифференциала п- го порядка можно компактно записать в виде
(3.14)
Отсюда
(3.15)
Таким образом, выражение является не только обозначением производной п- го порядка, но и в случае независимой переменной х формулой для нахождения п- й производной как частного п- го дифференциала и п- й степени дифференциала : Можно доказать, что дифференциалы высших порядков в общем случае не обладают инвариантным свойством в отличие от дифференциалов 1-го порядка.
Функцию, имеющую дифференциалы до -го порядка включительно в точке , называют раз дифференцируемой в этой точке. Функцию, раз дифференцируемую в каждой точке промежутка, называют раз дифференцируемой на этом промежутке.
|
Пример 3.17. Найти третью производную и третий дифференциал функции и вычислить их в точке
□ Сначала найдем все производные до третьего порядка включительно:
Потом по формуле (3.14) при получим: .
Подставляя в выражения для и , имеем: В точке третья производная равна числу, а третий дифференциал является степенной функцией дифференциала . ■
Пример 3.18. Вывести формулу для производной п- го порядка функции .
□ Выполним последовательное дифференцирование функции при : ;
;
В результате получим , ■
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!