История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2022-09-11 | 28 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 3.4 (о дифференцированиисуммы, разности, произведения и частного функций). Пусть функции определены в некоторой окрестности точки Если эти функции дифференцируемы в точке то их сумма, разность, произведение и частное также дифференцируемы в точке при этом в точке имеют место соотношения, приведенные в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Производные | Дифференциалы |
Эти формулы называют общими правилами дифференцирования.
Если точка не указана, то функцию дифференцируют при произвольном значении , принадлежащем области определения функции. Если точка указана, то сначала функцию дифференцируют при произвольном значении , принадлежащем области определения функции, а затем вычисляют значение производной или дифференциала в точке .
Пример 3.7. Найти производную функции
□ Применим правило 3 дифференцирования произведения функций: . Затем по правилу 2 из табл. 3.2 находим производную разности двух функций: Производные взяты из табл. 3.1 (см. формулы 2, 1 и 3 соответственно): Подставим эти производные и получим: ■
Пример 3.8. Найти производную и дифференциал функции в точке
□ Преобразуем логарифмическую функцию, произведя переход к основанию, равному числу , по формуле:
Найдем производную и дифференциал в произвольной точке Для этого воспользуемся правилом 5 дифференцирования частного и формулами 1 и 4 из табл. 3.1 для производных функций соответственно:
. Дифференциал выразим по формуле (3.5):
.
Теперь в найденные выражения подставим и получим: ■
3.2.3.Дифференцирование сложной и неявной функции. Инвариантное свойство дифференциала
Теорема 3.5 (о производной сложной функции). Если функция дифференцируема в точке , функция дифференцируема в точке то сложная функция дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле:
|
, или кратко (3.7)
В точке верна и такая запись: . Переменные называют зависимой и независимой переменной дифференцирования соответственно.
Правило дифференцирования сложной функции приводит к важному свойству, называемому инвариантным свойством первого дифференциала.
Дифференциал функции записывается в одной и той же форме
, (3.8)
как в случае независимой, так и в случае зависимой переменной .
Из этого свойства следует, что формула для вычисления дифференциала единая, не зависящая от вида переменной Различие состоит лишь в способе вычисления дифференциала
1) для независимой переменной дифференциал
2) для зависимой переменной дифференциал вычисляется по формуле
Пример 3.9. Найти производную и дифференциал сложной функции
□ По формуле (3.7) имеем:
Далее пользуемся формулой (3.5):
Заметим, этот результат можно было получить другим способом − методом исключения зависимой переменной : , и последующим дифференцированием полученного произведения: ■
Пример 3.10. Найти производную и дифференциал функции
□ Запишем эту сложную функцию в виде композиции двух функций: Применим формулу (3.7) и получим:
Подставим производную в формулу (3.5) и найдем дифференциал:
При значение производной равно Выражение для дифференциала имеет вид и является линейной функцией дифференциала ■
Дифференцирование неявной функции с помощью правила дифференцирования сложной функции
Правило дифференцирования сложной функции можно применять при нахождении производных и дифференциалов неявных фунций.
Рассмотрим уравнение Это соотношение называют неявным уравнением, связывающим неявную функцию и независимую переменную (см. раздел 1.3.2).
|
Например, уравнения и определяют одну и ту же функцию, но отличаются друг от друга формой представления. В первом случае квадратичная функция задана явно, а во втором − неявно.
Будем полагать, что на множестве D существует дифференцируемая функция , обращающая уравнение в тождество . Дифференцируя обе его части как сложную функцию по переменной , получим линейное уравнение относительно производной . Решив его, найдем производную в виде функции переменных Тогда по формуле (3.5) дифференциал
Покажем, что выражения для производной функции, заданной соотношениями и , совпадают. В первом случае (явное задание функции): Во втором (неявное задание функции):
. Как видим, результат не зависит от способа его получения.
Если в качестве независимой переменной выбрана переменная , то уравнение можно рассматривать как соотношение, определяющее неявную функцию Поиск производной () и дифференциала выполняют способом, аналогичным выше описанному.
Пример 3.11. Найти производную и дифференциал функции, заданной неявно уравнением
□ Полагаем, что существует функция независимой переменной , удовлетворяющая заданному уравнению. Дифференцируем данное соотношение по
Уединим производную и получим: .
По формуле (3.5) . ■
Другой способ отыскания производной неявной функции с формулировкой условий ее существования рассмотрен в разделе 5.2.9.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!