Производные высших порядков некоторых элементарных функций.

Формула Лейбница

       Производную п- го порядка вычисляют путем последовательного п- кратного дифференцирования функции. Ниже приведены формулы для производных n -ого порядка некоторых элементарных функций:

        

        3.

        4.

        

 6.

 

Правила вычисления производных высших порядков

 

1. Производная n-го порядка суммы или разности двух функций равна сумме или разности производных n-го порядка этих функций:

2. Формула Лейбница ( для п- й производной произведения). Производная n-го порядка произведения двух функций равна:

      (3.17)

       Вернемся к примеру 3.17. Вычислим третью производную  функции  по формуле Лейбница, полагая

      

       Производные любых порядков функции  равны . Производные линейной функции  соответственно равны:  Производные подставляем в формулу Лейбница для третьей производной произведения и получаем прежний результат: .

Пример 3.20. Показать, что функция  является решением дифференциального уравнения  для  и произвольных значений постоянных

□ Найдем все производные заданной функции до 3-го порядка включительно:  Подставим производные  в дифференциальное уравнение:  В итоге получим истинное равенство, выполненное при любых значениях  и произвольных значениях коэффициентов Вывод: функция  является решением заданного уравнения. ■

 

Параметрическое дифференцирование

       Пусть функция  переменной  задана параметрическими уравнениями:  При наличии дифференцируемых производных функций  и  в некоторой точке  существуют соответствующие производные высших порядков функции  по  в этой точке, вычисляемые по формулам:

                                                                     (3.16)

где

и так далее,      

Пример 3.19.  Найти  функции

□ В примере 3.16 была найдена первая производная заданной функции: .

Применим формулу (3.16):  ■

Задачи для самостоятельного решения

           

1. Найдите производную  и их значения в точке  для следующих функций:

1)  

2)

3)  

4)  

5)

Ответы: 1)

2)

3)

4)

5)  

 

2. Найдите производные  следующих функций:

1) 2)   3) 4)

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4)

3. Выведите формулы для производных п- го порядка  следующих функций:

1) ; 2)

Ответы: 1) ; 2)

4. Найдите производные  следующих функций:

1)  2) 3) 4)

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 

 4)

5. Покажите, что функция  удовлетворяет дифференциальному уравнению  для  и произвольных значений постоянных .

 6. Покажите, что функция  удовлетворяет дифференциальному уравнению  для  и произвольных значений постоянных .

 

 

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теоремы о среднем

Теорема 3.8   (Ферма). Если функция определена в некоторой окрестности точки , принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и дифференцируема в ней, то в этой точке .

       Эту теорему можно сформулировать по-иному, если ввести понятия точек максимума и минимума функции .

       Точка  называется точкой максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство . Точки максимумов и минимумов называются точками экстремума. Понятие точек экстремума носит собирательный характер. Точки минимумов и максимумов также называют точками локального минимума или локального максимума в отличие от точек глобального минимума или максимума, в которых функция достигает своего наименьшего или наибольшего значения на некотором множестве  Значения функции в точках экстремума называют экстремумами − минимумом или максимумом соответственно.

 С учетом введенной терминологии теорему Ферма можно сформулировать более лаконично: в точках экстремума дифференцируемой функции производная обращается в нуль: .

       В теореме сформулировано необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Эта теорема имеет наглядный геометрический смысл (см. рис. 3.6): в точках экстремума дифференцируемой функции касательная параллельна оси абсцисс.

На графике функции  присутствуют две точки экстремума:  – точка максимума,  – точка минимума. В этих точках касательные параллельны оси , так как их угловые коэффициенты равны нулю: .

Теорема 3.9 (Ролля). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и на концах отрезка принимает равные значения , то внутри интервала  найдется, по крайней мере, одна такая точка , что .                       

На рис. 3.7 приведен эскиз графика функции, удовлетворяющей всем условиям теоремы Ролля: 1. непрерывна на ;

2. дифференцируема на ;

3. . В двух точках с абсциссами  и  производная обращается в нуль. В этих точках касательная параллельна оси  и параллельна хорде , «стягивающей концы» графика.

    

Теорема 3.10 (Коши). Если функции  и  непрерывны на , дифференцируемы на ,  на , то внутри интервала  найдется, по крайней мере, одна такая точка , что

                                                                                            (3.18)

Эта формула носит название формулы Коши. Геометрического смысла не имеет, но применяется при доказательстве важных теорем.

       Следствием теоремы Коши является теорема Лагранжа.

Теорема 3.11 (Лагранжа). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на , то внутри интервала  найдется, по крайней мере, одна такая точка , что

                                                                                 (3.19)      

Из теоремы Лагранжа следует, что  

                                         .                                          (3.20)

 Соотношение (3.20) называют формулой конечных приращений. Если ввести обозначения: , где , , то формулу конечных приращений можно переписать в виде:

                                                      .                                               (3.21)

Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Если функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, то на графике функции найдется, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде , «стягивающей концы» графика. На рис. (3.8) в двух точках графика с абсциссами  касательные параллельны хорде . Дробь  равна угловому коэффициенту секущей , что и объясняет приведенную формулу.

Формула Тейлора

 

      Теорема 3.12  (Тейлора). Пусть функция  имеет конечную производную -го порядка в некоторой окрестности точки  Тогда для любого  из этой окрестности найдется такая точка , расположенная между точками  и , что функция  разлагается  и притом единственным образом по степеням двучлена включительно по формуле:

                                                                                      (3.22)

где  − коэффициенты Тейлора, определяемые соотношениями

                                                                                                                  (3.23)

.                                    

− многочлен Тейлора,

− остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

      Формулу (3.22) называют формулой Тейлора -го порядка. Она выражает функцию  в виде суммы многочлена Тейлора п- ой степени по степеням  и остаточного члена. В развернутой записи формула Тейлора -го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

,

или .

      Известно много представлений остаточного члена  [Курант, Фихтенгольц]. Ограничимся описанием лишь двух из них. Одна форма − форма Лагранжа − приведена выше. Если промежуточную точку  записать в виде   где число , то остаточный член в форме Лагранжа примет вид:

      Если остаточный член записать в виде , то такую форму называют формой Пеано. При этом формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано запишется так:

.

Здесь  − бесконечно малая при  функция более высокого порядка малости, чем :  

 

      Абсолютная величина остаточного члена  равна абсолютной погрешности при вычислении приближенного значения  по формуле где − многочлен Тейлора -й степени. Если функция  сама является многочленом -й степени то приближенное равенство следует заменить на точное: , так как в этом случае остаточный член в форме Лагранжа

      Если , то формулу (3.22) называют формулой Маклорена п-й степени.

      Формула Тейлора используется:

1) при переразложении многочлена, т.е. при преобразовании многочлена по степеням  в многочлен по степеням

2) при приближенных выражениях элементарных функций с помощью многочленов;

3) для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов;

4) в геометрии для изучения поведения графика функции в окрестности некоторой точки.

      Пример 3.21. Переразложить многочлен  по степеням

        □ Воспользуемся формулой 3.22. В соответствии с условиями задачи примем  Разложение имеет вид   Сначала найдем все производные данного многочлена до 4-го порядка включительно и вычислим их значения в точке .

,	;
,	;
,	;
,	;
,	.

       По формуле (3.23) найдем коэффициенты Тейлора:                     

Производная , поэтому  С учетом вычислений получим разложение: для любого

       Заметим, что данный пример можно решить заменой  в многочлене  выражением . Этот путь требует больших усилий и поэтому не рассматривается.■

      Пример 3.22. Разложить функцию  по степеням  включительно.

      □ Здесь  Разложение по формуле Маклорена 3-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

 и применимо на всей числовой оси.

      Найдем все производные данной функции до 4-го порядка включительно:

Далее:

Искомое разложение  называется формулой Маклорена 3-го порядка для функции . ■