И классификация электрических цепей

ВВЕДЕНИЕ

Подобно тому, как основные законы, методы исследования и обобщения в области электротехники стали предметом специаль­ного теоретического курса «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ), в области радиотехники сложился теоретический курс «Теоретические основы радиотехники» (ТОР). Дальнейшее разви­тие и дифференциация радиоэлектроники привели к выделению из этих курсов отдельных теоретических дисциплин «Теория электро­радиоцепей» (ТЭРЦ), «Теория электромагнитного поля» (ТЭМП) и др.

Курс ТЭРЦ представляет обобщение основных разделов тео­ретических основ электро- и радиотехники, относящихся к мето­дам анализа и синтеза различных электро- и радиотехнических цепей. Теория электрорадиоцепей определяет методологическую основу двух обширных областей науки и техники: электротехники и радиотехники. Курс ТЭРЦ содержит общую теорию сигна­лов, цепей и инженерные методы их расчета, анализа и, син­теза. Он основывается на дисциплинах физики и высшей матема­тики.

Главные задачи, решаемые в теории электрорадиоцепей, могут быть подразделены на две группы: анализ и синтез. Задачей ана­лиза является исследование процессов, протекающих в цепи с за­данной структурой при известных параметрах ее элементов. Задача синтеза заключается, наоборот, в отыскании структуры цепи и параметров ее элементов, при которых процессы в ней бу­дут подчиняться заданным закономерностям. Синтез является зна­чительно более сложной задачей, чем анализ.

Курс ТЭРЦ является фундаментальной дисциплиной для спе­циалистов радиотехнического профиля. На нем основываются та­кие дисциплины, как «Основы радиолокации», «Радиопередающие и радиоприемные устройства», «Основы импульсной техники», «Основы автоматики» и др. Совместно с ними курс ТЭРЦ обеспе­чивает обучение курсантов и слушателей умелому и эффектив­ному использованию и совершенствованию радиоэлектронных средств ПВО. Обучение по дисциплине ТЭРЦ направлено на овла­дение инженерными методами расчета, анализа и синтеза самых

различных электро- и радиотехнических, а также радиоэлектрон­ных схем и систем.

Большой вклад в развитие теоретических основ электро- и ра­диотехники внесен многими русскими и советскими учеными. Пер­вые труды в области электричества в России принадлежат гени­альному русскому ученому М. В. Ломоносову. В развитие радиотехники выдающийся вклад сделал замечательный русский ученый, изобретатель радио А. С. Попов — преподаватель электро­техники в Минном офицерском классе в Кронштадте.

Трудно переоценить вклад в развитие радиотехники в Совет­ской России, сделанный сотрудниками Нижегородской радиола­боратории во главе с известным ученым профессором М. А. Бонч-Бруевичем. Эта лаборатория, ставшая первым нашим научно-исследовательским институтом в области радио, была организо­вана в 1918 г. по инициативе В. И. Ленина.

К фундаментальным работам в области электро- и радиотех­ники, оказавшим существенное влияние на их развитие, относятся труды советских ученых, в том числе академиков Ю. Б. Кобзарева, В. А. Котельникова, В. Ф. Миткевича, Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, членов-корреспондентов АН СССР К. А. Круга, В. И. Сифорова и др.

Значительный вклад внесли советские ученые и в развитие тео­ретических основ электро- и радиотехники, а вместе с этим и тео­рии электрорадиоцепей как фундаментальных дисциплин высшей школы.

Составной частью курса ТЭРЦ является общая теория цепей. Три последних десятилетия свидетельствуют, что классическая теория цепей стала областью науки, приложение которой все дальше расширяется, отходя от ее первоначальных задач — ана­лиза и синтеза электрорадиоцепей. Успехи радиоэлектроники, микроэлектроники и вычислительной техники сводят в настоящее время классическую теорию цепей к положению специализирован­ного раздела более общей теории — теории систем, которая изу­чает все типы систем, а не только электро- и радиотехнические системы. Это вполне закономерно, так как теория цепей и теория систем различного типа имеют общую математическую основу.

Множество явлений и объектов в окружающей нас действи­тельности могут быть представлены в виде систем. В широком смысле система — это совокупность взаимодействующих элемен­тов произвольной природы. Обычно на систему действуют внешние воздействия или возмущения, называемые входными сигналами. В качестве реакции, т. е. отклика на это действие, система выпол­няет некоторые функции, появляются выходные сигналы.

Первым важным шагом в анализе системы является ее пред­ставление с помощью математической модели, математических вы­ражений. Однако математические модели представляют физиче­скую реальность в некоторой упрощенной, идеализированной форме. Такая идеализация, упрощение, является одной из харак-

терных черт научного метода, заключающегося в обобщении боль­шого числа сложных фактов, явлений и приведении в соответствие им простой, понятной теории, математических соотношений. Это делает понятными многие наблюдаемые явления.

Методы теории цепей основаны на представлении системы эк­вивалентной цепью, состоящей из идеализированных элементов, параметры которых выражают параметры реальной системы. Та­кая цепь, представленная совокупностью идеализированных эле­ментов, является идеализированной моделью реального устрой­ства. Эквивалентная электрическая цепь может рассматриваться как одна из форм представления системы дифференциальных уравнений, описывающих реальную физическую систему. Эти уравнения, в свою очередь, могут быть легко найдены при рас­смотрении и анализе эквивалентной цепи. Причем основные ме­тоды и правила нахождения этих уравнений оказываются полно­стью не зависимыми от типа физической системы, которая пред­ставляется цепью, будь то электрическая, механическая, акустическая или другая система. Решение уравнений цепи выра­жает реакцию или отклик анализируемой системы на входные воз­действия при заданных начальных условиях.

Таким образом, методы теории цепей включают:

составление эквивалентной идеализированной цепи, соответ­ствующей реальной системе или устройству;

составление, запись и решение уравнений цепи;

приведение полученных результатов в соответствие с анализи­руемой реальной системой.

В основе всего курса теории цепей лежит диалектический ме­тод—единственный научный метод познания. «От живого созер­цания,— говорит В. И. Ленин,— к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» (Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 29, с. 152—153).

Теория цепей строится на основе физических законов и мате­матических методов путем определения идеальных элементов цепи и установления основных аксиом. Аксиомами являются законы Кирхгофа, а идеализированные элементы достаточно разно­образны, чтобы обеспечить моделирование большинства реальных устройств.

Известно, что законы сохранения, т. е. постоянства какой-то ве­личины, заняли главенствующее положение среди законов при­роды. Законы Кирхгофа по своей сути являются законами сохра­нения. Поэтому методы теории цепей, основанные на этих зако­нах, можно применять для решения широкого по своему разнооб­разию круга системных задач.

Теория электрорадиоцепей — пример в значительной мере ма­тематизированной дисциплины, что является ее сильной стороной. Математические методы — важный инструмент теории цепей. Ма­тематизация технических наук позволяет глубже раскрыть про­цессы объективно существующей реальности. По словам Лео-

нардо да Винчи, никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой. При этом, конечно, исключительно важное значение имеет указание В. И. Ленина о том, что любое математическое уравнение, описывающее то или иное явление, следует связать с реально существующим объектом, с объективной реальностью.

Познакомившись с методами теории цепей с наиболее общей точки зрения, перейдем к изучению на их основе методов анализа и синтеза электрорадиоцепей, являющихся одной из разновидно­стей систем. С помощью этих методов изучим особенности про­цессов, протекающих в электрорадиоцепях при действии различ­ных сигналов и возмущений, познакомимся с характеристиками сигналов и особенностями их прохождения через различные цепи.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ХАРАКТЕРИСТИКИ

И ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕПИ

 

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромаг­нитные процессы в которых могут быть описаны с помощью поня­тий об электродвижущей силе (э.д.с.), токе и напряжении.

Элемент электрической цепи — отдельное устройство, входя­щее в состав электрической цепи, выполняющее в ней определен­ную функцию. К числу основных элементов электрической цепи относятся резистор, индуктивная катушка и конденсатор. Каждое из этих устройств предназначено для использования соответ­ственно его электрического сопротивления, индуктивности и ем­кости.

Основной формой представления электрической цепи является графическая: с помощью схемы. Схема электрической цепи — гра­фическое изображение цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и показывающее их соединение.

Реальные электро- и радиотехнические цепи и устройства до­статочно сложны. Чтобы облегчить изучение протекающих в них электромагнитных процессов, эти цепи заменяют эквивалентными. Теория цепей основывается на анализе и синтезе эквивалентных электрических цепей. Эквивалентная электрическая цепь —это идеализированная модель реальной электрической цепи, представ­ленная совокупностью идеализированных элементов. Каждый из элементов этой цепи является условным идеализированным представлением элемента реальной цепи. Понятие идеализированного элемента цепи непосредственно связано с вполне определенным математическим соотношением, существующим между током и напряжением, действующим на его зажимах. В дальнейшем для простоты под терминами «электрическая цепь» и «элемент цепи» будем подразумевать эквивалентную цепь и ее идеализированный элемент.

Различают элементы пассивные и активные, линейные и нели­нейные, с постоянными и переменными параметрами.

Пассивные элементы — этоэлементы электрической цепи, вко­торых рассеивается или накапливается энергия. Кчислу пассив­ных элементов относятся резистивный, индуктивный и емкостной элементы, т. е.сопротивление, индуктивность и емкость.

Сопротивление r — элемент цепи, в котором происходит только необратимое преобразование электрической энергии втепловую. Напряжение и ток на его зажимах (рис. 1.1) связаны пропорцио­нальной зависимостью:

    (1.1)

Величина, обратная сопротивлению, называется проводи­мостью:

  (1.2)

Сопротивление rизмеряется в омах (Ом), а проводимость g — всименсах (См). Часто сопротивление и проводимость называют активным сопротивлением и активной проводимостью. Термин «активное» указывает на связь с активной мощностью.

Индуктивность L — элемент цепи, в магнитном поле которого происходит обратимое накопление энергии. Напряжение и ток на его зажимах (рис. 1.2) связаны через дифференцирование:

 (1.3)

При протекании тока i через индуктивную катушку с числом витков ωв ней возникает магнитный поток Ф. Потокосцеплением индуктивной катушки называют сумму магнитных потоков, сцеп­ленных с ее витками. Потокосцепление Ψравно произведению потока на число витков:

 (1.4)

Индуктивность L позволяет выразить потокосцепление через вызывающий его ток, ее значение определяется отношением потокосцепления ктоку:

 (1.5)

Индуктивность измеряется в генри (Г).

Емкость С —элемент цепи, в электрическом поле которого про­исходит обратимое накопление энергии. Напряжение и ток на его зажимах (рис. 1.3) связаны через интегрирование:

(1.6)

Ha емкостном элементе накапливается заряд q, величина кото­рого пропорциональна напряжению на зажимах элемента. Ем­кость С позволяет выразить за­ряд через напряжение, ее значе­ние определяется отношением за­ряда к напряжению:

. (1.7)

Емкость измеряется в фара­дах (Ф).

Идеализированные элементы цепи — сопротивление r, индук­тивность L, емкость С — отра­жают основные свойства ипара­метры соответственно резисто­ров, индуктивных катушек и кон­денсаторов. Однако резистор, например, обладает некоторой собственной емкостью и индук­тивностью, значения которых зависят от его конструктивного ис­полнения и которые при опре­деленных условиях необходимо учитывать. Это же относится и к индуктивной катушке, обладающей собственным сопротивлением и емкостью, учитывающими соответственно потери энергии в об­мотке и сердечнике и межвитковые емкости. Для конденсаторов характерны индуктивности выводов и потери энергии в диэлек­трике, что определяет, вконечном счете, его собственное сопро­тивление и индуктивность.

Спомощью идеализированных элементов r, L и С можно со­ставить эквивалентные схемы резисторов (рис. 1.4,а), индуктив­ных катушек (рис. 1.4,6) иконденсаторов (рис. 1.4,в), учитываю­щие их дополнительные свойства и параметры. Параметры таких схем определяют экспериментальным или расчетным путем.

Пассивные элементы могут быть линейные и нелинейные, с по­стоянными и с переменными параметрами. Рассмотренные выше идеализированные элементы r, L и С являются линейными элемен­тами с постоянными параметрами.

Линейными элементами называются элементы цепи, параметры которых не зависят от приложенного к ним напряжения и проте­кающего через них тока. Если параметры элементов зависят от значения или направления действующего напряжения и протекаю-

 

 

щего тока, то их называют нелинейными (рис. 1.5). Примерами нелинейных элементов могут служить полупроводниковые и элек­тронные приборы, индуктивные катушки с ферромагнитным сер­дечником и др.                          

Элементы спостоянными параметрами — это линейные эле­менты, параметры которых не зависят от времени. Элементы цепи, параметры которых меняются во времени по определенному за­кону называются элементами спеременными параметрами

(рис. 1.6).

Активные элементы — это источники энергии. Разли­чают источники э. д. с. или напряжения и источники тока.

Источник э.д.с. — источ­ник электрической энергии, напряжение на зажимах ко­торого не зависит от проте­кающего через него тока (рис. 1.7,а). При замыка­нии идеального источника э.д.с. через него протекает бесконечно большой ток, так как его внутреннее сопро­тивление равно нулю. В ре­альных источниках э. д. с. ток короткого замыкания имеет конечное значение, так как такие источники характеризуются наличием конечного внутреннего со­противления ген (рис. 1.7,6).

Источник тока — источник электрической энергии, ток кото­рого не зависит от напряжения на его зажимах (рис. 1.8, а). При разомкнутых зажимах идеального источника тока напряжение на них достигает бесконечно большого значения. В реальных источ­никах тока напряжение холостого хода на их зажимах имеет ко­нечное значение, так как такие источники характеризуются ко­нечным внутренним сопротивлением (рис. 1.8,6).

 

 

Рассмотренные источники э.д.с. и тока являются независи­мыми или автономными.

Зависимыми или неавтономными источниками э. д. с, (тока) называются источники электрической энергии, напряжение (ток) которых зависит от значений напряжения или тока, действующего нанекоторых участках цепи (рис. 1.9),

Классификация электрических цепей осуществляется всоответ­ствии с характером элементов, из которых состоит цепь, и уравне­ний, которыми она описывается.

Различают цепи пассивные иактивные, линейные и нелиней­ные, цепи спостоянными и с переменными параметрами.

Пассивная цепь — это электрическая цепь, не содержащая источников электрической энергии. Если цепь содержит хоть один источник энергии, она называется активной.

Линейная цепь не содержит нелинейных элементов. Если цепь содержит хоть один нелинейный элемент, она называется нели­нейной. Если же в ее состав входят элементы с переменными па­раметрами, то она называется цепью с переменными параметрами или параметрической цепью. Такие цепи в общем случае описы­ваются соответственно линейными или нелинейными дифферен­циальными уравнениями с постоянными или переменными коэф­фициентами.

Следует отметить, что, строго говоря, все реальные цепи яв­ляются нелинейными. Однако при определенной идеализации, врамках допустимых на практике приближений, многие реальные цепи можно считать линейными. Это позволяет значительно упро­стить расчеты, применяя к ним теорию линейных цепей.

Взависимости от соотношения геометрических размеров l ре­альной электрической цепи и длины волны электромагнитных колебаний λ, воздействующих на цепь, различают цепи с сосредо-

точенными параметрами  и с распределенными парамет­рами (l >> λ). Четкой границы нет. В электрической цепи с сосре­доточенными параметрами все сопротивления, индуктивности и емкости считаются сосредоточенными на отдельных ее участках. В электрической цепи с распределенными параметрами сопротив­ления, индуктивности и емкости распределены вдоль цепи. Приме­ром такой цепи может служить длинная линия связи.

 

ПОНЯТИЕ О ДУАЛЬНОСТИ.

ДУАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ЦЕПИ

Условие дуальности заключается в том, что закон изменения токов в одной цепи подобен закону изменения напряжений в дру­гой цепи. Две цепи называются дуальными, если уравнение для напряжений одной из них можно выразить через уравнение для токов другой цепи. Элементы цепи, удовлетворяющие условию дуальности, называются дуальными. Такими являются, например, сопротивление и проводимость, индуктивность и емкость, источ­ник э. д. с. и источник тока (табл. 1.1),

При последовательном соединении элементов (рис. 1.10,а) суммируются напряжения, при параллельном (рис. 1.10,6) — токи. Поэтому последовательному соединению — дуально параллельное, и наоборот. Если, например, последовательное соединение элемен­тов r, L, С заменить параллельным соединением дуальных им элементов g, С, L, то это и будут дуальные цепи (рис, 1.10),

Уравнение для напряжений последовательной цепи соответ­ствует уравнению для токов параллельной цепи. Току i впервом случае соответствует напряжение и во втором случае.

Принцип дуальности часто используется при анализе и синтезе цепей, атакже в технике моделирования.

 

Элементы топологии цепей

 

При расчете и анализе электрической цепи большую роль иг­рает изучение и учет ее геометрической структуры, геометриче­ского образа цепи. Они основаны на топологии. Топология — раз-

дел математики, в котором исследуются геометрические свойства фигур, не зависящие от их размеров ипрямолинейности. Кчислу основных геометрических топологических понятий, используемых в теории электрических цепей, относятся: ветвь, узел, контур, граф.

Ветвь — участок электрической цепи, представляющий собой последовательное соединение одного или нескольких элементов, через которые в любой момент времени протекает один и тот же ток.

Узел электрической цепи — место соединения ее ветвей. На схемах узлы изображаются точкой.

Контуром электрической цепи называют любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

Топологические свойства линейной электрической цепи изу­чают путем замены всех ее элементов линиями. Если на схеме цепи (рис. 1.11,а) все узлы заменить точками, аветви — линиями,

то полученный остов называется топологическим графом цепи (рис. 1.11,6). Граф цепи — это такое изображение ее схемы, на котором все узлы заменены точками, а ветви — линиями.

Узел графа — точка соединения трех и более ветвей. Ветвь графа — это ветвь схемы цепи, вырожденная в линию. Ветвь графа образуется лишь из ветвей цепи, содержащих такие элементы, как сопротивление, индуктивность или емкость. По ветвь цепи, содер­жащая лишь идеальные источ­ники энергии, не образует ветви на графе. Обратим вни­мание на особенности учета источников энергии при по­строении графа. Перед по­строением графа цепи каждый идеальный источник тока за­меняется разрывом его ветви, а идеальный источник э. д. с.— коротким замыканием его за­жимов. Объясняется это тем, что внутреннее сопротивление этих элементов равно беско­нечности или нулю соответственно, а это эквивалентно разрыву или замыканию ветви (рис. 1.12).

Важными понятиями в топологии цепей являются дерево графа и связь или хорда графа.

Дерево графа — любая совокупность ветвей графа, соединяю­щих все его узлы без образования контуров. Так как узлы графа можно, не образуя контуры, соединить линиями по-разному, каж­дому графу соответствует несколько различных деревьев, напри­мер, как это показано сплошными линиями на рис. 1.13. Число ветвей на дереве графа на единицу меньше числа соединяемых ими узлов. Число ветвей графа является важной характеристикой цепи, определяющей число ее независимых узлов. Независимыми называются все узлы схемы, которые образуют соответствующие узлы на ее графе, исключая любой один из них. Число независи­мых узлов равно числу ветвей на дереве графа.

 

 

Связь (хорда) графа — ветвь графа, не принадлежащая его дереву. Па рис. 1.13 связи графа показаны пунктиром. При допол­нении дерева графа связью (хордой) на графе образуется контур. Каждый из этих контуров не может быть образован только из эле­ментов других контуров и называется независимым контуром. Число независимых контуров равно числу связей (хорд) на графе. Например, цепи, приведенные на рис. 1.11 и 1.12, имеют три не­зависимых контура по числу связей графа.

Часто на ветвях графа стрелкой указывают направления. Та­кой граф становится направленным. Ориентация обычно соответ­ствует принятым направлениям токов, протекающих в соответ­ствующих ветвях цепи, или напряжений, действующих на их за­жимах. Направленный граф схемы — это граф с указанием условно-положительных направлений токов или напряжений в виде отрезков со стрелками.

ЗАКОН ОМА И ЗАКОНЫ КИРХГОФА

ДЛЯ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основными законами, лежащими в основе анализа электриче­ских цепей, являются законы, установленные немецкими физиками Г. С. Омом (в 1827 г.) и Г. Р. Кирхгофом (в 1845 г.) для цепей постоянного тока.

Закон Ома для участка цепи без э.д.с. (рис. 2.1) утверждает, что ток I в участке цепи равен отношению напряжения U на этом участке к активному сопротивлению r этого участка:

  (2.1)

Введя вместо сопротивления r проводимость , получим

  (2.2)

т. е. ток I в участке цепи равен произведению напряжения Uна проводимость участка g.                               

Электрический ток I — величина скалярная. Однако его при­нято характеризовать и направлением. За действительное направ-

 

ление тока принимают направление движения положительных за­рядов. Во внешней по отношению к источнику электрической энер­гии части цепи ток направлен от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом. Если действительное направле­ние тока заранее неизвестно, то его выбирают произвольно. Такое произвольно выбранное направление тока счи­тают положительным. Оно обычно указы­вается стрелкой на схеме цепи. Если дей­ствительное направление тока совпадает с произвольно выбранным положительным на­правлением, то считают, что ток положите­лен, если не совпадает — то ток отрицателен.

Под напряжением или падением напряже­ния на участке электрической цепи пони­мается разность потенциалов между край­ними точками этого участка, например (см. рис. 2.1.). Напряжение, как и ток, величина скалярная. Однако напряжение также принято характеризовать направлением. Считают, что напряжение направ­лено от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потен­циалом. Положительное направление напряжения, выбираемое произвольно, обозначают стрелкой на схеме цепи (см. рис. 2.1) или индексами при аналитической форме записи. Например,  означает, что напряжение направлено от точки 1 к точке 2. За положительное направление напряжения обычно принимают вы­бранное положительное направление тока. В этом случае не воз­никает необходимости дополнительного указания положительного направления напряжения на схеме цепи.

Закон Ома для замкнутой цепи, состоящей из последователь­ного соединения п сопротивлений и m источников э.д.с., выра­жается формулой

, (2.3)

т. е. ток в неразветвленной замкнутой цепи равен отношению ал­гебраической суммы э. д. с. к сумме всех активных сопротивлений цепи.

При алгебраическом суммировании со знаком «плюс» берутся те э. д. с., направление которых совпадает с направлением тока, а со знаком «минус» те э. д.с., направление которых не совпадает с направлением тока. В сумму сопротивлений входят как внешние сопротивления цепи, так и внутренние сопротивления источников э.д.с. Например, закон Ома для замкнутой цепи, приведенной на рис. 2.2, может быть записан в виде

Используя закон Ома, можно наглядно представить распреде­ление потенциалов вдоль неразветвленной электрической цепи

 

с помощью графика, который называют потенциальной диа­граммой.

В качестве примера на рис. 2.3 приведена потенциальная диа­грамма электрической цепи, схема которой изображена на рис. 2.2. При построении диаграммы потенциал одной из точек, напри­мер , полагают равным нулю. По горизонтальной оси отклады-

вают величины сопротивлений, а по вертикальной — потенциалы. При переходе через источник э. д. с. по направлению, совпадаю­щему с направлением э. д. с., потенциал возрастает на величину э. д. с. При переходе через источник э. д. с. в направлении, проти­воположном направлению э. д. с., потенциал уменьшается на вели­чину э. д. с. При переходе через сопротивление в направлении, совпадающем с направлением тока, потенциал линейно убывает на величину падения напряжения. При переходе через сопротив­ление в направлении, противоположном направлению тока, по­тенциал линейно возрастает на величину падения напряжения.

Первый закон Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма токов вузле электрической цепи равна нулю:

, (2.4)

При этом необходимо с одинаковым знаком брать токи, прите­кающие к узлу, и с противоположным — утекающие от него. На­пример, для узла, изображенного на рис. 2.4, по первому закону Кирхгофа можно записать

Следует отметить, что первый закон Кирхгофа является след­ствием закона сохранения заряда: заряд, приходящий за какой-то интервал времени к узлу, равен заряду, уходящему за это же время от узла, т. е. электрический заряд в узле не накапливается и не расходуется. Этот закон применим не только к узлу, но и к любой части, выделенной из цепи,

Второй закон Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма э. д. с., действующих в любом контуре произвольной разветвлен­ной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех активных сопротивлениях этого контура:

, (2.5)

Для составления этого уравнения необходимо задаться направ­лением обхода контура, которое обычно обозначается на схеме стрелкой. При алгебраическом сумми­ровании э. д. с. и падений напряжения следует брать со знаком «плюс» те э. д. с. и падения напряжения, направление ко­торых совпадает с направлением об­хода, а со знаком «минус» те из них, которые направлены против. Например, для контура, изображенного на рис. 2.5, второй закон Кирхгофа можно записать в виде

Следует отметить, что для неразветвленной замкнутой элек­трической цепи выражения, записанные по второму закону Кирх­гофа и закону Ома, практически совпадают.

БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ

В ЦЕПЯХ ПОСТОЯННОГО ТОКА

 

Если в участке цепи с активным сопротивлением rпод дей­ствием приложенного к нему напряжения U протекает ток I, то выделяемая в нем мощность будет равна

P=UI.                                  (2.6)

Учитывая, что U = rl и I = gU, получим другие выражения для этой мощности:

.                          (2.7)

Эта мощность всегда положительна.

Если через источник э.д.с. Е протекает ток I, то вырабатывае­мая им мощность будет равна

Р=Е I.                              (2.8)

Эта мощность может быть как положительной, когда направ­ления Е и I совпадают, так и отрицательной, когда направления Е и I противоположны, например в аккумуляторе во время его зарядки.

Согласно закону сохранения энергии в элементах цепи потреб­ляется столько энергии, сколько ее отдается находящимися в ней

 

источниками. Поэтому алгебраическая сумма мощностей, отда­ваемых всеми источниками энергии в цепи, равна сумме мощно­стей, потребляемых в ее элементах:

, (2.9)

Это равенство называют уравнением балансамощностей в це­пях постоянного тока.

В качестве примера запишем уравнение баланса мощностей для схемы цепи, приведенной на рис. 2.6:

.            (2.10)

Мощность EI, вырабатываемую источни­ком э. д. с., часто называют полной мощностью. Мощность rI ², потребляемую нагрузкой, назы­вают полезной мощностью, а мощность , расходуемую внутри источника э. д. с., — мощ­ностью потерь. Мощность Р в цепях постоян­ного тока измеряется в ваттах (Вт).

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СХЕМ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Эквивалентным преобразованием части схемы электрической цепи называют такое преобразование, при котором токи и напря­жения в непреобразованной ее части остаются прежними.

Рассмотрим некоторые эквивалентные преобразования, упро­щающие расчет электрических цепей.

2.3.1. Преобразование схем с последовательным,

МЕТОД УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА

 

Самым общим методом расчета сложных электрических цепей является метод уравнений Кирхгофа. Сущность этого метода со­стоит в составлении системы уравнений в соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа и решении этой системы относи­тельно неизвестных токов.

Если сложная электрическая цепь имеет y узлов и в ветвей, а следователь­но, в неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему в линейно независимых уравнений. Покажем, что эти уравнения можно составить по пер­вому и второму законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа можно составить всего столько уравнений, сколько узлов имеет цепь, т. е. у урав­нений. Однако линейно независимыми будут только y —1 уравне­ний. Это следует из того, что после сложения у —1 уравнений, составленных для всех узлов, кроме одного, получим уравнение, в которое входят только токи, сходящиеся в последнем узле, так как остальные токи войдут в сумму два раза с противополож­ными знаками и сократятся. Это уравнение будет отличаться от уравнения для последнего узла только знаками токов. Умножим его на —1, получим уравнение для последнего узла.

Для иллюстрации этого положения составим уравнения по пер­вому закону Кирхгофа для схемы, приведенной на рис. 2.19: для первого узла

I₁-I₂ + I₃ = 0;                                 (2.26)

для второго узла

I₅-I₃-I₄ = 0;                             (2.27)

для третьего узла

I₂-I₁+I₄-I₅ = 0.                       (2.28)

Сложив выражения (2.26) и (2.27), получим

-I₂ + I₁-I₄+I₅ = 0.

Умножим это уравнение на —1, получим уравнение для треть­его узла (2.28), т. е. уравнение для последнего узла можно полу­чить линейными комбинациями из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для первых y —1 узлов. Таким обра­зом, для цепи, имеющей y узлов, по- первому закону Кирхгофа можно составить у — 1 линейно независимых уравнений.

Остальные n =в — (у —1) линейно независимые уравнения со­ставляются по второму закону Кирхгофа.

Для того чтобы показать это, воспользуемся топологическими свойствами электрической цепи. Так как при добавлении связи графа к дереву графа схемы электрической цепи образуется один

 

контур, то число связей графа схемы равно числу независимых контуров электрической цепи. Если учесть, что дерево графа со­держит все узлы электрической цепи, число которых равно y, а число ветвей на дереве графа на единицу меньше числа узлов, т. е. равно y — 1, то общее число ветвей в цепи будет

в=(у-1)+ n,                     (2.29)

где п — число связей графа схемы электрической цепи, равное числу независимых контуров.

Отсюда получается выражение для определения числа связей дерева графа, а следовательно, и числа независимых контуров электрической цепи

n = в-(у-1)                     (2.30)

Для иллюстрации этого рассмотрим схему электрической цепи, приведенную на рис. 2.19. Граф схемы этой цепи приведен на рис. 2.20, а одно из деревьев графа схемы — на рис. 2.21. Дерево графа этой цепи содержит три узла и две ветви, т. е. y — 1 ветвей. Число связей графа схемы равно трем. Так как всего ветвей на графе пять, то, следовательно, выполняется соотношение для числа связей гра