Анализ цепей постоянного тока

Изложение методов анализа электрических цепей начнем, с це­пей постоянного тока, т. е. с цепей, в которых токи, напряжения и э.д.с. не изменяются с течением времени. Сопротивление индук­тивности в таких цепях равно нулю, а емкости — бесконечности. Поэтому эти элементы можно не изображать на схемах цепей, заменив индуктивности линиями, не имеющими сопротивления, и исключив из схем ветви, содержащие емкости. Исследование та­ких цепей проще, чем цепей синусоидального тока. В то же время все методы анализа цепей постоянного тока можно обобщить на цепи синусоидального тока без повторения всех выводов и дока­зательств.

Вначале рассмотрим основные законы, лежащие в основе рас­чета электрических цепей, и эквивалентные преобразования схем электрических цепей, а затем — методы расчета сложных цепей и основные теоремы теории цепей.

 

ЗАКОН ОМА И ЗАКОНЫ КИРХГОФА

ДЛЯ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основными законами, лежащими в основе анализа электриче­ских цепей, являются законы, установленные немецкими физиками Г. С. Омом (в 1827 г.) и Г. Р. Кирхгофом (в 1845 г.) для цепей постоянного тока.

Закон Ома для участка цепи без э.д.с. (рис. 2.1) утверждает, что ток I в участке цепи равен отношению напряжения U на этом участке к активному сопротивлению r этого участка:

  (2.1)

Введя вместо сопротивления r проводимость , получим

  (2.2)

т. е. ток I в участке цепи равен произведению напряжения Uна проводимость участка g.                               

Электрический ток I — величина скалярная. Однако его при­нято характеризовать и направлением. За действительное направ-

 

ление тока принимают направление движения положительных за­рядов. Во внешней по отношению к источнику электрической энер­гии части цепи ток направлен от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом. Если действительное направле­ние тока заранее неизвестно, то его выбирают произвольно. Такое произвольно выбранное направление тока счи­тают положительным. Оно обычно указы­вается стрелкой на схеме цепи. Если дей­ствительное направление тока совпадает с произвольно выбранным положительным на­правлением, то считают, что ток положите­лен, если не совпадает — то ток отрицателен.

Под напряжением или падением напряже­ния на участке электрической цепи пони­мается разность потенциалов между край­ними точками этого участка, например (см. рис. 2.1.). Напряжение, как и ток, величина скалярная. Однако напряжение также принято характеризовать направлением. Считают, что напряжение направ­лено от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потен­циалом. Положительное направление напряжения, выбираемое произвольно, обозначают стрелкой на схеме цепи (см. рис. 2.1) или индексами при аналитической форме записи. Например,  означает, что напряжение направлено от точки 1 к точке 2. За положительное направление напряжения обычно принимают вы­бранное положительное направление тока. В этом случае не воз­никает необходимости дополнительного указания положительного направления напряжения на схеме цепи.

Закон Ома для замкнутой цепи, состоящей из последователь­ного соединения п сопротивлений и m источников э.д.с., выра­жается формулой

, (2.3)

т. е. ток в неразветвленной замкнутой цепи равен отношению ал­гебраической суммы э. д. с. к сумме всех активных сопротивлений цепи.

При алгебраическом суммировании со знаком «плюс» берутся те э. д. с., направление которых совпадает с направлением тока, а со знаком «минус» те э. д.с., направление которых не совпадает с направлением тока. В сумму сопротивлений входят как внешние сопротивления цепи, так и внутренние сопротивления источников э.д.с. Например, закон Ома для замкнутой цепи, приведенной на рис. 2.2, может быть записан в виде

Используя закон Ома, можно наглядно представить распреде­ление потенциалов вдоль неразветвленной электрической цепи

 

с помощью графика, который называют потенциальной диа­граммой.

В качестве примера на рис. 2.3 приведена потенциальная диа­грамма электрической цепи, схема которой изображена на рис. 2.2. При построении диаграммы потенциал одной из точек, напри­мер , полагают равным нулю. По горизонтальной оси отклады-

вают величины сопротивлений, а по вертикальной — потенциалы. При переходе через источник э. д. с. по направлению, совпадаю­щему с направлением э. д. с., потенциал возрастает на величину э. д. с. При переходе через источник э. д. с. в направлении, проти­воположном направлению э. д. с., потенциал уменьшается на вели­чину э. д. с. При переходе через сопротивление в направлении, совпадающем с направлением тока, потенциал линейно убывает на величину падения напряжения. При переходе через сопротив­ление в направлении, противоположном направлению тока, по­тенциал линейно возрастает на величину падения напряжения.

Первый закон Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма токов вузле электрической цепи равна нулю:

, (2.4)

При этом необходимо с одинаковым знаком брать токи, прите­кающие к узлу, и с противоположным — утекающие от него. На­пример, для узла, изображенного на рис. 2.4, по первому закону Кирхгофа можно записать

Следует отметить, что первый закон Кирхгофа является след­ствием закона сохранения заряда: заряд, приходящий за какой-то интервал времени к узлу, равен заряду, уходящему за это же время от узла, т. е. электрический заряд в узле не накапливается и не расходуется. Этот закон применим не только к узлу, но и к любой части, выделенной из цепи,

Второй закон Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма э. д. с., действующих в любом контуре произвольной разветвлен­ной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех активных сопротивлениях этого контура:

, (2.5)

Для составления этого уравнения необходимо задаться направ­лением обхода контура, которое обычно обозначается на схеме стрелкой. При алгебраическом сумми­ровании э. д. с. и падений напряжения следует брать со знаком «плюс» те э. д. с. и падения напряжения, направление ко­торых совпадает с направлением об­хода, а со знаком «минус» те из них, которые направлены против. Например, для контура, изображенного на рис. 2.5, второй закон Кирхгофа можно записать в виде

Следует отметить, что для неразветвленной замкнутой элек­трической цепи выражения, записанные по второму закону Кирх­гофа и закону Ома, практически совпадают.

БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ

В ЦЕПЯХ ПОСТОЯННОГО ТОКА

 

Если в участке цепи с активным сопротивлением rпод дей­ствием приложенного к нему напряжения U протекает ток I, то выделяемая в нем мощность будет равна

P=UI.                                  (2.6)

Учитывая, что U = rl и I = gU, получим другие выражения для этой мощности:

.                          (2.7)

Эта мощность всегда положительна.

Если через источник э.д.с. Е протекает ток I, то вырабатывае­мая им мощность будет равна

Р=Е I.                              (2.8)

Эта мощность может быть как положительной, когда направ­ления Е и I совпадают, так и отрицательной, когда направления Е и I противоположны, например в аккумуляторе во время его зарядки.

Согласно закону сохранения энергии в элементах цепи потреб­ляется столько энергии, сколько ее отдается находящимися в ней

 

источниками. Поэтому алгебраическая сумма мощностей, отда­ваемых всеми источниками энергии в цепи, равна сумме мощно­стей, потребляемых в ее элементах:

, (2.9)

Это равенство называют уравнением балансамощностей в це­пях постоянного тока.

В качестве примера запишем уравнение баланса мощностей для схемы цепи, приведенной на рис. 2.6:

.            (2.10)

Мощность EI, вырабатываемую источни­ком э. д. с., часто называют полной мощностью. Мощность rI ², потребляемую нагрузкой, назы­вают полезной мощностью, а мощность , расходуемую внутри источника э. д. с., — мощ­ностью потерь. Мощность Р в цепях постоян­ного тока измеряется в ваттах (Вт).

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СХЕМ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Эквивалентным преобразованием части схемы электрической цепи называют такое преобразование, при котором токи и напря­жения в непреобразованной ее части остаются прежними.

Рассмотрим некоторые эквивалентные преобразования, упро­щающие расчет электрических цепей.

2.3.1. Преобразование схем с последовательным,