В виде треугольника и звезды

Взаимные эквивалентные преобразования схем с соединением сопротивле­ний в виде треугольника (рис. 2.10, а) и звезды (рис. 2.10,6) иногда могут при­вести к облегчению решения задачи по расчету цепи.

Для эквивалентности преобразований таких схем необходимо, чтобы сопро­тивления между любой парой точек 1, 2, 3 в треугольнике и звезде были оди­наковыми при любых сопротивлениях в непреобразованной части цепи, в том числе и при сопротивлениях, равных бесконечности.

В последне м случае будем иметь:

Считая известными сопротивления сторон треугольника  и , найдем неизвестные сопротивления лучей эквивалент н ой звезды ,  и . Для этого из

равенства (2. 13) почленно вычтем раве н ство (2. 15) и прибавим равенство (2. 14). При этом получим

.                            (2.16)

Ан алогичным образом н айдем

         (2. 1 7)

Из получе н ных выражений видно, что сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивле н ий трех сторон треугольника.

Для обратного преобразования звезды в эквивале н т н ый треугольник необ­ходимо сопротивления сторон треугольника ,  и выразить через сопро­тивле н ия лучей звезды , r ₂ и . Для этого из выражений для , r ₂ и  получим

.              (2. 1 8)

Р а зделив это равенство на каждое из равенств, определяющих , r ₂ и , найдем

 (2.19)

Из этих выражений видно, что сопротивление сторо н ы треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и их произведения, деленного на сопротивление третьего луча.

Пример 2.2.                                                                                                

В электрической цепи, схема которой приведена на рис. 2.11, известны э. д. с. E=30 В и все сопротивления: =8 Ом;   =12 Ом; = 12 Ом; =5,5 Ом; =7 О м; =2 О м. Определить ток в ветви с источником э. д. с. Е.

Решение.

Заменив треугольник сопротивлений 123 звездой сопротивлений (рис. 2.12), в соответствии с выражениями (2.16) и (2.17) найдем сопротивления звезды:

Сопротивление между точками 1 и 4:

Ток в ветви с источником э. д. с. Е:

A.

Рассмотренный пример показывает, что с помощью эквивалент н ых преобра­зований схем с соединением сопротивлений в виде треугольника и звезды иногда

от сложной электрической цепи (см. рис. 2.11) удается перейти к простой (см. рис. 2.12), где сопротивления соединены последовательно и параллельно. Это можег значительно упростить решение задачи на расчет цени.

2.3.3. Преобразование схем с источниками э. д. с. и тока

 

При расчетах электрических цепей иногда оказывается целе­сообразным от схемы замещения реального источника электриче­ской энергии, заданной в виде источника э.д.с. (рис. 2.13), пе-

рейти к схеме замещения в виде источника тока (рис. 2.14) или осуществить обратный переход.

Для эквивалентной замены источников необходимо, чтобы токи и напряжения на выходе источников при заданной нагрузке оста­лись без изменений.

Условия эквивалентности источников э.д.с. и тока найдем из выражений для токов и напряжений на выходе источников.

Для источника э.д.с. (см. рис. 2.13)

                      (2.20)

или

           (2.21)

Для источника тока (см. рис. 2.14)

I = J - g _вн Г                            (2-22)

или

                 (2.23)

Из выражений (2.21) и (2.22) видно, что при замене источника э.д.с. источником тока его ток I и проводимость g_BH будут равны:

 и g _вн=1/ r _вн.                      (2.24)

Из выражений (2.20) и (2.23) следует, что при замене источ­ника тока источником э.д.с. параметры источника э.д.с. Е и г_вя будут равны:

.                   (2.25)

Переход от одного источника к другому может привести к об­легчению решения задачи по расчету электрических цепей. Рассмотрим это на примере,

Пример 2.3.

В схеме электрической цепи, изображенной на рис. 2.15, известно: E₁ = 6 В; E₂ = 3 В; r ₁ = r ₂ = r ₃ = 10 Ом. Найти ток в ветви с сопротивлением r₃

Решение.

Перейдя от источников э. д. с. к источникам тока, получим эквивалентную схему, изображенную на рис. 2.16, где

J₁ =E₁/ r₁ = 6/10 = 0,6 A; g₁ = 1/г₁ =1/10 = 0,1 См;

J₂ = E₂/r₂ = 3/10 = 0,3 A; g₂ = 1/Г2 = 1/10 = 0,1 См.

Источники тока образуют один эквивалентный источник тока (рис. 2.17), где

J_э = J₁ + J₂ = 0,6 + 0,3 = 0,9 A; gэ = gl +g₂ =0,1 +0,1 =0,2 См.

Перейдя от источника тока (см. рис. 2.17) к источнику э. д. с., получим схему цепи (рис. 2.18), эквивалентную исходной схеме, где

Е_э = J_э /g_э = 0,9/0,2 = 4,5 В; r_э = l/g_э = 1/0,2 = 5 Ом.

 

Искомый ток в ветви с сопротивлением ra в этой схеме

I ₃ = Eэ/(r_э + r ₃) = 4,5/(5 + 10) = 0,3 А.

Рассмотренный пример показывает, что эквивалентные преоб­разования источников так же, как и преобразования сопротивле­ний, соединенных в виде звезды и треугольника, иногда позво­ляют перейти от сложной электрической цепи к простой, что об­легчает ее расчет.

Рассмотренные в настоящем подразделе эквивалентные преоб­разования схем представляют собой основной метод расчета не­сложных цепей с одним источником энергии. Этот метод можно назвать методом эквивалентных преобразований. При расчете сложных цепей с помощью методов, рассматриваемых в последую­щих подразделах, часто оказывается целесообразным предвари­тельное преобразование части схемы цепи.

МЕТОД УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА

 

Самым общим методом расчета сложных электрических цепей является метод уравнений Кирхгофа. Сущность этого метода со­стоит в составлении системы уравнений в соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа и решении этой системы относи­тельно неизвестных токов.

Если сложная электрическая цепь имеет y узлов и в ветвей, а следователь­но, в неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему в линейно независимых уравнений. Покажем, что эти уравнения можно составить по пер­вому и второму законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа можно составить всего столько уравнений, сколько узлов имеет цепь, т. е. у урав­нений. Однако линейно независимыми будут только y —1 уравне­ний. Это следует из того, что после сложения у —1 уравнений, составленных для всех узлов, кроме одного, получим уравнение, в которое входят только токи, сходящиеся в последнем узле, так как остальные токи войдут в сумму два раза с противополож­ными знаками и сократятся. Это уравнение будет отличаться от уравнения для последнего узла только знаками токов. Умножим его на —1, получим уравнение для последнего узла.

Для иллюстрации этого положения составим уравнения по пер­вому закону Кирхгофа для схемы, приведенной на рис. 2.19: для первого узла

I₁-I₂ + I₃ = 0;                                 (2.26)

для второго узла

I₅-I₃-I₄ = 0;                             (2.27)

для третьего узла

I₂-I₁+I₄-I₅ = 0.                       (2.28)

Сложив выражения (2.26) и (2.27), получим

-I₂ + I₁-I₄+I₅ = 0.

Умножим это уравнение на —1, получим уравнение для треть­его узла (2.28), т. е. уравнение для последнего узла можно полу­чить линейными комбинациями из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для первых y —1 узлов. Таким обра­зом, для цепи, имеющей y узлов, по- первому закону Кирхгофа можно составить у — 1 линейно независимых уравнений.

Остальные n =в — (у —1) линейно независимые уравнения со­ставляются по второму закону Кирхгофа.

Для того чтобы показать это, воспользуемся топологическими свойствами электрической цепи. Так как при добавлении связи графа к дереву графа схемы электрической цепи образуется один

 

контур, то число связей графа схемы равно числу независимых контуров электрической цепи. Если учесть, что дерево графа со­держит все узлы электрической цепи, число которых равно y, а число ветвей на дереве графа на единицу меньше числа узлов, т. е. равно y — 1, то общее число ветвей в цепи будет

в=(у-1)+ n,                     (2.29)

где п — число связей графа схемы электрической цепи, равное числу независимых контуров.

Отсюда получается выражение для определения числа связей дерева графа, а следовательно, и числа независимых контуров электрической цепи

n = в-(у-1)                     (2.30)

Для иллюстрации этого рассмотрим схему электрической цепи, приведенную на рис. 2.19. Граф схемы этой цепи приведен на рис. 2.20, а одно из деревьев графа схемы — на рис. 2.21. Дерево графа этой цепи содержит три узла и две ветви, т. е. y — 1 ветвей. Число связей графа схемы равно трем. Так как всего ветвей на графе пять, то, следовательно, выполняется соотношение для числа связей графа схемы (2.30), а значит, и для числа неза­висимых контуров

n =в-(у-1)=5-(3-1)=3

Таким образом, для цепи, имеющей y узлов и в ветвей, по вто­рому закону Кирхгофа можно составить n =в— (у— 1) линейно независимых уравнений. При этом общее число уравнений, состав­ленных по первому и второму законам Кирхгофа, будет равно числу ветвей, т. е. числу неизвестных токов, что позволяет найти токи во всех ветвях электрической цепи.

Расчет цепей с помощью законов Кирхгофа целесообразно про­изводить в следующем порядке:

1. Определить число узлов y и число ветвей вв цепи. В соот­ветствии с этим определить количество уравнений, которые необ­ходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

2. Обозначить на схеме цепи токи в ветвях и произвольно вы­брать их положительные направления. Выбрать независимые кон-

туры цепи. Это целесообразно сделать таким образом, чтобы в каждый последующий контур входила хотя бы одна новая ветвь. Произвольно задаться направлением обхода контуров.

3. Составить y —1 уравнений по первому закону Кирхгофа.

4. Составить n =в - (у - 1) уравнений по второму закону Кирх­гофа. При составлении этих уравнений э. д. с. считаются положи­тельными, если их направление совпадает с направлением обхода контуров. Падение напряжения будет положительным, если направление об­хода контура совпадает с выбранным направлением тока.

5. Решить составленную систему уравнений относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получатся отрицательными, то это означает, что их действительные на­правления противоположны первона­чально выбранным положительным на­правлениям. Поясним это на примере.

Пример 2.4.

В цепи, изображенной на рис. 2.22, даны ее элементы: E ₁ = 50 B; E ₂ =1O В; r_{вн 1} = 0,4 Ом; r_вн2=l,0 Ом; r₁= 3 Ом; r₂=2 Ом; r₃=2 Ом. Требуется определить токи в ветвях.                                    

Решение.

В схеме два узла и три ветви. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо составить одно уравнение, а но второму — два уравнения.

Обозначим на схеме цепи токи в ветвях и стрелками укажем их положи­тельные направления. Выберем два независимых контура и стрелками покажем направления их обхода.

Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

I₁ + I₂ + 1з = 0.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных незави­симых контуров:

Подставляя в последние два уравнения численные значения пар а метров эле­ментов цепи и переписав первое уравнение, получим систему из трех уравнений:

Решим эту систему, найдем: I ₁ =10 A; I ₂ = -2 A; I ₃ = -8 A. Действитель­ное направление тока I ₁ совпадает, а токов I ₂ и I ₃ противоположно их выбран­ным положительным направлениям.

 

Проверку правильности расчета токов можно осуществить по балансу мощностей или по выполнению законов Кирхгофа для лю­бого из узлов и контуров цепи.

При расчете электрических цепей с помощью законов Кирхгофа источники электрической энергии можно задавать не только ввиде источников э. д. с., но и в виде источников тока, которые учиты­ваются при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа.

 

 

Достоинством рассмотренного метода расчета сложных элек­трических цепей с помощью законов Кирхгофа является его общ­ность, а недостатком — громоздкость (большое число уравнений, равное числу ветвей). Поэтому разработан ряд методов и приемов, упрощающих расчет. Впоследующих подразделах рассмотрим не­которые из этих методов, применимых только для линейных элек­трических цепей.

 

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

 

Расчет сложных электрических цепей методом контурных то­ков сводится крешению системы уравнений, составленных только по второму закону Кирхгофа. Этих уравнений получается только n = в — (y — 1), т. е. на (y —1) меньше, чем при расчете цепи методом урав­нений Кирхгофа. Это облегчает рас­чет сложных цепей.

Сущность этого метода рассмот­рим на примере расчета цепи, схема которой приведена на рис. 2.23. Си­стема уравнений, составленных для этой цепи по первому и второму зако­нам Кирхгофа, имеет вид:

       (2.31)

Исключим из этой системы уравнений ток I ₃, протекающий вветви, входящей одновременно в два контура. Этот ток равен

I₃=I₁-I₂.

Подставив его в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, получим:

      или

Эта система уравнений дает основание считать, что в каждом независимом контуре протекает свой, так называемый контурный ток, который независимо от других токов создает падение напря­жения на тех сопротивлениях цепи, по которым он протекает. Контурные токи обычно обозначаются буквой I с римскими индек­сами. В рассматриваемой схеме, приведенной на рис. 2.23, направ­ление контурных токов I_I и I _II показано стрелками внутри кон­туров. Эти токи равны токам в ветвях I ₁ и I ₂, по которым проте­кает только один из контурных токов, т. е. I_I = I ₁ и I_II = I ₂

 

При расчете электрических цепей рассматриваемым методом кроме контурных токов вводят еще ряд понятий: контурные э. д. с., собственные и взаимные сопротивления.

Контурной э. д. с. называют алгебраическую сумму всех э. д. с. контура. При этом обход контура производят по направлению кон­турного тока и э. д. с. берут со знаком «плюс», если ее направление совпадает с направлением контурного тока, и со знаком «минус», если эти направления противоположны. Контурные э. д. с. обычно обозначают буквой Е с римскими индексами, которые соответ­ствуют номерам контуров.

В рассматриваемом примере контурные э. д. с. E_I = Е₁ и Е _II =- E ₂

Собственным сопротивлением контура называют сумму всех сопротивлений, входящих в данный контур. При этом каждое со­противление берется с положительным знаком. Собственные со­противления контуров обозначаются буквой rс двойными индек­сами, соответствующими номеру контура.

В рассматриваемом примере собственные сопротивления кон­туров r ₁₁ = r ₁ + r ₃ и r ₂₂= r ₂ + r ₃.

Взаимными сопротивлениями контуров называют сопротивле­ния, одновременно входящие в два разных контура. Они обозна­чаются буквой r с двумя индексами, первый из которых соответ­ствует номеру рассматриваемого контура, а второй — номеру кон­тура, имеющего общее сопротивление с рассматриваемым конту­ром. Взаимные сопротивления считаются положительными, если контурные токи, протекающие по этим сопротивлениям, имеют одинаковое направление, и отрицательными, если направления контурных токов противоположны.

В рассматриваемом примере взаимное сопротивление первого контура со вторым r ₁₂ =- r ₃, а второго контура с первым r ₂₁ =- r ₃. Отсюда видно, что r ₂₁ =- r ₂₁, т. е. взаимные сопротивления, отличаю­щиеся одно от другого порядком индексов, равны между собой. Это справедливо только для электрических цепей, не содержащих зависимых источников э. д. с. или тока.

C учетом введенных понятий систему уравнений (2.33) для рассматриваемого примера можно записать в виде:

(2.34)

Решив эту систему уравнений, найдем контурные токи I_I и I_II. Если некоторые из этих токов получаются отрицательными, то их действительные направления будут противоположны первона­чально принятым положительным направлениям. Зная контурные токи, можно найти токи в ветвях. Если в ветви протекает только один контурный ток, то истинный ток в ветви будет равен этому току. Токи в ветвях, по которым протекают несколько контурных токов, равны их алгебраической сумме.

В общем случае для электрической цепи, содержащей п неза-. висимых контуров, система контурных уравнений имеет вид:

(2.35)

где -собственное сопротивление k-го контура;

r_hj — взаимное сопротивление k-го и j-го контуров;

E_k — контурная э.д.с. k-го контура.

Решая эту систему уравнений с помощью определителей, най­дем ток в любом k-м контуре

                                    (2.36)

где Δ — определитель системы:

Этот определитель для пассивных цепей, не содержащих зави­симых источников э. д. с. и тока, симметричен относительно его главной диагонали, так как для таких цепей любые взаимные со­противления r_kj и r_jk равны между собой.

Определитель получается из определителя Δ путем замены k-го столбца свободными членами:

Разлагая в выражении (2.36) определитель Δ_k по элементам k-го столбца, получим

(2.37)

где Δ_jk — алгебраическое дополнение определителя системы, кото­рое получается путем вычеркивания в нем j-й строки и k-го столбца и умножения на (—l)^j+k

При расчете электрических цепей методом контурных токов целесообразно придерживаться следующего порядка:

1. Выбрать независимые контуры цепи и указать положитель­ные направления контурных токов в них.

2. Вычислить собственные и взаимные сопротивления контуров, а также контурные э. д. с.

3. Составить систему уравнений для контурных токов в соот­ветствии со вторым законом Кирхгофа.

4. Решить полученную систему уравнений одним из извест­ных методов, т. е. определить контурные токи.

5. Определить токи в ветвях. Рассмотрим это на примере.

Пример 2.5.

В электрической цепи, схема которой приведенана рис. 2.23, дан о: E₁ = 6 В; E₂ = 3 В; r ₁ = r ₂ = r ₃ = 1 Ом. Требуется определить токи в ветвях.

Решение.

В схеме два независимых контура. Покажем положительные направления контурных токов I_I и I_II ·. стрелками на схеме цепи. Собственные сопротивле н ия контуров  Ом; Ом.

Взаимные сопротивления  Ом.

Контурные э. д. с. E _I = E ₁= 6 В; Е _II = e ₁ = -3 В.

Подставив эти значения в стандартную форму системы контурных урав­нений (2.34), получим:

Из первого уравнения .

Подставим это во второе уравнение, п о лучим:

 А;

Токи в ветвях:

 А; ;  А

 

Выше предполагалось, что источники энергии заданы в виде источников э.д. с. Если же по условиям задачи часть источников энергии будет задана в виде источников тока, то эти источники можно заменить согласно правилу, изложенному в подразд. 2.3, эквивалентными источниками э. д. с. или же рассчитать электриче­скую цепь с заданными источниками тока. В последнем случае N_T независимых контуров целесообразно выбирать таким обра­зом, чтобы каждый из них включал один источник тока. Контурные токи в этих контурах будут равны токам источников. Осталь­ные k =в—(y — 1 )— N_T независимых контура следует выбирать та­ким образом, чтобы в них не входили ветви с заданными источ­никами тока. Для определения контурных токов в последних кон­турах для них составляются по второму закону Кирхгофа k урав­нений.

Система контурных уравнений (2.35) может быть записана в матричной форме:

                           (2.38)

Где   — квадратная матрица сопротивлений цепи порядка п;

       — матрица-столбец искомых контурных токов;

       || Е ||— матрица-столбец контурных э. д. с., причем:

Для того чтобы решить матричное уравнение (2.38), умножим обе его части слева на обратную матрицу ||r||^-1:

Так как  = , то

            (2.40)

При решении несложных задач по расчету электрических це­пей применять матричный метод не всегда целесообразно. Однако этот метод вобщем случае имеет ряд преимуществ. Матричная форма записи более экономна в отношении занимаемого ею места и действий над нею. Такой вид записи открывает более широкие возможности для решения уравнений с помощью вычислительных машин.

Взаключение следует отметить, что контурные токи вобщем случае являются расчетными величинами, а реально существующими токами являются токи, протекающие в ветвях электрической цепи.

Достоинством рассмотренного метода контурных токов является меньшее число уравнений по сравнению с методом уравне­ний Кирхгофа и возможность формализации решения, что позво­ляет рассчитывать очень сложные электрические цепи с примене­нием вычислительных машин.

МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

 

Метод наложения, применяемый для расчета электрических цепей, основан на принципе наложения, который утверждает, что ток в любой ветви линейной электрической цепи, содержащей не­сколько источников э. д. с., можно рассматривать как алгебраиче­скую сумму частичных токов, созданных в этой ветви действием каждой э. д. с. в отдельности.

Справедливость этого принципа следует непосредственно из выражения (2.37)

,

полученного в предыдущем подразделе. Действительно, если в этом выражении положить все э.д. с., кроме Е ₁, равными нулю, то по-

                                                                                       

лучим частичный ток в k-й ветви I ' _{k ,}   вызванный действием только э. д. с. Е ₁. Если считать Е₂ 0, аостальные э. д. с. равными нулю, то получим частичный ток I " _k, вызванный действием только э. д. с. Е₂, и т. д. Алгебраическая сумма всех частичных токов даст действительный ток, протекающий в k-й ветви.

Этот принцип применим не только к токам, но и к напряже­ниям, так как они линейно связаны с токами. К расчету же мощ­ности этот принцип применить нельзя, так как мощность является не линейной, а квадратичной функцией тока или напряжения. Па самом деле, если по участку цепи с сопротивлением r проходит ток I = I ₁+ I ₂, то мощность Р = rI ² = r (I ₁ + I ₂)² = , а не , как следовало бы из принципа наложения.

Применение принципа наложения к расчету электрических це­пей составляет содержание метода наложения. Используя этот ме­тод, можно найти токи в ветвях без составления и решения си­стемы уравнений, а непосредственно по закону Ома. При этом вначале находят частичные токи от действия каждого источника э. д. с. в отдельности, принимая остальные э. д. с. равными нулю и оставляя в схеме только их внутренние сопротивления, а за­тем— действительные токи как алгебраические суммы частичных токов.

Рассмотрим это на примере.

Пример 2.6.

Найти ток в ветви с источником э. д. с. Е₂ в схеме цепи, изображенной на рис. 2.22, если E₁ = 50 В; E₂=10 В; r _BH1 = O,4 Ом; r _BH2=l Ом; r ₁= 3 Ом; r ₂=2 Ом; r _s=2 Ом.

Р ешение.

Приняв Е₂=0, получим схему, приведенную на рис.2.24. Для определения

частичного тока I₂, созданного вветви с источником э. д. с. E₂, найдем вначале напряжение между точками 1 и 2.

Частичный ток

А.

Этот ток направлен от узла 1 к узлу 2.

Приняв E ₁= 0,получим схему, приведенную на рис.2.25. Частичный ток врассматриваемой ветви найдем по закону Ома:

Этот ток направлен  от узла 2 кузлу 1. Действительный ток в ветви = 2 A направлен от узла 1 к узлу 2.

В заключение следует отметить, что метод наложения приме­ним только к линейным электрическим цепям.

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

 

Расчет сложных электрических цепей методом узловых потен­циалов, или узловых напряжений, сводится к решению системы уравнений, составленных только по первому закону Кирхгофа. Из этих уравнений определяют напряжения в узлах схемы электрической цепи отно­сительно некоторого базисного узла, по­тенциал которого принимают равным нулю, а токи в ветвях, соединяющих узлы, находят по закону Ома.

Сущность этого метода рассмотрим на примере электрической цепи (рис. 2.26), источники энергии которой заданы в виде источников тока.

Потенциал одного из узлов, напри­мер нулевого, зафиксируем и будем считать его равным нулю. Та­кой узел обычно называют базисным узлом. При этом потенциалы остальных узлов будут равны напряжениям между этими узлами и базисным узлом.

Выбрав положительные направления токов составим уравне­ния по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов:

где g ₁ = l/ r ₁; g ₂ =1/r₂; g₃ = l/r₃.

Учитывая, что φθ=0, после преобразования получим:

Обозначив  g ₁₁ = g ₁ + g ₃; g ₂₂ = g ₂ + g ₃ ;   g ₁₂ = g ₂₁ =- g ₃  

получим:

g₁₁φ₁ + g₁₂φ₂ = J₁;

g₂₁φ₁ + g₂₂φ₂ = J₂.             ⁽²·⁴¹⁾

В общем случае для электрической цепи, имеющей гс+1 узлов, система уравнений для определения узловых потенциалов будет иметь вид:

g₁₁φ₁ + g₁₂φ₂ +... + g_1nφ_n = J₁;

g₂₁φ₁ + g₂₂φ₂ +... + g_2nφ_n = J₂;

.......................... (2.42)

g_n1φ₁ + g_n2φ₂ +... + g_nnφ_n = J_n,

                                                                         

где g_kk — собственная проводимость k-гo узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, соединенных с этим узлом; эта проводимость всегда положительна;

g_kj — взаимная проводимость между k-м и j-м узлами, равная сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы; эта проводимость при выбранном направлении всех уз­ловых напряжений к базисному узлу для цепей, не со­держащих зависимых источников электрической энер­гии, всегда отрицательна;

J_k — узловой ток k-ro узла, равный алгебраической сумме то­ков источников тока, подсоединенных к fe-му узлу, эти токи берутся со знаком «плюс», если они направлены к узлу, и со знаком «минус», если направлены от узла. Выше предполагалось, что источники электрической энергии заданы в виде источников тока. Если в схеме электрической цепи часть источников задана в виде источников э. д. с., то эти источ­ники необходимо заменить согласно правилу, изложенному в под-разд. 2.3, эквивалентными источниками тока. Эту замену можно произвести и мысленно, без изменения схемы цепи: оставить в ветви, содержащей источник э. д. с., имеющиеся в ней сопротив­ления, а при определении узловых токов учесть, что между узлами рассматриваемой ветви подсоединен источник тока, ток которого равен произведению э. д. с. на суммарную проводимость ветви.

В случае если какая-нибудь ветвь содержит идеальный источ­ник э. д. с., τ. е. ее сопротивление равно нулю, и, следовательно, напряжение между двумя узлами задано, целесообразно в каче­стве базисного узла выбрать один из узлов данной ветви. В этом случае число неизвестных узловых напряжений и, следовательно, число узловых уравнений сократится на единицу.

Для пассивных цепей всегда справедливо равенство g_kj = g_jk а для активных цепей это равенство может оказаться несправед­ливым. Это будет рассмотрено в разд. 12.

Решив одним из известных методов систему уравнений (2.42), найдем потенциалы узлов, зная которые можно по закону Ома найти токи в ветвях.

Система уравнений узловых потенциалов (2.42) может быть записана в матричной форме:

||g|| ||φ||=||J||,                           (2.43)

где

Решая это уравнение относительно матрицы ||φ||, получим

||φ||=||g||^-1||J||

При расчете электрических цепей методом узловых потенциа­лов целесообразно придерживаться следующего порядка:

1. Принять потенциал одного из узлов равным нулю, т. е. заземлить один из узлов и пронумеровать по порядку остальные узлы.

2. Вычислить узловые токи.

3. Определить собственные и вза­имные проводимости узлов.

4. Составить и решить систе­му уравнений узловых потенциа­лов.

5. Найти токи в ветвях. Рассмотрим это на примере.

Пример 2.7.

Найти токи в ветвях электрической цепи, схема которой приведена на рис. 2.27, если дано: E_l=50 В; E₂=10 В; r_ВН1=0,4 Ом; r₁=3 Ом·, r_ВН2=1 Ом; r₂=r₃=2 Ом.

Решение.

Заземлим нижний узел, а верхний узел будем считать первым. Находим узловой ток верхнего узла

J₁ = g_lE₁ + g₂E₂ = А.

Собственная проводимость первого узла

g_ll =g_l +g₂ +g₃ =  См.

В рассматриваемом случае

g_llφ_l =J_l,

откуда

φ_l=J_l/g_ll = 18/1,13 16 В.

 

Токи в ветвях:

А;

 А;

 А.

Одним из важных свойств метода узловых потенциалов, обес­печивающих ему наиболее широкое распространение для расчета электронных схем, является то, что матрица проводимостей слож­ной электрической цепи может быть получена путем простого сло­жения элементов матриц составляющих цепей, если потенциалы соответствующих узлов равны между собой.