С помощью комплексных величин

Любое комплексное число  можно изобразить на комплексной плоскости точкой с радиусом-вектором   (рис. 3.7) и представить в показательной, тригонометрической и алгебраической формах записи:

,              (3.7)

где —модуль комплексного числа;

  аргумент комплексного числа;

  a — вещественная часть комплексного числа;

  b — мнимая часть комплексного числа.

Если , т. е. если аргумент комплексного числа яв­ляется линейной функцией времени, то комплексную функцию можно записать в виде

.   (3.8)

Графическое представление комплексной функции (t) анало­гично представлению гармонических величин вращающимися вре­менными векторами (см. рис. 3.5).

Мнимая часть выражения (3.8) представляет собой функцию, изменяющуюся по закону синуса, а вещественная часть — функ­цию, изменяющуюся по закону косинуса. А так как любой гармо­нический процесс можно представить как в виде синусоиды, так и в виде косинусоиды, то любую гармоническую величину: ток i, напряжение и и э.д.с. е — можно представить вещественной или мнимой частью комплексной функции (t) (3.8), у которой модуль равен амплитуде, а аргумент — фазе синусоиды или косинусоиды. Например:

i (t) = I_m sin (ωt + ψ) = Im {I_me^j(ωt+^ψ)};

i (t) = I_m с os (ω t + ψ) = R_e {I_me^{j( ω t+ ψ )} }.

Такую запись называют комплексной или символической фор­мой записи гармонических колебаний.

Комплексную функцию Ì _m (t) = I_me^{j (ω t +ψ)}, у которой мо­дуль и аргумент равны соответственно амплитуде и аргументу дан­ного синусоидального тока, называют комплексным мгновенным синусоидальным током.

Выделим в комплексном мгновенном синусоидальном токе  постоянную часть и часть, зависящую от времени:

Постоянную часть комплексного мгновенного синусоидального тока  = I_me^jψ называют комплексной амплитудой. Комплекс-

ная амплитуда представляет собой комплексное число, модуль ко­торого равен амплитуде синусоидального тока, а аргумент — его начальной фазе.

Функцию e^jωt называют оператором вращения. Это комплекс­ная функция, модуль которой равен единице, а аргумент линейно зависит от времени. Точка комплексной плоскости, изображающая эту функцию, непрерывно перемещается по окружности единичного

радиуса с центром в начале координат (рис. 3.8). Это перемещение происходит с постоянной угловой скоростью ω в направлении, об­ратном направлению вращения часовой стрелки, от начального положения, расположенного на вещественной оси.

Комплексную величину , где I = I _m/ , называют комплексным действующим синусоидальным током или просто комплексным током. Комплексный ток имеет такой же аргумент, как и комплексная амплитуда, а модуль меньший, чем у комплексной амплитуды, в раз.

Если известна комплексная амплитуда тока  или комплекс­ный ток , то оказываются известными амплитуда или действую­щее значение и начальная фаза тока. Тогда, предполагая извест­ной ω, можно записать мгновенное значение тока. Точно так же, зная мгновенное значение тока, можно записать комплексную амплитуду и комплексный ток. Поэтому говорят, что каждая из величин: комплексный ток , комплексная амплитуда  и комп­лексный мгновенный синусоидальный ток  изображают (представляют) ток или являются изображениями тока.

Пример 3.1.

По известному комплексному току =(6+j8)A написать выражение для его мгновенного значения.

Решение.

A;  A;

следовательно,

i (t) = 14,1 sin(ωt+5 3 °7) A.

Пример 3.2.

Найти комплексную амплитуду и ко м плексный ток, если е г о мгновенное значение описывается выражением i (t)=14,1 sin(ωt+30°).

 Решение.

= 14,1 e^{j 3O°}A;   I = I _m/  = 14,1/ = 10 а; = 10 e^{j3 0°}А.

КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

И ПРОВОДИМОСТИ.

ЗАКОН ОМА И ЗАКОНЫ КИРХГОФА

В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

 

Если ко входу линейной пассивной электрической цепи, рас­сматриваемой как двухполюсник (рис. 3.9), приложить синусои­дальное напряжение u(t)=U_msin(ωt+ψ_u), то через ее вход­ные зажимы потечет синусоидальный ток i (t)= I_msin (ωt + ψ_i).

Комплексную величину, равную отношению комплексного напряжения на зажимах данной пассивной электрической цепи или ее элемента к комплексному току в этой цепи или в этом элементе, называют комплексным электрическим сопротивлением:

         (3.9)

Подставив в это выражение и , полу­чим

,           (3.10)

где  — полное сопротивление;

 - сдвиг фаз между напряжением и током;

r = z cos φ — активное сопротивление;

x = zsin φ —реактивное сопротивление.

Комплексную величину Y, обратную комплексному сопротивле­нию Z, называют комплексной проводимостью:

,

где    — полная проводимость;

—сдвиг фаз между напряжением и током;

g = ycos φ — активная проводимость; b = у sin φ — реактивная проводимость.

Комплексную проводимость Y можно представить в виде

где g = r/z²; b= x/z²

 

Отношения комплексных амплитуд напряжения и тока (3.9) и (3.11) выражают собой закон Ома в комплексной форме. Его можно также записать в виде

        (3.13)

т. е. комплексная амплитуда тока в цепи синусоидального тока равна комплексной амплитуде напряжения, деленной на комплекс­ное сопротивление цепи.

Учитывая, что сложению гармонических величин соответствует сложение изображающих их комплексов, на основании первого за­кона Кирхгофа, справедливого для мгновенных значений токов для узла электрической цепи , получим выражение этого закона для цепи синусоидального тока в комплексной форме

т. е. алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов в любом узле электрической цепи синусоидального тока равна нулю.

Аналогичным образом на основании второго закона Кирхгофа

для мгновенных значений э. д. с. и напряжений  получим выражение этого закона для цепи синусоидального тока в комплексной форме

(3.15)

т. е. алгебраическая сумма комплексных амплитуд э. д. с. в любом контуре электрической цепи синусоидального тока равна алгебраи­ческой сумме комплексных амплитуд напряжений на элементах контура.

Из выражений для закона Ома (3.13), а также для первого (3.14) и второго (3.15) законов Кирхгофа видно, что форма записи этих законов для цепей синусоидального тока в комплексном виде аналогична форме записи этих законов для цепей постоянного тока. Поэтому все методы расчета цепей постоянного тока можно применить к расчету цепей синусоидального тока, представив все электрические величины в комплексной форме записи.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными чис­лами, называют методом комплексных амплитуд.

ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

С ОДНИМ ПАССИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

 

3.5.1. Цепь синусоидального тока с активным сопротивлением r

Если к активному сопротивлению г (рис. 3.10) подключить си­нусоидальное напряжение и (t) = U_m sin (ωt + ψ _u), то по цепи по­течет синусоидальный ток

,

где I_m = U_m/r;   ψ _i = ψ _u.

Таким образом, в цепи синусоидального тока с одним актив­ным сопротивлением напряжение и ток совпадают по фазе, т. е. сдвиг фаз между напряжением и током φ= ψ _i - ψ _u равен нулю.

Векторная диаграмма и временной график напряжения и тока для рассматриваемой цепи приведены на рис. 3.11.

Комплексное сопротивление цепи

а комплексная проводимость

т. е. комплексное сопротивление и комплексная проводимость цепи с активным сопротивлением являются вещественными величинами и равны соответственно активному сопротивлению и активной проводимости.

В заключение следует отметить, что при переменном токе ак­тивное сопротивление проводника, определяемое как отношение активной мощности к квадрату действующего тока r =Р/ I ², больше его сопротивления при постоянном токе, определяемого по фор­муле r = ρl / S, где ρ — удельное сопротивление проводника, l — его длина, S — площадь поперечного сечения. Это происходит из-за

так называемого поверхностного эффекта, который заключается в том, что плотность переменного тока в поперечном сечении про­водника на высоких частотах неравномерна, что эквивалентно уменьшению площади его поперечного сечения.